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二次函数的图像与性质(初高中内容衔接2)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 12:57
tags:初高中数学衔接

2019新版高中数学必修四b版-高中数学1-2人教版课后答案

2020年9月18日发(作者:宁鸿彬)


2.2 二次函数
2.2.1 二次函数
y

ax< br>2

bx

c
的图象和性质

{情境设置: 可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象,如作图(1)
y?x
2
(2)
y??x
2
(3)
y?x
2
?2x?3
教师可采用计算机绘图软件辅助教学}
问题1 函数
y

ax
2

y

x
2
的图象之间存在怎样的关系?
1为了研究这一问题,我们可以先画出
y
=2
x
2

y< br>=
x
2

y
=-2
x
2
的图象,通 过这些函数
2
2
图象与函数
y

x
的图象之间的关 系,推导出函数
y

ax
2

y

x2
的图象之间所存在的关系。
22
先画出函数
y

x

y
=2
x
的图象。
先列表:
x
? -3 -2 -1 0 1 2 3 ?
x
2
? 9 4 1 0 1 4 9 ?
2
x
2
? 18 8 2 0 2 8 18
从表中不难 看出,要得到2
x
2
的值,只要把相应的
x
2
的值扩大到两 倍就可以了。

y

y
y=x
2


y=2(x+1)
2
+1
y=2x
2


y=2(x+1)
2


y=2x
2






x
O

图2.2-1
x
-1
O


图2.2-2

再 描点、连线,就分别得到了函数
y

x
2

y
=2
x
2
的图象(如图2-1所示),从图2-1
我们可以得到这两个函数图象之 间的关系:函数
y
=2
x
2
的图象可以由函数
y

x
2
的图象各点
的纵坐标变为原来的两倍得到。
1
同学们 也可以用类似于上面的方法画出函数
y

x
2

y
=-2
x
2
的图象,并研究这两个函
2
2
数图象与函数y

x
的图象之间的关系。
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数
y

ax
2
(
a
≠0)的图象可 以由
y

x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的
a
倍 得到。在
2
二次函数
y

ax
(
a
≠0) 中,二次项系数
a
决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口
的大小。
问题2 函数
y

a
(
x

h
)
2

k

y

ax
2
的图象之 间存在怎样的关系?
同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同 学们
可以作出函数
y
=2(
x
+1)
2
+1与y
=2
x
2
的图象(如图2-2所示),从函数的图象我们不难发
现,只要把函数
y
=2
x
2
的图象向左平移一个单位,再向上平移 一个单位,就可以得到函数
y
=2(
x
+1)
2
+1的图象 。这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点。
类似地,还可以通过画函数
y< br>=-3
x
2

y
=-3(
x
-1)
2
+1的图象,研究它们图象之间的
相互关系。


通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
二次函数
y
=< br>a
(
x

h
)
2

k
(< br>a
≠0)中,
a
决定了二次函数图象的开口大小及方向;
h
决 定了
二次函数图象的左右平移,而且“
h
正左移,
h
负右移”;k
决定了二次函数图象的上下平移,
而且“
k
正上移,
k
负下移”。
由上面的结论,我们可以得到研究二次函数
y

ax
2

bx

c
(
a
≠0)的图象的方法:
bb
b
2
b
2
b
2
b
2
?4a c
222
由于
y

ax

bx

c

a
(
x

x
)+
c

a
(
x

x

2
)+
c

?a(x?)?

aa
4a2a4a
4a
所以,
y

ax
2

bx

c
(
a≠0)的图象可以看作是将函数
y

ax
2
的图象作左右平移、 上下平
移得到的,于是,二次函数
y

ax
2

b x

c
(
a
≠0)具有下列性质:
b4ac?b
2
2
)
,对称(1)当
a
>0时,函数
y

ax

bx

c
图象开口向上;顶点坐标为
(?,
2a4a
bbb
轴为直线
x
=-;当
x

?时,
y
随着
x
的增大而减小;当
x

?
时,
y
随着
x
的增
2a2a2a
b
4ac?b< br>2
大而增大;当
x

?
时,函数取最小值
y
=。
2a
4a
b4ac?b
2
2
)
, (2)当
a
<0时,函数
y

ax

bx

c
图象开口向下;顶点坐标为
(?,
2a4a
bbb
对称轴为直线
x
=-;当
x

?
时,
y
随着
x
的增大而增大;当
x

?
时,
y
随着
x< br>2a2a2a
b
4ac?b
2
的增大而减小;当
x

?
时,函数取最大值
y
=。
2a
4a
上述二 次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来。因此,在
今后解决二次函数问 题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。

