高一数学衔接因式分解

1

第2讲因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 与整式乘法是相反方向的变形．在分式运
算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法 较多，除了初中课本涉及到
的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立 方和、立方差
公式）、十字相乘法和分组分解法等等．
2.1公式法
在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
(立方和公式)；
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b3
(立方
差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
a3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)
；
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab ?b
2
)

3
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1)
8?x
(2)
0.125?27b
3

3332
8?x?2?x?(2?x)(4?2x?x)
解：(1)
(2)
0.125?27b
3
?0.5
3
?(3b)3
?(0.5?3b)[0.5
2
?0.5?3b?(3b)
2
]
?(0.5?3b)(0.25?1.5b?9b
2
)

说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如
8a
3
b
3
?(2ab)
3
，这里逆用了法则
(ab)
n
?a
n
b
n
；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，
一定要看准因式中各项的符号．
34
76
【例2】分解因式：(1)
3ab?81b
(2)
a?ab

66
a?b
分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，
32322323
(a)?(b)(a)?(b)
． 可看着是或
34332 2
3ab?81b?3b(a?27b)?3b(a?3b)(a?3ab?9b)
． 解：(1)
76663333
a?ab?a(a?b)?a(a?b)(a?b)
(2)

2

?a(a?b)(a
2
?ab?b
2
)(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

?a(a?b)(a?b)(a
2
?ab?b
2
)(a
2
?ab?b
2
)

2.2提取公因式法与分组分解法
【例3】把
x?y?ax?ay
分解因式．
分析：把第一、二项为一组， 这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，
22
其中一个因式是
x?y
；
x?y
. 把第三、四项作为另一组，在提出公因式
a
后，另一个 因式也是
22
x?y?ax?ay?(x?y)(x?y)?a(x?y)?(x?y)(x? y?a)
解：
【例4】分解因式：（1）
a
2
?
b?5< br>?
?a
?
5?b
?
32
；（2）
x?9?3 x?3x
．
a
2
?
b?5
?
?a
?5?b
?
?
a(b?5)(a?1)
解：（1）；
（2）x
3
?9?3x
2
?3x
?(x
3
?3x2
)?(3x?9)?x
2
(x?3)?3(x?3)?
(x?3)(x
2
?3)
．
22
32
2x?xy?y?4x?5y?6
．
x?9?3x?3x
【例5】分解因式：
（1）；（2）
322
32
(x?3x)?(3 x?9)x(x?3)?3(x?3)
=
x?9?3x?3x
解：（1）==
(x?3)(x
2
?3)
．
32333
32
(x?3x? 3x?1)?8(x?1)?8(x?1)?2
x?9?3x?3x
或＝＝＝
2
22
(x?3)(x?3)
．
[(x?1)?2][(x?1) ?(x?1)?2?2]
＝＝
（2）
2x
2
?(y?4)x?(y? 2)(y?3)

2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6< br>=
2x
2
?(y?4)x?y
2
?5y?6
=
=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
2222
2x?xy?y?4x?5y?6(2x?xy?y)?(4x?5y)?6
或=
=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6
=
(2 x?y?2)(x?y?3)
．
222
2x?4xy?2y?8z
【例6】把分解因式．
222
x ?2xy?y?4z
分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个
完全平方 式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解：
2x
2
?4xy? 2y
2
?8z
2
?2(x
2
?2xy?y
2
?4z
2
)
?2[(x?y)
2
?(2z)
2
] ?2(x?y?2z)(x?y?2z)

3

练习：
22
6xy?2xy?4xyz
中各项的公因式是__________． 1．多项 式
2．
m
?
x?y
?
?n
?
y?x
?
?
?
x?y
?
?
_____．
3．
m
?
x?y
?
?n
?
y?x
?
?
?
x?y
?
?
____．
222
4．
m
?
x?y?z
?
?n
?
y?z?x
?
?
?
x?y?z
?
?
_________．
5．
m
?
x?y?z
?
?x?y?z?
?
x?y?z
?
?< br>______．
6．
2ax?10ay?5by?bx?
_________________
2222
ab(c?d)?(a?b)cd
7．
【答案】1．
2x y
；2．
(m?n)
；3．
(m?n)
；4．
(m?n)< br>；5．
(m?1)
．
6．
2ax?10ay?5by?bx?2a( x?5y)?b(x?5y)?(x?5y)(2a?b)

