关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

高中数学排列组合(一)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 13:01
tags:高中数学排列组合

高中数学必修五知识点细-职业高中数学课本下册

2020年9月18日发(作者:储欣)



高中数学排列组合(一)


一.选择题(共27小题)
1.(2006春?南京校级期中)n∈N
+
且n<20,则(20﹣n)(21﹣n )…(100﹣n)等于
( )
A. B. C. D.
2.(2016?九江 二模)设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则
称a和b对模m同余,记为a =b(mod m).若a=C
则b的值可以是( )
A.2015 B.2016 C.2017 D.2018
+C+…+C,a=b(mod9),
3.(2016春?大同 校级期末)把4封不同的信投进5个不同的邮箱中,则总共投法的种数
为( )
A.20 B. C.4
5
D.5
4

4.(2016春?广东校级期中)5 位同学报名参加学校的篮球队、足球队和羽毛球队,要求每
位同学只能选报一个球队,则所有的报名数有 ( )
A.5
3
B.3
5
C. D.5!
5.( 2015秋?深圳校级期末)由数字2,3,4,5,6所组成的没有重复数字的四位数中5,
6相邻的 奇数共有( )
A.10个 B.14个 C.16个 D.18个
6.(2015秋?泗县校级期末)过不共面的4个点中的3个点的平面,共有( )
A.0个 B.3个 C.4个 D.无数个
第1页(共21页)



7.(2015秋?荆州校级期末)5名同学分别报名参加学校的排球队、足 球队、篮球队、乒乓
球队,每人限报其中的一个运动队,不同报法的种数是( )
A. B.5
4
C.4
5
D.4×5
+C的不同值有( )个. 8.(2014春?抚顺校级月考)C
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2013春?青州市校级期中)已知A
A.1 B.2 C.4 D.不确定
=2A,则log
n
25的值为( )
10.(2012春?秀峰区校级 期中)5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座,每名同学可
自由选择听其中的1个讲座,不同选法的 种数是( )
A.5
4
B.4
5
C.5×4×3×2 D.
11.(2009?四川)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女
生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )
A.60 B.48 C.42 D.36
12.(2004?重庆)某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3 位,
二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学
恰 好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为:( )
A. B. C. D.
13.(2011?泸州一模)设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子 集A和B,要使B
中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( )
A.50种 B.49种 C.48种 D.47种
14.(2014?开福区校级模拟)用1,2,3,4,5这 五个数字,组成没有重复数字的三位数,
其中偶数共( )
第2页(共21页)



A.24个 B.30个 C.40个 D.60个
15.(20 04?山东)从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三
位数,其各位数 字之和等于9的概率为( )
A. B. C. D.
16.(2010?深圳一模)设 a
1
,a
2
,…,a
n
是1,2,…,n的一个排列,把排 在a
i
的左边且
比a
i
小的数的个数称为a
i
的顺 序数(i=1,2,…,n).如在排列6,4,5,3,2,1中,
5的顺序数为1,3的顺序数为0 .则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全
排列中,同时满足8的顺序数为2,7的 顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为
( )
A.48 B.96 C.144 D.192
17.(2002?广东)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( )
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
18.(2010?湖南)在某种信息传输 过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示
一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只 有0和1,则与信息0110至多有两个对
应位置上的数字相同的信息个数为( )
A.10 B.11 C.12 D.15
19.(2016?衡阳校级一模)3名医生和6 名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配
1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( )
A.90种 B.180种 C.270种 D.540种
20.(2014?四川)六个人 从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则
不同的排法共有( )
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
第3页(共21页)



21.(2010?全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片 放入3个不同的信封中,
若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 ( )
A.12种 B.18种 C.36种 D.54种
22.(2015?四川)用 数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000
大的偶数共有( )
A.144个 B.120个 C.96个 D.72个
23.(2015?广东)若集合E ={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,
q,r,s∈N} ,F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card
(X)表示集合X中的元素个数,则 card(E)+card(F)=( )
A.200 B.150 C.100 D.50
24.(2015?南昌校级二模)有5盆菊花,其中黄菊花2盆 、白菊花2盆、红菊花1盆,现
把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则 这5盆花不同的摆
放种数是( )
A.12 B.24 C.36 D.48
2 5.(2014?开福区校级模拟)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母
互不 相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
26.(2015?黄山二模)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所 示正方
形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆
时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…6),则棋子就按逆时针方向行走i
个单 位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共
有( )
第4页(共21页)




A.22种 B.24种 C.25种 D.36种
27.(2015?陕西模拟)2011年春节,六安一中校办 室要安排从正月初一至正月初六由指
定的六位领导参加的值班表.要求每一位领导值班一天,但校长甲与 校长乙不能相邻且主任
丙与主任丁也不能相邻,则共有多少种不同的安排方法( )
A.336 B.408 C.240 D.264

二.填空题(共3小题)
28.(2010?全国卷Ⅰ)某学校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选
3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有______种.(用数字作答)
29. (2003?广东)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得
使用同一颜色 .现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有______种.(以数字作答)

30. (2013?重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾
医疗小组,则 骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是______(用数字作答).