A(-1,4)
y

y
2
b4ac?b
y
,)
A
(?

x=-
b

2a4a
2a



D(0,1)

O

x
O
x
O
B
x
C

2
b4ac?b
b

A
(?,)

x=-
2a4a
2a

x=-1
图2.2-4

图2.2-3
图2.2-5

例1 求二次函数
y


3
x
2
-6
x
+1图象的开口方向、对称轴、顶 点坐标、最大值(或最
小值),并指出当
x
取何值时,
y

x
的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象。
解:∵
y


3
x
2
-6
x
+1=-3(
x
+1)2
+4,
∴函数图象的开口向下;对称轴是直线
x
=-1;顶点坐标为(-1,4);

x
=-1时,函数
y
取最大值
y
=4;

x
<-1时,
y
随着
x
的增大而增大;当
x< br>>-1时,
y
随着
x
的增大而减小;
23?3
23 ?3
,0)

C
(?,0)
,采用描点法画图,选顶点
A< br>(-1,4)),与
x
轴交于点
B
(
3
3

y
轴的交点为
D
(0,1),过这五点画出图象(如图2-5所示)。


说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键
点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确。
函数
y

ax< br>2

bx

c
图象作图要领:
①确定开口方向:由二次项系数a决定。
b
②确定对称轴:对称轴方程为
x??

2a
③确定图象与 x轴的交点情况,①若△>0则与x轴有两个交点,可由方程
x
2

bx
c=0
求出②①若△=0则与x轴有一个交点,可由方程
x
2

bx

c=0
求出③①若△<0则与x轴有无
交点。
④确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c,所以交点坐标为(0,c)
⑤由以上各要素出草图。
练习:作出以下二次函数的草图:(1)
y?x
2
?x?6
(2)
y?x
2
?2x?1
(3)
y??x
2
?1





















例2 某种产品的成本是120元件,试销阶 段每件产品的售价
x
(元)与产品的日销售

y
(件)之间关系如下 表所示:
x
元 130 150 165

y
件 70 50 35

若日销售量
y
是销售价
x
的一次函数,那么,要使 每天所获得最大的利润,每件产品的
销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?
分析 :由于每天的利润=日销售量
y
×(销售价
x
-120),日销售量
y
又是销售价
x
的一
次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要 求出每天的利润与销售价
x
之间的
函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天 利润的最大值。
解:由于
y

x
的一次函数,于是,设y=kx+ b,将
x
=130,
y
=70;
x
=150,
y< br>=50代
?
k??1
?
70?130k?b,
入方程,有?
解得
?
。 ∴
y
=-
x
+200。
?
50?150k?b,
?
b?200
设每天的利润为
z
(元),则
z
=(-
x
+200)(
x
-120)=-
x
2
+320
x
-24000


=-(
x
-160)
2
+1600,
∴当
x
=160时,
z
取最大值1600。
答:当售价为160元件时,每天的利润最大,为1600元。
例3 把二次函数
y

x
2

bx

c
的图像向上平移2个 单位,再向左平移4个单位,得到
函数
y

x
2
的图像,求
b

c
的值。
b
2
b
2
解法一 :
y

x

bx

c
=(
x+)
?c?
,把它的图像向上平移2个单位,再向左平移4
4
2
bb
2
2
个单位,得到
y?(x??4)?c??2
的图像,也就是 函数
y

x
2
的图像,所以,
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得
b
=-8,
c
=14。
2
b
?
c??2?0,
?
4
?
2
解法二:把二次函数
y

x
2

bx

c
的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得
到函数
y

x< br>2
的图像,等价于把二次函数
y

x
2
的图像向下平 移2个单位,再向右平移4个单
位,得到函数
y

x
2
+< br>bx

c
的图像。
由于把二次函数
y

x
2
的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数
y
=(
x
-4)
2
+2的图像,即为
y

