江苏省扬州市初高中数学衔接教学材料

数 学
第一讲 乘法公式

一、知识要点
1．平方差公式：
(a?b)(a?b)?a?b
﹒
2．完全平方公式：
(a?b)?a?2ab?b
；
222
22< br>(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2?2ab?2bc?2ac
﹒
?b)?a?
﹒
b
3．立方和公式：
(a?b)(a?ab
?b)?a?
﹒
b
4．立方差公式：
(a?b)(a?ab
5．完全立方公式：
(a?b)?a?3 ab?3ab?b
；
33223
2233
2233
(a?b)3
?a
3
?3a
2
b?3ab
2
?b
3
﹒
二、例题选讲
例1、填空（1）
(x?3)(x?3)(x?9)?
_______________﹒
解：原式=
(x?9)(x?9)?x?81
﹒
（2）
(2x?1)?(x?2)?
______________﹒
解：原式=
4x?4x?1?(x?4x?4)?3x?8x?3
﹒
222
22
224
2
1
?3
，求下列各式的值：
x
11
23
（1）
x?
2
；（2）
x?< br>3
﹒
xx
1
2
111
22
解：（1）?(x?)?x?2?x??
2
?x?
2
?2
，
xx
xx
11
?x
2
?
2
?(x?)
2
?2?9?2?7
﹒
x
x
11
2
1
3
(2)
x?
3
?(x?)(x?1?
2
)?3?(7?1)?18
﹒
x
xx
例2、已知
x?
例3、已知
x?y?2
，求代数式
x? y?6xy
的值．
解：
x?y?6xy?(x?y)(x?xy?y)?6xy

332233

?2(x
2
?xy?y
2
?3xy)?2( x?y)
2
?8
﹒
例4、 已知
x?y?8,y?z?9,
试求代数式
x?y?z?xy?yz?xz
的值．
解：
222
x?y?8,y?z?9,?x?z?17
，
1
?x
2
?y
2
?z
2
?xy?yz?xz?(2x
2
?2y
2
?2z
2
?2xy?2yz?2xz)
2
11
?[(x?y)
2
?(y?z)
2
?(x?z)
2
]?(8
2
?9
2
?17
2
)?217

22
三、自我小结：
______________________ __________________________________________________ __
_________________________________________ _________________________________
__________ __________________________________________________ ______________
_____________________________ _____________________________________________
四、巩固练习
1．计算
(a?b)(a?b)?(b?c)(b?c)?(c?a) (c?a)?
_________．
2．计算
(x?y)?2(x?y)(x?y)?(x?y)
= ．
3．
2006?2008?2004
= ．
2
22
1
= ．
2
x
1
16248
5．计算
(3?1)(3?1)(3?1)(3?1)??3
= ．
2
4．已知
x?5x?1?0
，则
x?
2
2< br>1
2
?2
2
3
2
?4
2
5
2
?6
2
???
6．计算
1?23?45?6





2009
2
?2010
2
2011
2
?2012
2
?
+﹒
2011?2012
20 09?2010
7．已知
a?c?2?b
，则
a?b?c?2ab?2bc? 2ac
= ．




222

8．已知
x?y?2
，求代数式
x?y?6xy< br>的值．





9．已知
x?y?1,xy?3
，试求下列各式的值：
（1）
x?y;






（2）
x?y.

33
22
33

第二讲 因式分解

一、知识要点
1．因式分解：把一个整式化为几个整式的乘积形式．
2．因式分解的基本方法：
（1）提公因式法
ma?mb?mc?m(a?b?c)

（2）运用公式法 常见公式有：
①
a
2
?b
2
?(a?b)(a?b)
，
②
a
2
?2ab?b
2
?(a?b)
2
，
③
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
ab? b
2
)
，
④
a
3
?3a
2
b? 3ab
2
?b
3
?(a?b)
3
，
⑤
a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc?(a?b?c )
2
，
（3）十字相乘法：
x
2
?(a?b)x?ab? (x?a)(x?b)

（4）配方法、添项拆项法，分组分解法
二、例题选讲
例1、 因式分解：
2
3
（1）
x?4x?4
；（2）
x?8
；（3）
x(a?2)?y(2?a)
﹒
33
2
解：（1）
x?4x?4
?(x?2)

2
3
（2）
x?8
?x?2?(x?2)(x?2x?4)

332
（3）
x(a?2)?y(2?a)

=
x(a?2)?y(a?2)?(a?2)(x?y)

例2 、因式分解
（1）
x?5x?6
；（2）
2x?x?15
；（3）
6x ?13x?6
﹒
解：（1）
x?5x?6
?(x?2)(x?3)
；
（2）
2x?x?15
?(2x?5)(x?3)
；
（3）
6x?13x?6
?(2x?3)(3x?2)
﹒

例3、 因式分解
x?5xy?6y?3x?6y

22
33
333
222
2
2
2

解：
x?5xy?6 y?3x?6y

22
?(x?2y)(x?3y)?3(x?2y)?(x?2y)(x?3y?3)

