2020新高一暑期数学衔接教材《因式分解》教案+作业设计

高初中衔接教材 因式分解

第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式 乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及
各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能 ．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)
外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等．

一、公式法(立方和、立方差公式)
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

a
3?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．
【例1】因式分解：
(1)
8?x

33
3

3
(2)
0.125?27b

2
3
解：(1)
8?x?2?x?(2?x)(4?2x?x)
.


(2) < br>0.125?27b?0.5?(3b)?(0.5?3b)[0.5?0.5?3b?(3b)]


33322
?(0.5?3b)(0.25?1.5b?9b
2
)
.
333
nnn
说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运 算法则，如
8ab?(2ab)
，这里
逆用了法则
(ab)?ab
； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．
【例2】因式分解：
(1)
3ab?81b

343
34

3
(2)
a?ab

22
76
解：(1)
3ab?81b?3b(a?27b)?3b(a?3b)(a?3ab?9b)
．


(2)
a?ab?a(a?b)?a(a?b)(a?b)


76663333
?a(a?b)(a
2
?ab?b
2
)( a?b)(a
2
?ab?b
2
)
?a(a?b)(a?b)(a?a b?b)(a?ab?b).
?a(a
2
?b
2
)[(a
2
?b
2
)
2
?a
2
b
2
]
?a(a?b)(a?b)(a
2
?ab?b
2
)(a
2
?ab?b
2
).

2222

a
7
?a b
6
?a(a
6
?b
6
)?a(a
2
?b
2
)(a
4
?a
2
b
2
?b
4< br>)

二、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主 要是二项式和三项式．而对于四项以上的多
项式，如
ma?mb?na?nb
既没有公 式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这
种利用分组来因式分解的方法叫做 分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
【例3】把
2ax?10ay?5by?bx
分解因式．
解：
2a x?10ay?5by?bx?2a(x?5y)?b(x?5y)?(x?5y)(2a?b)
. < br>说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也
可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．
【例4】把
ab(c?d)?(a?b)cd
分解因式．
- 1 -
2222

高初中衔接教材 因式分解
解：
ab(c?d)?(a?b)cd?abc?abd?acd?bcd



22222222
?(abc
2
?a
2
cd)?(b
2
cd?abd
2
)

?ac(bc?ad)?bd(bc?ad)?(bc?ad)(ac?bd)
.
2 22
222222
【例5】把
2x?4xy?2y?8z
分解因式．
解：
2x?4xy?2y?8z?2(x?2xy?y?4z)



三、十字相乘法
1．
x?(p?q)x?pq
型的因式分解
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 2
?2[(x?y)
2
?(2z)
2
]?2(x?y?2z)( x?y?2z)
.
x
2
?(p?q)x?pq?x
2
?p x?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)
.
因此，
x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)
.
【例6】因式分解：
(1)
x?7x?6

2
2
2
(2)
x?13x?36

2
解：(1)
x?7x?6?[x?(?1)][x?(?6)]?(x?1)(x?6)
．
(2)
x?13x?36?(x?4)(x?9)
.
(1)
x?xy?6y

222
22
2
【例7】因式分解：

2
(2)
(x?x)?8(x?x)?12

222
解：(1)
x?xy?6y?x?yx?6?(x?3y)(x?2y)
.
(2)
(x?x)?8(x?x)?12?(x?x?6)(x?x?2)
?(x?3)(x?2)(x?2) (x?1)
.
2
22222
2．一般二次三项式
ax?bx?c
型的因式分解 < br>2
大家知道，
(a
1
x?c
1
)(a
2x?c
2
)?a
1
a
2
x?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1
c
2< br>．
2
反过来，就得到：
a
1
a
2
x?(a
1
c
2
?a
2
c
1
)x?c
1< br>c
2
?(a
1
x?c
1
)(a
2
x ?c
2
)