第5页(共21页)




高中数学排列组合(一)

参考答案与试题解析


一.选择题(共27小题)
1.(2006春?南京校级期中)n∈N
+
且 n<20,则(20﹣n)(21﹣n)…(100﹣n)等于
( )
A.
< br>2.(2016?九江二模)设a,b,m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则
称a和b对模m同余,记为a=b(mod m).若a=C
则b的值可以是( )
A.2015 B.2016 C.2017 D.2018
+C+…+C,a=b(mod9),
B. C. D.
【专题】新定义;对应思想;转化法;排列组合.

3.(2016春?大同校级 期末)把4封不同的信投进5个不同的邮箱中,则总共投法的种数
为( )
A.20 B. C.4
5
D.5
4

【专题】计算题;方程思想;综合法;排列组合.

4.(2016春?广东校级 期中)5位同学报名参加学校的篮球队、足球队和羽毛球队,要求每
位同学只能选报一个球队,则所有的 报名数有( )
第6页(共21页)



A.5
3
B.3
5
C. D.5!
【专题】应用题;方程思想;综合法;排列组合.

5.(2015秋?深圳校级 期末)由数字2,3,4,5,6所组成的没有重复数字的四位数中5,
6相邻的奇数共有( )
A.10个 B.14个 C.16个 D.18个
【专题】计算题.

6.(2015秋?泗县校级期末)过不共面的4个点中的3个点的平面,共有( )
A.0个 B.3个 C.4个 D.无数个
【专题】阅读型.

7. (2015秋?荆州校级期末)5名同学分别报名参加学校的排球队、足球队、篮球队、乒乓
球队,每人 限报其中的一个运动队,不同报法的种数是( )
A. B.5
4
C.4
5
D.4×5
【专题】应用题;方程思想;综合法;排列组合.

8.(2014春?抚顺校级月考)C
A.1 B.2 C.3 D.4
+C的不同值有( )个.
【专题】计算题;排列组合.

9.(2013春?青州市校级期中)已知A=2A,则log
n
25的值为( )
第7页(共21页)



A.1 B.2 C.4 D.不确定
【专题】计算题;概率与统计.

10.(2012春?秀峰区校级 期中)5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座,每名同学可
自由选择听其中的1个讲座,不同选法的 种数是( )
A.5
4
B.4
5
C.5×4×3×2 D.
【专题】概率与统计.

11.(2009?四川)2位男生和3位女生共5位同 学站成一排,若男生甲不站两端,3位女
生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )
A.60 B.48 C.42 D.36
【专题】计算题;压轴题.

12.(2004?重庆)某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,
二班 有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学
恰好被排在一起(指 演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为:( )
A. B. C. D.
【专题】计算题;压轴题.

13.(2011?泸州一模)设集合I={1,2 ,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B
中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方 法共有( )
A.50种 B.49种 C.48种 D.47种
第8页(共21页)



【专题】压轴题;分类讨论.

14.(2 014?开福区校级模拟)用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,
其中偶数共 ( )
A.24个 B.30个 C.40个 D.60个
【专题】计算题;压轴题.

15.(2004?山东)从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复) 组成一个三
位数,其各位数字之和等于9的概率为( )
A. B. C. D.
【专题】计算题;压轴题;分类讨论.

16.(2010?深圳一模)设a1
,a
2
,…,a
n
是1,2,…,n的一个排列,把排在a< br>i
的左边且
比a
i
小的数的个数称为a
i
的顺序数( i=1,2,…,n).如在排列6,4,5,3,2,1中,
5的顺序数为1,3的顺序数为0.则在 由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全
排列中,同时满足8的顺序数为2,7的顺序数 为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为
( )
A.48 B.96 C.144 D.192
【专题】应用题;压轴题;分类讨论.

17.(2002?广东)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( )
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
第9页(共21页)



【专题】压轴题;转化思想.

18.(2010?湖 南)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示
一个信息,不同排列表示不同 信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对
应位置上的数字相同的信息个数为( )
A.10 B.11 C.12 D.15
【专题】计算题;压轴题.
< br>19.(2016?衡阳校级一模)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配
1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( )
A.90种 B.180种 C.270种 D.540种
【专题】计算题;综合题.