例4、因式分解
a?ab?ab?b

解：
a?ab?ab?b

523325
523325
?a
2
(a
3
?b
3
)?b
2
(a
3
?b
3
)?(a
3
?b
3
)(a
2
?b
2
)

?(a?b)
2
(a?b)(a
2< br>?ab?b
2
)

三、自我小结：
__________ __________________________________________________ ______________
_____________________________ _____________________________________________
_____________________________________________ _____________________________
______________ __________________________________________________ __________
四、巩固练习
1．将下列各式分解因式：
（1）
x?xy

_________________ _________________________________________________
（2）
x?4

__________________ ________________________________________________
（3）
125x?y

_______________ __________________________________________________ _
（4）
2x?3x?1

___________ __________________________________________________ _____
（5）
x?(a?1)x?a

____ __________________________________________________ ____________
2
33
32
4
2

（6）
a?3a?3a?1

______________ __________________________________________________ __
（7）
a?b?2ab?2a?2b?1

__ __________________________________________________ ______________
（8）
12x?25xy?12y

__________________________________________________ ________________
（9）
x?2xy?y?x?y?6

_____________________________________ _____________________________
2．已知
a?2b?5< br>，
3a?4b?6
，求多项式
3a?2ab?8b
的值．










22
22
22
32
22

第三讲 因式定理
一、知识要点
nn?1
定理1（因式定理）：若
a
是一元多项式< br>a
n
x?a
n?1
x?????a
1
x?a
0
(n是非负整数)
的根，即
a
n
a
n
?a
n?1
a
n?1
?????a
1
a?a
0
?0< br>，则多项式
a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?????a
1
x?a
0
有一个因式
x?a
.
根据因式定理，找出一元多项式的一次因式的关键是求出该多项式的一个根，对于任意的多项式，< br>求出它的根是没有一般方法的，然而对于整系数多项式常用下面的定理来判定它是否有有理根.
定理2：若既约分数
q
nn?1
是整系数多项式
a
n
x? a
n?1
x?????a
1
x?a
0
的根，则必有
p
是
a
n
的约
p
数，
q
是
a0
的约数，特别地，当
a
n
?1
时，该多项式的整数根均为a
0
的约数.
定理3：若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等.
二、例题选讲：
例1、因式分解：
x?5x?9x?6
﹒
分析： 将
x??1,?2,?3,?6
(常数6的约数)分别代入原式，得当
x?2
时，代数式的值为0，故原
式有一次因式
x?2
﹒
法一：（分组分解法）
x?5x?9x?6?(x?2x)?(3x?9x?6)


?x(x?2)?3(x?2)(x?1)


?(x?2)(x?3x?3)
﹒
法二：（待定系数法）
设
x?5x?9x?6?(x?2)(ax?bx?c)
，
322
32
32322
2
2
x
3
?5x
2
?9x ?6?ax
3
?(b?2a)x
2
?(c?2b)x?2c
， ?
?
?
故
?
?
?
?
b?2a??5,
?
a?1,
?
得
?
b??3,

c?2 b?9,
?
c?3.
?
?2c??6,
2
a?1,
所以
x
3
?5x
2
?9x?6
?(x?2)(x?3x?3 )
﹒
例2、因式分解：
2x?13x?3
﹒
分析：2的约数是< br>?1,?2
，3的约数是
?1,?3
，所以将
x??1,?3,?32
31
1
,?
代入原式，得当
x?
时，
22
2

代数式的值为0，故原式有因式
x?
323
1，也即原式有因式
2x?1
﹒
2
22
解：法一：
2x?13x?3?2x?x?12x?3


?x(2x?1)?3(2x?1)(2x?1)


?(2x?1)(x?6x?3)
﹒
法二：设
2x?13x?3?(2x? 1)(x?ax?3)?2x?(2a?1)x?(a?6)x?3
，
故
a??6
，
32
所以
2x?13x?3
?(2x?1)(x?6x?3)
﹒ < br>2
32232
2
2
例3、因式分解：
9x?3x?7x?3x ?2
﹒
分析：9的约数是
?1,?3,?9,?2
的约数是
?1, ?2
，所以将
x??1,?2,?
432
2121
,?,?,?代入原式，
3399
12
12
是原式的根，故原式有因式
x?, x?
，
33
33
12121
22
又
(x?)(x ?)?x?x??(9x?3x?2)
，
33399
得
?,
故原式有因式
9x?3x?2
﹒
法1：
9x?3x?7x?3x?2?(9x?3x?2x)?9x?3x?2
4324322
2
?(x
2
?1)(9x
2
?3x?2 )

?(x
2
?1)(3x?1)(3x?2)
﹒
法2：设
9x?3x?7x?3x?2?(9x?3x?2)(ax?bx?c)
，
待定系数得
a?1,b?0,c?1
﹒
即
9x?3x?7x?3x?2?(9x?3x?2)(x?1)
﹒
说明： 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，这样可以简化
因式分解的过程 ﹒
三、自我小结：
_______________________________ ___________________________________________
__________________________________________________ ________________________
___________________ __________________________________________________ _____
______________________________________ ____________________________________
43222
43222