我们发现，二次项系数
a
分解成
a1
a
2
，常数项
c
分解成
c
1
c2
，把
a
1
,a
2
,c
1
,c
2
写成
a
1
a
2
?
c
1
，这里 按斜
c
2
2
线交叉相乘，再相加，就得到
a
1
c< br>2
?a
2
c
1
，那么
ax?bx?c
就可以 分解成
(a
1
x?c
1
)(a
2
x?c
2
)
．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
【例8】因式分解：
(1)
12x?5x?2

2
2
(2)
5x?6xy?8y



22
解：(1)
12x?5x?2?(3x?2)(4x?1)
.
(2)
5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)
.
22
3?2
4 1

1 2
5?4

?
?
【例9】因式分解：
2
(1)
(x?2x)?7(x?2x)?8
(2)
x?2x?15?ax?5a

22
分析：用十字相乘法分解因式也要 注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较
多的多项式，应合理使用分组分解法， 找公因式，如五项可以三、二组合.
- 2 -

高初中衔接教材 因式分解
解：(1)原式
?(x?2x?1)(x?2x?8)?(x?1)(x?2)(x ?4)
.
(2)原式
?(x?2x?15)?(ax?5a)
?(x?3 )(x?5)?a(x?5)?(x?5)(x?3?a)
.

四、配方法
2
【例10】因式分解 (1)
x?6x?16
（2）
x?4xy?4y

22
222
2
解：(1)
x?6x?16?(x?3)?5
?(x?8)(x?2)
.
(2)
x?4xy?4y?(x?4xy?4y)?8y

22222
222
?(x?2y)
2
?8y
2
?(x?2y?22y)(x? 2y?22y)
.
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式 化为两个平方式，然后用
平方差公式分解．

五、拆(添)项法
【例11】因式分解
x?3x?4

解：
x?3x?4?(x?1)?(3x?3)



3232
32
?(x?1)(x
2
?x?1)?3(x?1)(x?1)?(x?1)[(x< br>2
?x?1)?3(x?1)]

?(x?1)(x
2
?4x?4)?(x?1)(x?2)
2
.
说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按下列步骤进行：
(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解；
(3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．




















- 3 -

高初中衔接教材 因式分解

A 组
1．把下列各式分解因式：
(1)
xy?x



2．把下列各式分解因式：
(1)
x?3x?2



(3)
6x?7x?3



3．把下列各式分解因式：
(1)
ax?10ax?16ax



(3)
8x?26xy?15y




4．把下列各式分解因式：
(1)
3ax?3ay?xy?y



(3)
4a?20ab?25b?36



B 组
1．把下列各式分解因式：
(1)
ab(c?d)?cd(a?b)



(3)
x?64



2．已知
a?b?
4
2222
2
22
34
(2)
x
n?3
?x
n
y
3

2
(2)
m?4mn?5n

22

2
(4)
(a?b)?11(a?b)?28

2
543
(2)
(x?2x)?9

22
(4)
(6x?7x)?25

22
(2)
5x?15x?2xy?6y

2
22
(4)
x?y?2x?1

663

(2)
x?4mx?8mn?4n

22
(4)
x?11x?31x?21

32

2
,ab?2
，求代数式
a
2
b?2a
2
b
2
?ab
2
的值．
3


- 4 -

高初中衔接教材 因式分解

第二讲 因式分解答案
A 组
1．
(1)x(x?y)(x?xy?y),(2)x(x?y)(x?xy?y).

2．
(1)(x?2)(x?1),(2)(m?5n)(m?n),(3)(2x?3)(3 x?1),(4)(a?b?4)(a?b?7).

3．
(1)ax(x?2)(x ?8),(2)(x?3)(x?1)(x?2x?3),

32
22n22(3)(2x?y)(4x?15y),(4)(2x?1)(3x?5)(6x
2
?7x ?5).
4.
(1)(x?y)(3a?y),(2)(x?3)(5x?2y),(3)(2 a?5b?6)(2a?5b?6),(4)(x
3
?1?y
3
)(x
3
?1?y
3
).


B 组
1．(1)(bc?ad)(ac?bd),(2)(x?4m?2n)(x?2n),(3)(x?4x?8) (x?4x?8),


(4)(x?1)(x?3)(x?7).

2．



22

28
.
3
- 5 -