20.(2014?四川)六个人从 左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则
不同的排法共有( )
A.192种 B.216种 C.240种 D.288种
【专题】应用题;排列组合.

21.(2010?全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同 的信封中,
若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )
A.12种 B.18种 C.36种 D.54种
【专题】计算题.
第10页(共21页)




22.(2015 ?四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000
大的偶数共有( )
A.144个 B.120个 C.96个 D.72个
【专题】应用题;排列组合.

23.(2015?广东)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q< s≤4,0≤r<s≤4且p,
q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤ v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card
(X)表示集合X中的元素个数,则 card(E)+card(F)=( )
A.200 B.150 C.100 D.50
【专题】开放型;集合;排列组合.

24.(2015?南昌校级二模)有5盆 菊花,其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现
把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻,则这5盆花不同的摆
放种数是( )
A.12 B.24 C.36 D.48

25.(2014?开福区校级模拟)将字母a,a,b,b,c,c排成三行 两列,要求每行的字母
互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【专题】计算题;压轴题.

第11页(共21页)



26.(2015?黄山二模) 某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方
形ABCD(边长为3个单位)的顶点 A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆
时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1 ,2,…6),则棋子就按逆时针方向行走i
个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又 回到点A处的所有不同走法共
有( )

A.22种 B.24种 C.25种 D.36种
【专题】计算题;压轴题.

27.(2015?陕西模拟)201 1年春节,六安一中校办室要安排从正月初一至正月初六由指
定的六位领导参加的值班表.要求每一位领 导值班一天,但校长甲与校长乙不能相邻且主任
丙与主任丁也不能相邻,则共有多少种不同的安排方法( )
A.336 B.408 C.240 D.264
【专题】计算题;压轴题.

二.填空题(共3小题)
28.(2010?全国卷Ⅰ)某学校开设A类选修课 3门,B类选修课4门,一位同学从中共选
3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 30 种.(用数字作答)
【专题】计算题;压轴题;分类讨论.

第12页(共21页)



29.(2003?广东)如图 ,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得
使用同一颜色.现有4种颜色可供选择 ,则不同的着色方法共有 72 种.(以数字作答)

【专题】计算题;压轴题;分类讨论.

30.(2013?重庆)从3名骨科、 4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾
医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1人的选派方法种数是 590 (用数字作
答).
【专题】压轴题;概率与统计.

第13页(共21页)




考点卡片


1.子集与交集、并集运算的转换
【知识点的认识】
观察两个集合之间的关系如图

子集与交集、并集运算的转换的基本运算的一些结论:
A∩B?A,A∩B?B,A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A
A A∪B,B A∪B,A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A (CUA)∪A=U,(CUA)∩A=?
若A∩B=A,则A?B,反之也成立.
若A∪B=B,则A?B,反之也成立.
若x∈(A∩B),则x∈A且x∈B
若x∈(A∪B),则x∈A,或x∈B.

【解题方法点拨】
第14页(共21页)



求 集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键
是“且”与“或 ”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘
题设条件,结合Venn图或 数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.

【命题方向】
考纲要求: 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给
定集合中一个子集的补集 的含义,会求给定子集的补集;能使用venn图表达集合的关系及
运算,体会直观图示对理解抽象概念 的作用.明确子集与集合的并、交、补是集合间的基本
运算.

2.Venn图表达集合的关系及运算
【知识点的认识】
用平面上一条封闭曲线的 内部来代表集合,这个图形就叫做Venn图(韦恩图).集合中图
形语言具有直观形象的特点,将集合 问题图形化,利用Venn图的直观性,可以深刻理解集
合的有关概念、运算公式,而且有助于显示集合 间的关系.
运算公式:card(A∪B)=card(A)+card(B)﹣card(A∩B)的推广形式:
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)﹣card(A∩B)﹣ card(B∩C)﹣
card(A∩C)+card(A∩B∩C),
或利用Venn图解决.公式不易记住,用Venn图来解决比较简洁、直观、明了.
【解题方法点拨】在解题时,弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系,结合题
目应很好 地使用Venn图表达集合的关系及运算,利用直观图示帮助我们理解抽象概
第15页(共21页)



念.Venn图解题,就必须能正确理解题目中的集合之间的运算 及关系并用图形准确表示出
来.

【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并 集、补集的简单运算,也可以与信息迁移,
应用性开放问题.也可以联系实际命题.

