高中数学排列组合专题

排列组合



一．选择题（共5小题）

1．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，
每天1人值班， 每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，
则可以排出不同的值班表有（ ）

A．36种 B．42种 C．50种 D．72种

2．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（ ）


A．8种 B．10种 C．12种 D．32种

3．某次联欢会要安排3个歌舞类 节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演
出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）

A．72 B．120 C．144 D．168

4．现将甲乙丙丁4个不同的小球 放入A、B、C三个盒子中，要求每个盒子至少
放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的放法有 （ ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．72种

5．从6人 中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个
城市有一人游览，每人只游览一个城 市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，
则不同的选择方案共有（ ）

A．300种 B．240种 C．144种 D．96种



二．填空题（共3小题）

6．某排有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，则不同的坐法有
种．

7．四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法
共有 种（用数字作答）．

8．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么 不同的
第1页（共10页）

插法共有 种．



三．解答题（共8小题）

9．一批零件有9个 合格品，3个不合格品，组装机器时，从中任取一个零件，
若取出不合格品不再放回，求在取得合格品前 已取出的不合格品数的分布列

10．已知
（1）求n的值；

（2）求展开式中二项式系数最大的项；

（3）求展开式中系数最大的项．

11．设f（x）=（x
2
+x﹣1）
9
（2x+1）
6< br>，试求f（x）的展开式中：

（1）所有项的系数和；

（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和．

12．求（x
2
+﹣2）
5
的展开式中的常数项．

展开式的前三项系数成等差数列．

13．求值C
n
5
﹣< br>n
+C
n
+
1
9
﹣
n
．

14．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数．

（1）选5名同学排成一行；

（2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；

（3）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；

（4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；

（5）全体站成一排，男、女各站在一起；

（6）全体站成一排，男生必须排在一起；

（7）全体站成一排，男生不能排在一起；

（8）全体站成一排，男、女生各不相邻；

（9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；

（10）全体站成一排，甲必须在乙的右边；

（11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；

（12）排成前后两排，前排3人，后排4人．

15．用1、2、3、4、5、6共 6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排
列数表示）．

第2页（共10页）

（1）组成多少个3位数？

（2）组成多少个3位偶数？

（3）组成数字1、2相邻的5位偶数有多少个？

（4）组成能被3整除的三位数有多少个？

（5）组成1、3都不与5相邻的六位数有多少个？

（6）组成个位数字小于十位数的个数有多少个？

16．用6种不同的颜色给下列三 个图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，
且要求相邻的两个格子颜色不同，则


