新东方高中数学名师-高中数学联赛2001
1 分类计数原理（加法原理）：
N?m
1
?m
2
?
L?m
n
.
分步计数原理（乘法原理）：
N?m
1
?m<
br>2
?L?m
n
.
2 排列数公式 ：
A
n
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
m
n
m
n！
*
.(
n
，
m
∈N，且
m?n
)．规定
0!
?1
.
(n?m)！
n！
A
n
m
n(n?1)?
(n?m?1)
*
3 组合数公式：
C
=
m
==(
n
∈N，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n?m)！1?2???m
A
m
mm
n?mm?1m0
组合数的两个性质:
(1)
C
n
=
C
n
(2)
C
n+
C
n
=
C
n?1
.规定
C
n
?1
.
n0n1n?12n?22rn?rrnn
4 二项式定理
(a
?b)?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab???C
n
b
rn?rr
二项展开式的通项公式
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)
.
f(x)?(ax?b)
n
?a
0
?a
1
x?a<
br>2
x
2
?L?a
n
x
n
的展开式的系数关系
：
a
0
?a
1
?a
2
?L?a
n
?f(1)
；
a
0
?a
1
?a
2
?L
?(?1)
n
a
n
?f(?1)
；
a
0
?
f(0)
。
5 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n
个互斥事件分别发生的概率的和：P(A
1
＋A
2
＋…＋
A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋
P(A<
br>n
)．
6 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率：P(A
1
· A
2
·…·
A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…·
P(A
n
)．
kkn?k
7 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概
率：
P
n
(k)?C
n
P(1?P).
8 数学
期望：
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?L?x
n
P
n
?L
数学期望的性质
（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （
2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np
.
(3)
若
?
服从几何分布,且
P(
??k)?g(k,p)?q
22
k?1
p
，则
E
??
2
1
.
p
9方差：
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
??
x
2
?E
?
?
?p
2
?L?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?L
标准差：
??
=
D
?
.
方差的性质：
(1)
D
?
a
?
?b
?
?aD
?
；
2
(2）若
?
～
B(n,p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
(3)
若
?
服从几何分布,且<
br>P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
，则
D<
br>?
?
2
q
.
p
2
方差与期望的关
系：
D
?
?E
?
2
?
?
E
??
.
10正态分布密度函数：
f
?
x
?
?<
br>1
e
2
?
6
2
x?
?
??
?
26
2
,x?
?
??,??
?
，
?
x?
?
?
?
.
?
?
?
式中的实数μ，
?
（
?
>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
对于
N(
?
,
?
)
，取值小于x的概率：
F
?
x
?
??
?
2
P
?
x
1
?x
0
?x
2
?
?P
?
x?x
2
?
?P
?
x?x
1
?
11
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率）：
f
?<
br>(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim
f(x<
br>0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
?ss(t??t)?s(t)<
br>.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
?vv(t
??t)?v(t)
瞬时加速度：
a?v
?
(t)?lim
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
12
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：
瞬时速
度：
?
?s
?
(t)?lim
函数
y?f(x)
在
点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0<
br>,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
13 几种常见函数的导数：
(1)
C
?
?0
（C为常数）.(2)
(x
n
)
?
?nx(n?Q)
.(3)
(sinx)
?
?cosx
.
1
1
(4)
(cosx)
?
??sinx
. (5)
(lnx)
?<
br>?
；
(log
a
x)
?
?log
a
e
.
x
x
xxxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
14 导数的运算法则：
n?1
u
'
u
'
v?u
v
'
(v?0)
. （1）
(u?v)?u?v
.（2）
(
uv)?uv?uv
.（3）
()?
vv
2
15
判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法：
''''''
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值；
（2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0<
br>)
是极小值.
16 复数的相等：
a?bi?c?di?a?c,b?d.（
a,b,c,d?R
）
22
|a?bi|
|z|
a?b
z?a?bi
17
复数的模（或绝对值）==.
18 复平面上的两点间的距离公式：
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?
(y
2
?y
1
)
2
（
z
1
?x<
br>1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i
）.
19实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
，
?b?b<
br>2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2<
br>?
;
2a
b
②若
??b
2
?4ac?0<
br>,则
x
1
?x
2
??
;
2a
③若
??b
2
?4ac?0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复
数集
C
内有且仅有两个共轭
2
?b??(b
2
?4ac)i
2
复数根
x?(b?4ac?0)
.
2a
20解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合． <
br>21解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位
问题优
先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间
接法，还记得什么时候
用隔板法？
22排列数公式是： 组合数公式是：
排列数与组合数的关系是：
m
P
n
m
?m！?C
n
组合数性质：
C
m
n
=
C
n?m<
br>n
C
m
n
+
C
m?1
n=
C
m
n?1
r?0
?
C
n
r
n
=
2
n
rr?1
C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
???C
n
?C
n?1
二项式定理：
1n?12n?22rn?rrnn
(a?b)?Ca?C<
br>n
ab?C
n
ab???C
n
ab???C
n
b
n0
n
n
rn?rr
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)
二项展开式的通项公式：
概率统计
23有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排
列组合的
知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式
的使用条件
。
（1）若事件A、B为互斥事件,则P（A+B）=P（A）+P（B）
（2）若事件A、B为相互独立事件,则P（A·B）=P（A）·P（B）
（3）若事件A
、B为对立事件,则P（A）+P（B）=1一般地,
pA?1?P
?
A
?<
br>
（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生<
br>kk
??
PK?Cp
?
1?p
?
nn
K次的
概率：
n?k
??
24抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样
数表法)常常用于总体个数较少时，它
的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常常用于总体个数较
多时，它的主要特征就
是均衡成若干部分，每一部分只取一个；分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主
要使用
于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。
25用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。