高中数学排列组合题讲义和答案(分难易程度)

选修2-3第一章第二节和第三节 排列组合
一、排列.
1. 排列定义： 从
n
个不同的元素中任取
m(m
≤
n
)个元素，按照一定顺 序排成一
．．．．．．
列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个 元素的一个排列.
2. 排列数：从
n
个不同元素中取出
m
(m≤n
)个元素排成一列，称为从
n
个不同
元素中取出
m
个元素的一个排列. 从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排
m
列数，用符号
A
n
表示.
3. 排列数公式：
A
m
?n(n?1)?(n?m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
注意：
n?n!?(n?1)!?n!
规定0! = 1
mmmm?1mm?1
0

A
n
m
?nAn
m
?
?
1
1
规定
C
n
?C
n
A
n?
n
?1

1
?A
n
?A
m
?C
n
?A
n< br>?mA
n
二、组合.
2. 组合定义：从
n
个不同的元素中 任取
m
(
m≤n
)个元素并成一组，叫做从
n
个
不 同元素中取出
m
个元素的一个组合.
A
m
n(n?1)?(n?m?1)
n!
n
2. 组合数公式：
C?
m

?C
m
?
n
m!m !(n?m)!
A
m
m
n
3. 两个公式：①
C
n
?C
mn?m
n
;
②
C
m?1mm
n
?C
n
?C
n?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素
中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同
元素中取出n-m个元素的唯一的 一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，
n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分 二类，一类是含红球选
m
m?1
法有
C
m?
n
1< br>?C
1
1
?C
n
一类是不含红球的选法有
C
n
）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，
对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n
1
个元素中再取m -1个元素，所以有C
m?
n
，如果不取这一元素，则需从剩余n
个元素中取 出m个元素，所以共有C
n
种，依分类原理有
C
m
m?1mm
?C?C
nnn?1
.
三、排列与组合的联系与区别.
联系：都是从
n
个不同元素中取出
m
个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无
顺序关系.
四、几个常用组合数公式
012n
C
n
?C
n
? C
n
???
n
?2

n

02413 5
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
???2
n?1
mmmm?1
Cm
?C?C?C?C
nm?1m?2m?nm?n?1
k?1
kC
k
?nC
nn?1

11
k?1
C
k
? C
nn?1
k?1n?1
五、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求 的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待
整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用 于解决“元素相邻问
题”.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间 或两端的
空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问 题中的特殊元素应优先排列，然后再
排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先 考虑，
然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥平均法：若把kn个 不同元素平均分成k组，每组n个，共有
nn
C
kn
?C
(k?1)
n
n
?C
n
A
k
k
.
⑦隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；
②合理分类与准确分步策略；
③排列、组合混合问题先选后排的策略（线组合再排列）；
④间接法；
⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；
⑦ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均 匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素
个数相等，不管是否分尽，其分法 种数为
AA
r
r
（其中A为非均匀不编号分
组中分法数）.如果再有 K组均匀分组应再除以
A
k
.
k
②非均匀编号分组: n个不同元 素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组
间的顺序，其分法种数为
A?A
m

m
③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组
间 的顺序，其分法种数为
AA
r
r
?A
m
.
m
例题（简单）
例1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中 的一个小组，则

不同的报名方法共有( )
A
．10种
B
．20种
C
．25种
D
．32种
例2．用数字1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A
．8
B
．24
C
．48
D
．120
例3. 6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共
有 种站法.
例题（稍难）
例1. 某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动 队
中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人
入选的方法种数为 （ ）
A
．85
B
．86
C
．91
D
．90
例2. 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2 瓶，则至
少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 .
例3. 将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.
（1）不出现空盒子时放入方式共有 种.
（2）可出现空盒时的放入方法共有 种.
例题（难）
例1. 从0,1,2,3,4,5,这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数
字的四位数的个数为（ ）
A
．300
B
．216
C
．180
D
．162
例2. 用数字0,1,2 ,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百
位上的数字之和为偶数的四位数共有 个.
例题（很难）
例1. 国家教育部为了发展贫困地区的教育，在全国重点师范大学免费 培养教育
专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业
师范毕业生 要平均分到3所学校去任教，有 种不同的分派方法.
例2. 将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共
有 种.
例3. 将6名教师分到3所学校任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有 种
不同的分法.
例4. 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1 人承
担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有 种.
例5. 4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，恰好有1个空盒子的
放法有 种.
例6. 如图所示的花圃中的5个区域中种入4种不同颜色的花，要求相邻区域不
同色，有
________种不同的种法．


同步基础
排列
1．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字， 并且比20000大的五位偶数共有

( )
A．48个 B．36个 C．24个
D．18个
2．记 者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人
相邻但不排在两端，不同的排法 共有( )
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480
种
3．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6
名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安
排1人，第四道工序 只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共
有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．72
种
4．某次文艺汇演，要将
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
这六个不同节目编排成节目单，如下
表：
序号

1

节目

2

3

4

5

6


如果
A
、
B
两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上 不同的
排序方式有( )
A．192种 B．144种 C．96种 D．72种
5．某中学一天的课表有6节课， 其中上午4节， 下午2节， 要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必
须排在上午，则不同排法 共有( )
A．600种 B．480种 C．408种 D．384种
6 ．5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数
字作答) 7．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝
色卡片 ，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标
的数字之和等于10，则不同的排法 共有________种(用数字作答)．
8．由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成____ ____个数字不重复含2,3且2,3相邻

的四位数.
9．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个四位偶数？
(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？