（1）图1和图2中不同的涂色方法分别有多少种？

（2）图3最多只能使用3种颜色，不同的涂色方法有多少种？



第3页（共10页）

排列组合

参考答案与试题解析



一．选择题（共5小题）

1．

【解答】解：每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，

再加上甲值周一且乙值周六的排法，

共有C
6
2
C
4
2
﹣2A
5
1
C
4
2
+A
4
2
=42（种）．

故选B．



2．

【解答】解：根据题意，要求从A地到B地路程最短，必须只向上或向右行
走即可，

分析可得，需要向上走2次，向右3次，共5次，

从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，

则有C
5
3
=10种不同的走法，

故选B．



3．【解答】解：分2步进行分析：

1、先将3个歌舞类节目 全排列，有A
3
3
=6种情况，排好后，有4个空位，

2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，

分2种情况讨论：

①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C< br>2
1
A
2
2
=4种情况，

排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，

此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；

②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A
2
2
=2种情况，

排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，

此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；

则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，

故选：B．

第4页（共10页）

4．

【解答】解：从4个球种选出2个组成复合元素，再把3个元素（包含一个复合元素）放入3个不同的盒子中有=36种，

小球甲放在A盒中，其它三个球可以分为 两类，第一类，3个球任意放入3个盒
子中，有=6，

第二类，从剩下的3个球种选 出2个组成复合元素，再把2个元素（包含一个复
合元素）放入B，C两个不同的盒子中有=6，

利用间接法，故每个盒子至少放1个小球，且小球甲不能放在A盒中，则不同的
放法有36 ﹣6﹣6=24．

故选：B．



5．
【解答】解：根据题意，由排列公式可得，首先从6人中选4人分别到四个
城市游览，有A
6
4
=360种不同的情况，

其中包含甲到巴黎游览的有A
53
=60种，乙到巴黎游览的有A
5
3
=60种，

故 这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有360﹣60﹣60=240
种；

故选B．



二．填空题（共3小题）

6．【 解答】解：先排6个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中
有5个空位符合条件，

再将4人插入5个空位中，则共有1×A
5
4
=120种情况，

故答案为：120．



7．【解答】解：根据题意，分2步进行分析，

①、先在编号为1，2，3的三个盒 子中，取出2个盒子，有C
3
2
=3种取法，

②、将4个小球放进 取出的2个盒子中，每个小球有2种放法，则4个小球一共
有2×2×2×2=2
4
种 ，

第5页（共10页）

其中有1个空盒，即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；

则将4个小球放进 取出的2个盒子中，且不能有空盒，其放法数目为（2
4
﹣2）
=14种，

故四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法为
3×14=4 2种；

故答案为：42．



8．【解答】解：3本不 同的书，插入到原来有5本不同的书中，分三步，每插一
本为一步，

第一步，先插入 第一本，插入到原来有5本不同的书排成一排所形成的6个间隔
中．有，

第二步，再插入第二本，插入到有6本不同的书排成一排所形成的7个间隔中，
有，

第三步，最后插入第三本，插入到有7本不同的书排成一排所形成的8个间隔中，
有

根据分步计数原理，不同的插法共有


三．解答题（共8小题）

=336

9．【解答】解：设在取得合格品前取出的不合格品数为ξ，则ξ是一个随 机变量，
且取值0，1，2，3

ξ=0表示从12个零件中取1件，取到合格品，其概率为p（ξ=0）===，

ξ=1表示从12个零件中取2件，第1次取到不合格品，第2次取到合格品，

其概率为p（ξ=1）===，

有p（ξ=2）===，

第6页（共10页）

p（ξ=3）===

∴所求分布列为




10．

【解答】解：（1），

，

解得n=8

（2）因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，

因为n=8，

所以展开式中共有9项，

所以展开式中二项式系数最大的项

（3）令展开式中第r+1项的系数最大，所以


解得2≤r≤3

∴r=2，3

∴展开式中系数最大的项为：T
3
=7x
2
，T
4
=7x



9
2x+1）
6
=a+ax+ax
2
+ax
3< br>+ax
4
+…+ax
24
，11．

【解答】解：（1）设 （fx）=（x
2
+x﹣1）（

0123424
令x=1，可得所有项的系数和为 a
0
+a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+…+a
24
=3
6
=729 ①，即所有项的
系数和为729．

（2）再令x=﹣1，可得 a
0
﹣a
1
+a
2
﹣a
3
+a
4
+…+a
22
﹣a
23
+a
24
=﹣1 ②，

第7页（共10页）

由①②求得偶次项的系数和为 a
0
+a
2
+a
4
+…+a
24
=364，所有奇次项的系数和为 a
1
+a
3
+a
5
+…+a
23
=365．



12．【解答】解 ：（x
2
+
r
?x
10
﹣
2r
，

﹣2）
5
=，展开式的通项公式为T
r
+
1
=?（ ﹣1）
令10﹣2r=0，求得r=5，可得展开式中的常数项为﹣


13 ．【解答】解：由题意可得，
解可得，4≤n≤5∵n∈N
*
∴n=4或n=5

当n=4时，原式=C
4
1
+C
5
5
=5

当n=5时，原式=C
5
0
+C
6
4
=16




=﹣252．

14．

【解 答】解：（1）选5名同学排成一行，故有A
7
5
=2520种；

（2）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端，A
6
6
+A
2
1< br>A
6
6
=2160种；

（3）全体站成一排，其中甲、乙必 须在两端；A
2
2
A
5
5
=240种

（ 4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；A
7
7
﹣2A
66
+A
5
5
=3720
种；

（5）全体站成 一排，男、女各站在一起，A
3
3
A
4
4
A
22
=288种；

（6）全体站成一排，男生必须排在一起，A
3
3
A
5
5
=720种；

（7）全体站成一排，男生不能 排在一起，A
4
4
A
5
3
=1440种；

（8）全体站成一排，男、女生各不相邻，A
3
3
A
4
4
=144种；

（9）全体站成一排，甲、乙中间必须有2人，A
5
2
A
2
2
A
4
4
=960种；

（10）全体站成一排，甲必须在乙的右边，A
7
7
=2520种，

（11）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变，
（12）排成前后两排，前排3人 ，后排4人，A
7
7
=5040种．



15．

【解答】解：（1）选3个全排，故有A
6
3
个；

第8页（共10页）

=840种

（ 2）第一步确定个位，第二步确定百位和十位，故有A
3
1
A
5
2< br>个；

（3）第一类，2为个位数字，则有A
4
3
个，第二类 ，4或6为个位数字，再从剩
下的3个数中选2个和1，2捆绑在一起组成一个复合元素全排，则有A< br>2
1
A
2
2
C
3
2
A
3< br>3
个，

故组成数字1、2相邻的5位偶数有A
4
3
+A
2
1
A
2
2
C
3
2
A
3
3
个；

（4）组成能被3整除的三位数的三个数字之和为3的倍数，有 1+2+3=6，1+2+6=9，
1+3+5=9，1+5+6=12，2+3+4=9，2+4+6 =12，3+4+5=12，4+5+6=15，

故组成能被3整除的三位数，8A
3
3
个；

（5）若1， 3不相邻，把1，3，5插入到2，4，6形成4个空中，则有A
3
3
A
4< br>3
个；

若1，3相邻，把1，3捆绑在一起组成一个复合元素和5插入到2， 4，6形成4
个空中，则有A
2
2
A
3
3
A
4
2
个，故组成1、3都不与5相邻的六位数有A
3
3
A
4
3
+A
2
2
A
3
3
A
4
2
个；

（6）组成个位数字小于十位数的大小顺序只有两种，故组成个位数字小于 十位
数的个数有A
6
6
个．



16．

【解答】解：如图

（1）图1中，A有6种涂色方法，B 种有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D
有5种涂色方法，

所以根据分步计数原理知共有6×5×4×5=600种涂法，

图2中，若A，D同 色，A有6种涂色方法，B种有5种涂色方法，C有5种涂
色方法，故有6×5×5=150种，

若A，D异色，A有6种涂色方法，D有5种涂色方法，B种4种涂色方法，C有
4种涂色 方法，6×5×4×4=480，

所以根据分类计数原理知共有150+480=630种涂法，

（2）用2色涂格子有C
6
2
×2=30种方法，

用3色 涂格子，第一步选色有C
6
3
，第二步涂色，共有3×2（1×1+1×2）=18< br>种，

所以涂色方法18×C
6
3
=360种方法，

第9页（共10页）

故总共有390种方法．




第10页（共10页）