四、巩固练习
将下列各式分解因式：
①
x?3x?2
②
3x?7x?10

332





③
x
3
?11x
2
?31x?21






⑤
2x
3
?5x
2
?1






⑦
x
4
?3x
3
?3x
2
?12x?4




④
x
4
?4x?3

⑥
x
3
?x
2
?10x?6

⑧
4x
4
?4x
3
?9x
2
?x?2

数学巩固练习参考答案:
一、代数部分
第一讲 乘法公式
1、
(a?b)(a?b)?(b?c)(b?c)?(c?a)(c?a)?a?b?b?c?c?a?0

2、解：
(x?y)?2(x?y)(x?y)? (x?y)?2x?2y?2(x?y)?4y

3、解：
2006?2008?20 04?2006?(2006?2)(2006?2)?2006?2006?4?4

222 2
2222222
222222
111
?5
，
?x
2
?
2
?(x?)
2
?2?5
2
?2?23

xxx
11
16
1
16
1
16
1248
5、解：原式=
(3?1)(3?1)(3?1)(3?1)(3?1)??3?( 3?1)??3??

22222
4、解：
x
2
?5x?1 ?0,?x?
1
2
?2
2
3
2
?4
25
2
?6
2
???
6、解：
1?23?45?6
2009
2
?2010
2
2011
2
?2012
2
?
+
2011?2012
2009?2010
=
1?2 ?3?4?5?6???2011?2012??1?1006??1006

7、解：
a?b?c?2ab?2bc?2ac?(a?b?c)?2?4

8、解：
x?y?6xy?(x?y)(x?xy?y)?6xy?2(x?xy?y?3xy)

332222
22222
?2(x?y)
2
?2?2
2
?8

9．解：（1）
x?y?(x?y)?2xy?1?6?7

（2）
x?y?(x?y)(x?xy?y)?1?(7?3)?10

3322
222
第二讲 因式分解
1．将下列各式分解因式：
（1）
x(x?y)
提取公因式
22
2
（2）
(x?2)(x?2)(x
2
?2)
公式法
（3）
(5x?y)(25x?5xy?y)
公式法
（4）
(x?1)(2x?1)
十字相乘法
（5）
(x?a)(x?1)

3
十字相乘法
（6）
(a?1)
公式法
（7）
(a?b?1)
公式法（或分组后十字相乘法）
（8）
(3x?4y)(4x?3y)
十字相乘法
2

（9）
(x?y?3)(x?y?2)
分组后十字相乘法
2．
3a?2ab?8b?(a?2b)(3a?4b)?30

22

第三讲：因式定理
①解：试根得
x?1
是原式的根，则原式有因式
x?1
，故
x
3
?3x?2?x
3
?x?2x?2?x(x?1)(x?1)?2(x ?1)?(x?1)
2
(x?2)

②解：试根得
x??1
是原式的根，则原式有因式
x?1
，故 3x
3
?7x
2
?10?3x
3
?3x
2?10x
2
?10?3x
2
(x?1)?10(x?1)(x?1)?( x?1)(3x
2
?10x?10)
③解：试根得
x?1
是原式的根 ，则原式有因式
x?1
，故
x
3
?11x
2
?3 1x?21?x
3
?x
2
?10x
2
?31x?21


?x(x?1)?(x?1)(10x?21)?(x?1)(x?3)(x?7)

④解：试根得
x?1
是原式的根，则原式有因式
x?1
，故
2
x
4
?4x?3?x
4
?1?4x?4?(x
2
?1)(x?1)(x?1)?4x?4

?(x?1)(x
3
?x
2
?x?3)?(x?1)(x
3
?x
2
?2x
2
?x?3)

?(x?1)(x
2
(x?1)?(x?1)(2x?3)) ?(x?1)
2
(x
2
?2x?3)

⑤解：试根得
x?
1
是原式的根，则原式有因式
2x?1
，故
2
2x
3
?5x
2
?1?x
2
(2x?1)?4x
2?1?x
2
(2x?1)?(2x?1)(2x?1)?(2x?1)(x
2?2x?1)

⑥解：试根得
x?3
是原式的根，则原式有因式
x?3
，故
x
3
?x
2
?10x?6?x
3
?27?x
2< br>?10x?21?(x?3)(x
2
?3x?9)?(x?3)(x?7)

?(x?3)(x
2
?4x?2)

⑦解：试根得
x??2
是原式的根，则原式有因式
(x?2)(x?2)?x?4
，故
432设
x?3x?3x?12x?4?(x?4)(x?ax?1)
?x?ax?3x?4ax ?4
，故
a?3

222
43222
2
所以原式< br>?(x?4)(x?3x?1)?(x?2)(x?2)(x?3x?1)

⑧解：试根 得
x?1
，
x??2
是原式的根，则原式有因式
(x?1)(x?2 )?x?x?2
，故
设
4x
4
?4x
3
?9x< br>2
?x?2?(x
2
?x?2)(4x
2
?ax?1)?4x
4
?(a?4)x
3
?(a?9)x
2
?(a?1)x?2

解得
a?0
，故原式
?(x?x?2)(4x?1)?(x?1) (x?2)(2x?1)(2x?1)



22
2