22222222
ab( c?d)?(a?b)cd?abc?abd?acd?bcd
7．

?(abc< br>2
?a
2
cd)?(b
2
cd?abd
2
)
?ac(bc?ad)?bd(bc?ad)?(bc?ad)(ac?bd)

2.3 十字相乘法
2
x
2.3.1 形如
?(p?q)x?pq
型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之
和．
x
2
?(p?q)x?pq?x
2
?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p) (x?q)

因此，
x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)
，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法．
【例7】把下列各式因式分解：
（1）x
2
－3x＋2；（2）x
2
＋4x－12；
2 2
x?(a?b)xy?aby
（3）；（4）
xy?1?x?y
．
2
解：（1）如图1.1－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项 2分解成－1与

4

－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的 和为－3x，就是x
2
－3x＋2中的一次项，所
以，有x
2
－3x ＋2＝(x－1)(x－2)．



说明：今后在分解与本例类似的二次 三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示（如
图2所示）．
（2）由图3，得x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
22
x?(a?b)xy?aby
（3）由图4，得＝
(x?ay)(x?by)

（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图5）．
练习：把下列各式因式分解
2222
(1)
x?7x?6
(2)
x?13x?36
(3)
x?5x?24
(4)
x?2x?15

解：(1)
6?(?1)?(?6),(?1)?(?6)??7
，∴
x
2
? 7
(2)
(3)
x?6?[x?(x?1
．
)?x]?[x?(6?
36?4?9,4?9?13
，∴
x
2< br>?13x?36?(x?4)(x?9)
．
?24?(?3)?8,(?3)?8?5
，∴
x
2
?
(4)
5x?2?x
．
?15?(?5)?3,(?5)?3??2
4?x，
[?
∴
(x?
x
2
?2x?15?x
．
[?x(?x5?)
【例8】把下列各式因式分解：



22
x?xy?6y
(1)
222
(x?x)?8(x?x)?12
(2)
222
x?xy?6y
?6y
x
分析：(1) 把看成的二次三项式 ，这时常数项是，一次项系数是
y
，把
?6y
2
分解成
3y
与
?2y
的积，而
3y?(?2y)?y
，正好是一次项系数；(2 ) 由换元
2
思想，只要把
x?x
整体看作一个字母
a
，可 不必写出，只当作分解二次三项式
a
2
?8a?12
．

5

2222
x?xy?6y?x?yx?6?(x?3y)(x?2y)
． 解：(1)
(2)
(x
2
?x)
2
?8(x
2
? x)?12?(x
2
?x?6)(x
2
?x?2)
?(x?3)(x ?2)(x?2)(x?1)
．
2
2.3.2 形如一般二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解
2
(ax?c)(ax? c)?aax?(a
1
c
2
?a
2
c
1
) x?c
1
c
2
．
112212
我们知道，
2aax?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x ?c
1
c
2
?(a
1
x?c
1
)(a2
x?c
2
)

12
反过来，就得到：
我们发 现，二次项系数
a
分解成
,
2
c,
1
c,
2
a
1
a
2
，
cc
把
a
1
a
常数项
c
分解成
12
，
a
1
写成a
2
c
1
?
c
2
，
这里按斜线交叉相 乘，再相加，就得到
a
1
c
2
?a
2
c
1
，如果它正好等于
ax
2
?bx?c
的一次项
2
( ax?c
1
)(a
2
x?c
2
)
，
a,c a,c
系数
b
，那么
ax?bx?c
就可以分解成
1
其中
11
位于上一行，
22
位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘
法．
【例9】把下列各式因式分解：

2
(1)
12x?5x?2

22
5x?6xy?8y
(2)
解：(1)
12x?5x?2?(3x?2)(4x?1)

2

3?2
4 1

?