x
2
-8
x
+14的图像,∴函数
y

x
2
-8
x
+14与函数
y

x
2

bx
c
表示同一个函数,∴
b
=-8,
c
=14。
说明: 本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要
牢固掌握二次函数图像的 变换规律。
这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条件进行正向的思维来解决的,其运算量相对较大;而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等
价的问题 来解,具有计算量小的优点。今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情况,选
择恰当的方法来解决问 题。
例4 已知函数
y

x
2
,-2≤
x
a
,其中
a
≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出
函数 取最大值和最小值时所对应的自变量
x
的值。
分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对
a
的取值进行讨论。
解:(1)当
a
=-2时,函数
y

x
2
的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最
大值和最小值都是4,此时
x
=-2;
(2)当-2<
a
<0时,由图2.2-6①可知,当
x
=-2时,函数取最大值
y
=4;当
x

a
时,函数取最 小值
y

a
2

(3)当0≤
a
<2时 ,由图2.2-6②可知,当
x
=-2时,函数取最大值
y
=4;当
x
=0
时,函数取最小值
y
=0;
(4)当
a
≥ 2时,由图2.2-6③可知,当
x

a
时,函数取最大值
y

a
2
;当
x
=0时,
函数取最小值
y
=0。

y
y
y
y

4
a
2
4




4

2
a


a
2



x
x
x O
O
a
O
a
-2
2
-2
-2
a















图2.2-6



说明:在本例中,利用了分类 讨论的方法,对
a
的所有可能情形进行讨论。此外,本例
中所研究的二次函数的自变量 的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这
一类问题时,通常需要借助于函数图象来直 观地解决问题。
练习 1.选择题:
(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是( )
(A)
y
=2
x
2
(B)
y
=2
x
2
-4
x
+2 (C)
y
=2
x
2
-1 (D)
y
=2
x
2
-4
x

(2)函数
y
=2(
x
-1)
2
+2是将函数
y
=2
x
2
( )
(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2.填空题
(1)二次函数
y
=2
x
2

mx

n
图象的顶 点坐标为(1,-2),则
m
= ,
n
= 。
2
(2)已知二次函数
y

x
+(
m
-2 )
x
-2
m
,当
m
= 时,函数图象的顶点在
y
轴上;

m
= 时,函数图象的顶点在
x
轴上;当
m
= 时,函数图象经过原点。
(3)函数
y
=-3(
x
+2)
2
+5的图象的开 口向 ,对称轴为 ,顶点坐标
为 ;当
x
= 时,函数取最 值
y
= ;当
x
时,
y
随着
x
的增大而减小。
3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及
y

x< br>的变化情况,
并画出其图象。(1)
y

x
2
-2< br>x
-3; (2)
y
=1+6
x

x
2

















4.已知函数
y
=-
x
2
-2
x
+3,当自变量
x
在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或
(2).x?2
(1).x??2;
最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量
x< br>的值:
(3).?2?x?1

(4).0?x?3












2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:
1.一般式:
y

ax
2

bx

c
(
a≠0);
2.顶点式:
y

a
(
x

h
)
2

k
(
a
≠0),其中顶点坐标是(-
h

k
)。 < br>除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示。为了研究另一种表示方式,
2
我们先来研究二次函数
y

ax

bx

c
(
a
≠0)的图象与
x
轴交点个数。
当抛物线
y

ax
2

bx

c
(
a
≠0 )与
x
轴相交时,其函数值为零,于是有
ax
2

bx
c
=0。 ①,
2
并且方程①的解就是抛物线
y
=< br>ax

bx

c
(
a
≠0)与
x< br>轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,
2
不难发现,抛物线
y
ax

bx

c
(
a
≠0)与
x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①
的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=
b
2
-4
ac
有关,由此可知,抛物线
y

ax2

bx

c
(
a
≠0)与
x
轴交点个数与根的判别式Δ=
b
2
-4
ac
存在下列关系: (1)当Δ>0时,抛物线
y

ax
2

bx

c
(
a
≠0)与
x
轴有两个交点;
反过来,若 抛物线
y

ax
2

bx

c
(
a
≠0)与
x
轴有两个交点,则Δ>0也成立。
(2)当Δ=0时 ,抛物线
y

ax
2

bx

c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点(抛物线的顶点);
2
反过 来,若抛物线
y

ax

bx

c
(a
≠0)与
x
轴有一个交点,则Δ=0也成立。
(3)当Δ<0时,抛 物线
y

ax
2

bx

c
(< br>a
≠0)与
x
轴没有交点;
反过来,若抛物线
y

ax
2

bx

c
(
a
≠0)与
x
轴没有交点,则Δ<0也成立。
于是,若抛物线
y

a x
2

bx

c
(
a
≠0)与
x
轴有两个交点
A
(
x
1
,0),
B
(x
2
,0),则
x
1

x
2
bcbc
是方程
ax
2

bx

c
=0的两根,所 以
x
1

x
2

?