3.对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质:①=N;②
log< br>a
a
N
=N(a>0且a≠1).
log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N; log
a
=log
a
M﹣log
a
N;
log
a
M
n
=nlog
a
M; log
a

4.等可能事件的概率
【概念】
如果 一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有
结果出现的可能性都相等, 那么每一个基本事件的概率都是,这个就是等可能事件的概率,
另外,还要注意的是概率是一种预测,即 未来可能会出现的一种可能.
【例题解析】
例:甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活 动.抽签决定谁去.那你认为抽到的概率大
的是( )
A:先抽的概率大些 B:三人的概率相等 C:无法确定谁的概率大
D:.以上都不对
第16页(共21页)

=log
a
M.



解:∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是,
故选:B.
比较常见的等概率事件一般为购买彩票、抽签等等.这个例题可以看出等概率事件并不
会因为顺序的改变 而改变其发生的概率,同时也通过这个例题我们也知道了如何求这个概率
().
【考点点评】
本考点是个了解性内容,学习或复习的关键是要知道等概率事件并不会因为顺序的改变
而影响其发生的概率,除非已经告诉你前面某些事件的结果,如这题告诉你甲没有抽到去的
签,那么后面 两人的概率将变成.

5.排列及排列数公式
【考点归纳】
1.定义
(1)排列:一般地,从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成
一列 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)
(2)排列数:从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n
个不同元素中取出m个元素的排列 数,用符号
2.相关定义:
(1)全排列:一般地,n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排
列.
(2)n的阶乘:正整数由1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.(规定0!=1)
3.排列数公式
第17页(共21页)

表示.



(1)排列计算公式:
n.
(2)全排列公式:

6.组合及组合数公式
【考点归纳】
1.定义
=.m,n∈N
+
,且m≤
=n?(n﹣1)(n﹣2)??…?3?2?1=n!.
(1)组合: 一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n
个元素中任取m个元素的 一个组合.
(2)组合数:从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做
从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号
2.组合数公式:
3.组合数 的性质:
性质1
性质2

7.排列、组合的实际应用
【知识点的知识】
排列、组合的实际应用:
1.排列数、组合数问题:
(1)排列组合恒等式的计算
(2)排列组合恒等式的证明
第18页(共21页)

表示.
.m,n∈N
+
,且m≤n. =



(3)解排列组合恒等方程
2.排队问题
(1)相邻问题
(2)不相邻问题
(3)定序问题
3.排数问题
(1)允许有重复数字的排数问题
(2)不允许有重复数字的排数问题
4.分组问题
(1)平均分组问题
(2)不平均分组问题
5.排列组合综合问题.

8.排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧:
①特殊元素优先安排;
②合理分类与准确分步;
③排列、组合混合问题先选后排;
④相邻问题捆绑处理;
⑤不相邻问题插空处理;
⑥定序问题除法处理;
第19页(共21页)



⑦分排问题直排处理;
⑧“小集团”排列问题先整体后局部;
⑨构造模型;
⑩正难则反、等价转化.
对于无限制条件的排列组合问题应 遵循两个原则:一是按元素的性质分类,二是按时间
发生的过程进行分步.对于有限制条件的排列组合问 题,通常从以下三个途径考虑:
①以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
②以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
③先不考虑限制条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数.

2、排列、组合问题几大解题方法:
(1)直接法;
(2)排除法;
( 3)捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之
后再考虑它们“ 局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;
(4)插空法:先把一般元素排列好,然后把待定 元素插排在它们之间或两端的空档中,此
法主要解决“元素不相邻问题”;
(5)占位法:从 元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般
元素;从位置的特殊性上讲,对 问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即
采用“先特殊后一般”的解题原则;
(6)调序法:当某些元素次序一定时,可用此法;
第20页(共21页)



(7)平均法:若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有
(8)隔板法:常用于解正整数解组数的问题;

(9)定位问题:从n个不同元素中每次 取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在
内,并且都排在某r个指定位置则有
(10) 指定元素排列组合问题:
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合),规定某r个 元素都包含在
内.先C后A策略,排列;组合;

②从n个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列(或组合),规定某r个元素都不包含在
内.先C后A策略,排列;组合;
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)都
只包含某r个 元素中的s个元素.先C后A策略,排列

;组合.
第21页(共21页)

高中数学函数中对称问题-高中数学分层次教学的目的


高中数学 不难-安徽省高中数学竞赛预赛卷


教师资格高中数学说课稿-人教版高中数学课本必修三答案


高中数学教研组宣传栏-高中数学方法读后感


高中数学概率秒杀技巧-高中数学必修三第二章章末测验


海宁市高中数学直播课-高中数学k的公式


高中数学必修二基础测试卷-高中数学Z是什么意思


高中数学必修一和必修四试卷-高中数学20



本文更新与2020-09-18 13:01,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/403052.html

高中数学排列组合(一)的相关文章