22
5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)
(2)
1 2y
5?4y

?
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数 不是1时较困难，具体分解
时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减 法”凑”，看是
否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
2.4 配方法
【例10】把下列关于x的二次多项式分解因式：
22
2
x?4xy?4y
x?2x?1
（1）；（2）．
2
x??1?2
，
x
2
??1?2
， 解：（1）令
x?2x?1
=0，则解得
1

6

∴
x
2
?2x?1
=
?
x?(? 1?2)
??
x?(?1?2)
?
????
=
(x?1?2 )(x?1?2)
．
22
x?(?2?22)y
，
x
1< br>?(?2?22)y
，
x?4xy?4y
（2）令=0，则解得
1
∴
x?4xy?4y
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
2
x
【练习】分解因式
?6x?16

22
222 222
x?6x?16?x?2?x?3?3?3?16?(x?3)?5
解：

?(x?3?5)(x?3?5)?(x?8)(x?2)

说明：这种设法配成有完 全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平
方式，然后用平方差公式分解．当然，本题 还有其它方法，请大家试验．
2.5 拆、添项法
32
【例11】分解因式
x?3x?4

分析：此多项式显然不能 直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一
次项，如果它能分解成几个因式的积，那么 进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0
了，可考虑通过添项或拆项解决．
解：
x?3x?4?(x?1)?(3x?3)



32 32
?(x?1)(x
2
?x?1)?3(x?1)(x?1)?(x?1)[(x< br>2
?x?1)?3(x?1)]

?(x?1)(x
2
?4x?4)?(x?1)(x?2)
2
说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，
222
造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将
?3x
拆成
x?4x
，将多项式分成
32
(x?x)
和
?4x
2
?4
． 两组


1．把下列各式分解因式：

3
(1)
a?27

3
(2)
8?m

3
(3)
?27x?8

7

?
(4)
1
3
1
3
p?q
864

8x
3
y
3
?
(5)
1
125

1
33
1
3
xy?c
21627
(6)
2．把下列各式分解因式：


34
xy?x
(1)

n?3n3
x?xy
(2)
2232
y(x?2x)?y
(4)
2323
a(m?n)?ab
(3)
3．把下列各式分解因式：


2
(1)
x?3x?2

2
(2)
x?37x?36

2
(3)
x?11x?26

2
(4)
x?6x?27

22
(5)
m?4mn?5n
(6)
(a?b)?11(a?b)?28

2
4．把下列各式分解因式：



22
543n?2n?1n2
(x?2x)?9

ax?10ax?16axa?ab?6ab
(1) (2) (3)
42
(4)
x?7x?18

2
(5)
6x?7x?3

22
8x?26xy?15y
(6)
2
7(a?b)?5(a?b)?2
(7)
22
(6x?7x)?25
(8)
5．把下列各式分解因式：



22
32
3ax?3ay?xy?y5x?15x?2xy?6y

8x?4x?2x?1
(1) (2) (3)
22
2243 2224
4xy?1?4x?y
4a?20ab?25b?36ab?ab?ab?ab
(4) (5) (6)
663
x?y?2x?1
(7)
2
x(x?1)?y(xy?x)
(8)

8


第2讲因式分解答案
1．
(a?3)(a?3a?9),(2 ?m)(4?2m?m),(2?3x)(4?6x?9x),

222
?
1 1211
(2p?q)(4p
2
?2pq?q
2
),(2xy?)( 4x
2
y
2
?xy?),(xy?2c)(x
2
y
2
?2xyc?4c
2
)
645525216
22n22
2 ．
x(x?y)(y?xy?x),x(x?y)(x?xy?y),


a
2
(m?n?b)[(m?n)
2
?b(m?n)?b
2
] ,y
2
(x?1)
2
(x
4
?4x
3
?3 x
2
?2x?1)

3．
(x?2)(x?1),(x?36)(x ?1),(x?13)(x?2),(x?9)(x?3)


4
(x?9)(x?3),(m?5n)(m?n),(a?b?4)(a?b?7)

．
ax
3
(x?2)(x?8),a
n
(a?3b)(a? 2b),(x?3)(x?1)(x
2
?2x?3),(x?3)(x?3)(x
2< br>?2)

(2x?3)(3x?1),(2x?y)(4x?15y),(7a?7b? 2)(a?b?1),(2x?1)(3x?5)(6x
2
?7x?5)

5 ．
(x?y)(3a?y),(2x?1)(2x?1),(x?3)(5x?2y),(2a?5b? 6)(2a?5b?6)


(1?2x?y)(1?2x?y),ab(a?b)< br>2
(a?b),(x
3
?1?y
3
)(x
3
?1?y
3
),x(x?y)(x?y?1)
．

课堂练习答案：
1、D 2、D 3、略 4、
?1?x?0
5、C










2

主编：刘世彬
副主编：谢春暖 程猛猛











9
徐玲玲 张宇 王松生