x
1
x
2
=,即=-(
x
1

x
2
), =
x
1
x
2

aaaa
bc
所 以,
y

ax
2

bx

c
=< br>a
(
x
2
?x?
)=
a
[
x2
-(
x
1

x
2
)
x
+< br>x
1
x
2
]=
a
(
x

x
1
)(
x

x
2
)。
aa
由上面的推导过程可以得到下面结论:
若抛物线
y

ax
2
bx

c
(
a
≠0)与
x
轴交于< br>A
(
x
1
,0),
B
(
x
2
,0)两点,
则其函数关系式可以表示为
y

a
(
x< br>-
x
1
)(
x

x
2
)(
a
≠0)。
这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:
3.交点式:
y

a
(
x

x
1
)(
x
x
2
)(
a
≠0),其中
x
1
,< br>x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横坐
标。
今后, 在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点
式、交点式这三种表达形 式中的某一形式来解题。
例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线
y

x
+1上,并且图象经过点(3,
-1),求二次函数的解析式。
分析 :在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以
将二次函数设成顶点式 ,再由函数图象过定点来求解出系数
a

解:∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,
∴顶点的纵坐标为2。 < br>又顶点在直线
y

x
+1上,所以,2=
x
+1,∴
x
=1。
∴顶点坐标是(1,2)。


设该二次函数的解析 式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)

∵二次函数的图像经过点(3,-1),

?1?a(3?2)
2
?1
,解得
a
=-2。
∴二次函数解析式为
y??2(x?2)
2
?1
,即
y=-2
x
2
+8
x
-7。
说明:在解题时,由最大值 确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然
后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题。 因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,
并巧妙地利用条件简捷地解决问题。

例2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到
x
轴的距离等 于2,求此二
次函数的表达式。
分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点 实际上就是二次函数的图
象与
x
轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式。
解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
∴可设二次函数为
y< br>=
a
(
x
+3)(
x
-1)(
a
≠ 0),
?12a
2
?4a
2
2
??4a
, 展开,得:
y

ax
+2
ax
-3
a
, 顶点的纵坐标为
4a
1
由于二次函数图象的顶点到
x
轴的距离2, ∴|-4
a
|=2,即
a

?

2
13 13
所以,二次函数的表达式为
y

x
2
?x?
, 或
y
=-
x
2
?x?

2222
分析二 :由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线
x
=-1,又由顶点到
x
轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表 达
式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式。
解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
∴对称轴为直线
x
=-1。
又顶点到
x
轴的距离为2,
∴顶点的纵坐标为2,或-2。
于是可设二次函数为
y

a
(
x
+1)
2
+2,或
y

a
(
x
+1)
2
-2,
由于函数图象过点(1,0),
∴0=a
(1+1)
2
+2,或0=
a
(1+1)
2
-2。
11

a
=-,或
a
=。
22
11
所以,所求的二次函数为
y


(
x
+1)< br>2
+2,或
y
=(
x
+1)
2
-2。 22
说明:上述两种解法分别从与
x
轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度, 利用交点
式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题。
例3已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式。
解:设二次函数为
y?ax
2
?bx?c(a?0)

由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),
?
a-b?c?? 22
?
a??2
??
c??8
可得
?
,解得
?
b?12

?
4a?2b?c?8
?
c??8
?
?
故所求二次函数为
y
=-2
x
2
+12
x
-8。
通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式 、顶


点式、交点式来求二次函数的表达式?
练习1.选择题:(1)函数y
=-
x
2

x
-1图象与
x
轴的交 点个数是( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无法确定
1
(2)函数
y
=- (
x
+1)
2
+2的顶点坐标是( )
2
(A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2)
2.填空:
(1)已知二次函数的图象经过与
x
轴 交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式
可设为
y

a (
a
≠0) 。
(2)二次函数
y
=-
x
2
+23
x
+1的函数图象与
x
轴两交点之间的距离为 。
3.据下列条件,求二次函数解析式。(1)图象经过 点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);