10．用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数 字的六位数，其中个位数字
小于十位数字的六位数的个数是多少个？







组合
1．50名学生参加甲、乙两项体育活动， 每人至少参加了一项，参加甲项的学生
有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生 人数为( )
A．50 B．45 C．40
D．35
2．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、< br>女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种 C．100种 D．140
种
3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至
少有1名女生，那么不同 的选派方案种数为( )
A．14 B．24 C．28 D．48

4．将4个颜色互不相同的球 全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每
个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放 球方法有( )
A．10种 B．20种 C．36种 D．52
种
5． 某市拟从4个重点项目和6个 一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项
目，则重点项目
A
和一般项目
B
至少有一个被选中的不同选法种数是( )
A．15 B．45 C．60
D．75
6 ．从0,1,2,3,4,5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5
整除的三位数共 有________个．(用数字作答)
7．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要 求甲、乙中至少有1
人参加，则不同的挑选方法共有________种．
8．某校要求每位 学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，
则不同的选课方案有________种． (以数字作答)
9．有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别
符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生．
(2)某女生一定要担任语文科代表．
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学
科代表．







10．一个口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球(球的大小均一样)
(1)从中任取3个球，恰好为同色球的不同取法有多少种？

(2)取得一个 红球记为2分，一个白球记为1分．从口袋中取出五个球，使
总分不小于7分的不同取法共有多少种？


过关训练
1．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语 竞赛，其中
A
不参
加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．24 B．48 C．120 D．72
2．已知集合
A
＝{5}，
B
＝{1,2}，
C
＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构
成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不 同点的个数为( )
A．33 B．34 C．35 D．36
3．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六 、星期日参加公益活动，每人一
天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则 不
同的选派方法共有( )
A．120种 B．96种 C．60种 D．48
种
4．甲组有5名男同学，3名女同学 ；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、
乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学 的不同选法共有
( )
A．150种 B．180种 C．300种
D．345种
5．某外商计划在四个候选城市 投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项
目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )
A．16种 B．36种 C．42种 D．60
种
6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的< br>三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有________种．
7．安排3名支教 教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有
________种．
8．某校 安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至
少安排一个班，不同的安排方法共 有________种．(用数字作答)

9．某小组学生举行毕业联欢会，人员到齐后 大家彼此握手，其中有2名学生各
握了3次手后提前离开，其他学生都彼此握了手．若知握手的总次数为 83
次，试问该小组共有多少名学生？





10．在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加
进去三个节目，求共 有多少种安排方法？





自我超越

1. 12名同学合影，站成了前排4人，后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2
人调整到前 排，若其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数是( )
A. 168 B. 20 160 C. 840 D. 560
2. 将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机
和2名售票员，则可能的分配 方案种数是( )
22442224
A. C
2
8
C
6
C
4
A
4
A
4
B. A
8
A
6
A
4
A
4

224222
C. C
2
8
C
6
C
4
A
4
D. C
8
C
6
C
4

3. 五个工程队承建某项 工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中
甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案 共有( )
41444
A. C
1
4
C
4
种 B. C
4
A
4
种 C. C
4
种 D. A
4
种
4. 从45名男生和15名女生中按分层抽样的方法，选出8人参加 国庆活动．若
此8人站在同一排，则不同的排法种数为( )
262853538
A. C
6
45
C
15
B. C
45
C
15
A
8
C. C
45
C
15
D. C
45
C
15
A
8

5. 某校在高二年级开设选 修课，其中数学选修课开三个班．选课结束后，有四
名学生要求改修数学，但每班至多可再接收两名学生 ，那么不同的分配方案

有( )
A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 18
种
6. 从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既
有男同学又 有女同学的不同选法共有________种(用数字作答)．
7. 3位男生和3位女生共6位同学 站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有
且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是_______ _．
8. (创新题)在一次文艺演出中，需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15
只， 以不同的点亮方式增加舞台效果，设计要求如下：恰好有6只是关的，且
相邻的灯不能同时被关掉，两端 的灯必须点亮，则不同的点亮方式为________
种．
9. 甲、乙、丙3人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台
阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____ ____(用数字作答)．
10. 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分 赴世博会
的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
11. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人
从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、
乙不会开车但能从事其他三项工作，丙 、丁、戊都能胜任四项工作，则不同
安排方案的种数是( )
A. 54 B. 90 C. 126 D. 152
12. 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号
景点中任选4个进行游览 ，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一
个景点的概率是 （ ）
A.
11
15
B. C. D.
96
3636
13. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所 有可能出现
的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种
超级挑战
1. 把1 个圆分成4个扇形，依次记为D
1
，D
2
，D
3
，D
4
，每个扇形都可以用3

种不同颜色中任何1种涂色，要求相邻的扇形颜色不 同，则共有 种
不同涂色方法.
2. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图，现要栽种4种
不同颜色的
花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同颜样色的花，不同的栽种方法有
种.
5
6
4
1
2 3
3. 集合A∪B∪C={a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5< br>}，且A∩B={ a
1
，a
2
}，求，A，B，C
的所有可能组合的个数.
4. 如图，ABCD为海上的四个小岛，要建三座桥将这四个小岛连接起来，则不同
的剑桥方案共有（ ）.
A .8种 B.12种 C .16种 D .20种

5. 甲、乙、丙、丁四个做互相传球练习，第一次传给除甲外其他三人中的一人，
第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这样共传了4次，则第四次仍传回
到甲的概率是（ ）.
A.
75721
B. C. D.
2727864
6. 一楼梯共12级，每步可以向上跨1级或2级，共有 种上楼梯方法.