《 初、高中衔接：因式分解》教案

初、高中衔接：因式分解 江苏省泰州中学 宋健 wjq_sj@
分 解 因 式
因式分解的主要方法有：提取 公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，
另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
222
（2）完全平方公式
(a?b)?a?2ab?
．
b

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
23
（1）立方和公式
(a?b)(a

?ab?
2
b)?
3
a?
；
b
23
（2）立方差公式
(a?b)(a

?ab?
2
b)?
3
a?
；
b
222（3）三数和平方公式
(a?b?c)?a?b?
2
c2?(ab?bc?
；
)

ac
3323
（4）两数和立方公式
(a?b)
?a?3ab?3a
2
b?
；
b
332
（5）两数差立 方公式
(a?b)

?a?3ab?3a
2
b?
．
b
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
说明：前面有*的供选用
1．提取公因式法与分组分解法、公式法
例1 分解因式：

（1）2（y－x）
2
+3（x－y）
（2）mn（m－n）－m（n－m）
2

（3）9?x
2
?y
2
?2xy
（4）a
2
?4ab?4b
2
?2 a?4b
（5）x?xy?xy?y
3223


（6）(a?b)(a?1)?ab?b
2





2．十字相乘法
例2 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项
2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两 个数乘积的和为－3x，就是
x
2
－3x＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

x 1
x
1
－2
－1
－ay
－1


x 1
x
1 6
－2
－by
－2

图1．2－3
图1．2－1
图1．2－2
图1．2－4

1

初、高中衔接：因式分解 江苏省泰州中学 宋健 wjq_sj@

说明：今后在分 解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的
两个x用1来表示（如图1．2－2所示） ．
（2）由图1．2－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
( x?ay)(x?by)

（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
*例3 因式分解：（双十字相乘法）
x
y
图1．2－5
－1
1
(1)x
2
?2xy?8y
2
?2x?14y?3
(2)x
2
?y
2
?5x?3y?4
(3)xy?y
2
?x ?y?2
3．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．（求根法 ）
若关于x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根 是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2?bx?c(a?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2< br>)
.

例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．













2

初、高中衔接：因式分解 江苏省泰州中学 宋健 wjq_sj@
练 习
1．选择题：
（1）多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

22
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ） （2）若
x
2
?
2
（A）
m
2
（B）
1
4
m
2
（C）
1
1
3
m
2
（D）
16
m
2

（3）不论
a
，
b为何实数，
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值 （
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
2．填空：
（1）
1
9
a2
?
1
4
b
2
?(
1
2
b?
1
3
a)
（ ）；
（2）
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)
；
(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(

)
．
3．分解因式：
（1）5（x－y）
3
+10（y－x）
2
（

2）
?
c
2
?ab
?
2?
?
a?b
?
2
·c
2




3）2x
?
x?y
?
4
?x
2
?
x?y
?
2
?xy
?
y?x
?
2

（4）
a
2
?32a
4





（5）8a
3
－b
3
； （6）x
2
＋6x＋8；




（7）
4(x?y?1)?y(y?2x)
（8）
4x
4
?13x
2
?9
；







3
）
（

初、高中衔接：因式分解 江苏省泰州中学 宋健 wjq_sj@
（9）20a
4
? 33a
2
b
2
?7b
4

（10）< br>?
x
2
?5x
?
2
?10
?
x2
?5x
?
?96


*（11）
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．



*（12）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．




4．在实数范围内因式分解：
（1）
x
2
?5x?3
；




（3）
3x
2
?4xy?y
2
；





5．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．





（2）
x
2
?22x?3
；
4）
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2x )?12
．
4

（