(2)当
x
=3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);














(3)函数图象与
x
轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0 ),并与
y
轴交于(0,-2)。






2.2.3 二次函数的简单应用


一、函数图象的平移变换与对称变换
1.平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究
二次函数的图象平移?
我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象
的位置 、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象
的顶点式研究其顶点 的位置即可。
例1 求把二次函数
y

x
2
-4
x
+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解
析式:
(1)向右平移2个单位,向下平移1个单位;(2)向上平移3个单位,向左平移2个单位。
分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数),所
以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项),所以,首先将二次函数的解
析式变形 为顶点式,然后,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图
像所对应的解析式。
解:二次函数
y
=2
x
2
-4
x
-3的 解析式可变为
y
=2(
x
-1)
2
-1,其顶点坐标为(1 ,-1)。
(1)把函数
y
=2(
x
-1)
2
-1的图象向右平移2个单位,向下平移1个单位后,其函数图象
的顶点坐标是(3,-2),所以,平 移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y
=2(
x
-3)
2
-2。
(2)把函数y
=2(
x
-1)
2
-1的图象向上平移3个单位,向左平移2 个单位后,其函数图象
的顶点坐标是(-1, 2),故平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y
=2(
x
+1)
2
+2。
2.对称变换
问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,有什么特点?依
据 这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移?
我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴 平行的直线进行对称变换时,具有这
样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因 此,在研究二次函数图
象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题。

y
y
B(1,3)

x=-1


y=1


O
x

O
x
A(1,-1)

A(1,-1)
A
1
(-3,-1)

图2.2-8

图2.2-7

例2 求把二次函数
y
=2
x
2
-4
x
+1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应函数解析式:
(1)直线
x
=-1; (2)直线
y
=1。
解:(1 )如图2.2-7,把二次函数
y
=2
x
2
-4
x
+1的图象关于直线
x
=-1作对称变换
后,只改变图象的顶点位置,不改变其形状。
由于
y
=2
x
2
-4
x
+1=2(x
-1)
2
-1,可知,函数
y
=2
x
2-4
x
+1图象的顶点为
A
(1,-1),


所以 ,对称后所得到图象的顶点为
A
1
(-3,1),所以,二次函数
y
=2
x
2
-4
x
+1的图象关于
直线
x
= -1对称后所得到图象的函数解析式为
y
=2(
x
+3)
2
-1,即
y
=2
x
2
+12
x
+17。
(2)如图2.2-8,把二次函数
y
=2
x
2
-4
x+1的图象关于直线
x
=-1作对称变换后,
只改变图象的顶点位置和开口方向, 不改变其形状。
由于
y
=2
x
2
-4
x
+1=2(
x
-1)
2
-1,可知,函数
y
=2
x
2
-4
x
+1图象的顶点为
A
(1,-1),
所 以,对称后所得到图象的顶点为
B
(1,3),且开口向下,所以,二次函数
y
=2
x
2
-4
x
+1图
象关于直线
y
= 1对称后所得到图象的函数解析式为
y
=-2(
x
-1)
2
+3,即
y
=-2
x
2
+4
x
+1。
练习
1.选择题:(1)把函数
y
=-(
x-
1)
2
+4的图象向左平移2个单位,向下平移3个单位,所
得图象对应的解析式为( )
(A)
y
= (
x
+1)
2
+1 (B)
y
=-(
x
+1)
2
+1
(C)
y
=-(
x
-3)
2
+4 (D)
y
=-(
x
-3)
2
+1

二、分段函数
一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数 ,叫作
分段函数。
例3 在国内投递外埠平信,每封信不超过20g付邮资80分,超 过20g不超过40g付邮
资160分,超过40g不超过60g付邮资240分,依此类推,每封x
g(0<
x
≤100)的信应付多
少邮资(单位:分)?写出函数表达 式,作出函数图象。
分析:由于当自变量
x
在各个不同的范围内时,应付邮资的数 量是不同的。所以,可以
用分段函数给出其对应的函数解析式。在解题时,需要注意的是,当
x
在各个小范围内(如
20<
x
≤40)变化时,它所对应的函数值(邮资)并 不变化(都是160分)。
解:设每封信的邮资为
y
(单位:分),则
y

x
的函数。
?
80,x?(0,20]
y(分)
?
160x?(20,40]
400
?
?
这个函数的解析 式为
y?
?
240,x?940,80]

320
?
320x?(60,80]
240
?
160
?
?
400,x?(80,100]




80
O
20 40 60 80 100
x(克)
图2.2-9
由上述的函数解析式,可以得到其图象如图2.2-9所示。
例4如图9-2所示,在边长为 2的正方形
ABCD
的边上有一个动点
P
,从点
A
出发沿折
线
ABCD
移动一周后,回到
A
点。设点
A
移动的 路程为
x
,Δ
PAC
的面积为
y

(1)求函数
y
的解析式;(2)画出函数
y
的图像;(3)求函数
y
的 取值范围。
分析:要对点
P
所在的位置进行分类讨论。
解:(1)①当点
P
在线段
AB
上移动(如图2.2-10①),即0<
x
≤ 2时,
y

AP?BC

x

②当点
P
在线段
BC
上移动(如图2.2-10②),即2<
x
<4时, < br>11
y

PC?AB

(4?x)?2
=4-
x

22
D
C
1
2
③当点
P在线段
CD
上移动(如图2.2-10③),即4<
x
≤6时,
P
A

2.2

10
B

< br>y

PC?AD

(x?4)?2

x
-4 ;
④当点
P
在线段
DA
上移动(如图2.2-10④),即6<< br>x
<8时,
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程
x
2
?2xy?y
2
?x?y?6?0
是一 个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次
数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。其 中
x
2
,
2xy
,
y
2
叫做这个方程的二 次
项,
x
,
y
叫做一次项,6叫做常数项。
22
?
x
2
?4y
2
?x?3y?1?0,
?
?
x?y?20,
我们看下面的两个方程组:
?

?
2
< br>2
?
?
2x?y?1?0;
?
x?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两
个二元二次方程 组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组。
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。
?
x
2
?4y
2
?4?0,
例1 解方程组
?

?
x?2y?2?0.
分析:二元二次方程组对我们来 说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟
悉的形式。注意到方程②是一个一元一次方程,于 是,可以利用该方程消去一个元,再代入
到方程①,得到一个一元二次方程,从而将所求的较为生疏的问 题转化为我们所熟悉的问题。

1
2
1
2
解:由②,得x
=2
y
+2, ③
把③代入①,整理,得8
y2
+8
y
=0,即
y
(
y
+1)=0。解得< br>y
1
=0,
y
2
=-1。

y< br>1
=0代入③,得
x
1
=2;把
y
2
=-1 代入③,得
x
2
=0。
?
x
1
?2,
?
x
2
?0,
所以原方程组的解是
?

?

y?0,y??1.
?
1
?
2
说明:在解类似于本例的二元二次方程组时,通常采用本例所介绍的代入消元 法来求解。
?
x?y?7,
例2解方程组
?

?
xy?12.
解法一:由①,得
x?7?y.

把③代入②,整理,得
y
2
?7y?12?0

解这个方程,得
y
1
?3,y
2
?4


y
1
?3
代入③,得
x
1
?4
;把< br>y
2
?4
代入③,得
x
2
?3

?
x
1
?4,
?
x
2
?3,
所以原方程的 解是
?

?

y?3,y?4.
?
1
?< br>2
解法二:对这个方程组,也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把
x,y
看作一个一
元二次方程的两个根,通过解这个一元二次方程来求
x,y

这个方程组的
x,y
是一元二次方程
z
2
?7z?12?0
的两个根,
解这个方程,得
z?3
,或
z?4

?x
1
?4,
?
x
2
?3,
所以原方程组的解是
?

?

y?3;y?4.
?
1
?
2


?
x
2
?y
2
?13,
练习1 .下列各组中的值是不是方程组
?
的解?
x?y?5
?
?
x?2,
?
x?3,
?
x?1,
?
x??2,
( 1)
?
(2)
?
(3)
?
(4)
?

y?3;y?2;y?4;y??3;
????

2.解下列方程组:
22
?
xy
2
?
?
y?x?5,
?
x?y?3,
?1,
?
y?2x,
?
?
(1)
?
2
(2)
?
(3)
?
5
(4)
?

4
2
?
x?y?625;
?
xy??10;
?
?
y?x?3;
?
?
x
2
?y
2
?8.

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