高中数学排列组合及二项式定理知识点和练习

（10）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
14
【解析】：老师在中间三个位置上选一个有
A
3
种，4名同学在 其余4个位置上有
A
4
种方法；所以共有
14
A
3
A
4
?72
种。.
五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一 排考虑，再分段处理。（11）6个不同的元素排
成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种B、120种C、720种D、1440种
（12）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A）
A
15
A
10

55
（B）A
15
A
10
A
5
A
3
（C）
A
15

5553
155553
（D）
A
15< br>A
10
A
5
?A
3

（13）8个不同的元 素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，
有多少种不同排法 ？
6
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排 ，共
A
6
?720
种，
选
C
.（2）答案：C < br>2
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有
A
4
种，某1个元素排在后半段的四个位
125
15
置中选一个有
A
4< br>种，其余5个元素任排5个位置上有
A
5
种，故共有
A
4A
4
A
5
?5760
种排法.
六．定序问题缩倍法（ 等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数
的方法.
（1 4）
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A的右边（
A,B
可以不相邻）那么不同的排法
种数是（）【解析】：
B< br>在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的 排法只是5个元素全排列
数的一半，即
1
5
A
5
?60种
2
（15）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少 种不同的插法？【解
析】：法一：
A
9
法二：
3
1
9
A
9

6
A
6
七．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定
排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
（16）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每
个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
A、6种B、9种C、11种D、23种【解 析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填
入方格的对应数字填
入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9
种填法，选
B
.
（17）编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）
A10种B20种C30种D60种
答案：B
八．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
（18 ）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？分成1本、2本、3本三组；

（2）
（3）
（4）
（5）
分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
分成每组都是2本的三个组；
分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
分给5人每人至少1本。
1
6
2
5
3
3
（2）【解析】：（1）
CCC
222
211111
C
6
C
4
C
2
C
5
C
5
C
4
C
3
C
2
C
1
5
222
CCC
CC CA
（3）（4）（5）
A
5

642
4
3
A
4
A
3
1
6
2
5
3
3
3
3
（19）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多 少种？
2
【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
C
4
种，再排：在四个盒中每次排3个有
23
3
种，故共有
C
4
A
4
?144
种.
A
4
九．相同元素的分配问题隔板法：
（20）把20个相同的球全放入编 号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号
数，则有多少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17 < br>个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有
C
16
?120
种。 （21）10个三好学生名额分到7个班
级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆
至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
6
故共有不同的分配方案为
C
9
?84
种.
2< br>十．排数问题（注意数字“0”）（22）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其 中个
位数字小于十位数字的共有（）
A、210种B、300种C、464种D、600种
5
【解析】?：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有
A
5
个，

A
4
A
3
A
3
,A
3
A
3
A
3
,A
2
A
3A
3
,A
3
A
3
个，合并总计300个,选
B
.
十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
（23）将一个四棱锥
S?ABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色， 如果只有5种
颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色 中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、
12
D四点，此时只能A 与C、B与D分别同色，故有
C
5
A
4
?60
种方法。 < br>(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种
染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有
A
4
种染法；再从余下的两种颜色 中任选一种染D或C，而D与
1211
C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故 有
C
5
A
4
C
2
C
2
?240< br>种方法。
5
(3)若恰用五种颜色染色，有
A
5
?120< br>种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
2
【答 案】420.

十二．几何中的排列组合问题:
（24）已知直线
x y
??1
（
a，b
是非零常数）与圆
x
2
?y2
?100
有公共点，且公共点的横坐标和纵坐
ab
标均为整数，那么这 样的直线共有条
【解析】：?圆上的整点有：
(?6,?8) ,(?8,?6),(?10,0),(0?10)
12个
2
C
12
=66
其中关于原点对称的有4条不满则条件切线有
C
1
12
=1 2
，
其中平行于坐标轴的有14条不满则条件66-4+12-14=60
答案:60
【练习】
1、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
（A）12种（B）24种（C）30种（D）36种
1
【解析】分两类：取出的1 本画册，3本集邮册，此时赠送方法有
C
4
?4
种；取出的2本画册，2本集 邮
2
册，此时赠送方法有
C
4
?6
种。总的赠送方法有10
种。【答案】B
2、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线 称为它的对角线，那么一个正五棱柱
对角线的条数共有（）
A．20 B．15 C．12 D．10
【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有
C
5
种 选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有
C
4
1
1
种选法 ，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、
相邻侧 面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有
C
2
种方 法，但是在
这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以
1
1< br>,
所以这个正五棱柱对角线的条数
2
共有
C
5
?C< br>4
?C
2
?
x?x6
111
1
?20
,所以选择A.
2
3、
(4?2)(x?R)
的展开式中的常数项是 < br>（A）
?20
（B）
?15
（C）
15
（D）
20

【答案】C
rrx6?r?xrrrx(12?3r)
【解析】：
T
r?1
?(?1)C
6
(4)(2)?(?1)C
62
令
x(12?3r)?0
?r?4
，于是展开式中的常
44< br>数项是
(?1)C
6
?15
故选C
5
4、
已知
(xcos
?
?1)
5
的展开式中
x
2
的系数与
(x?)
4
的展开式中
x
3
的系数相等，则cos
?
?
．
4
【答案】
?
55
2
r
?x
4?r
?()
r
，
?4?r?3,
?
r?1
， 解：
(x?)
4
的通项为
C
4
2
44

1
?
∴
(x?)
4
的展开 式中
x
3
的系数是
C
4
5
4
5
? 5
,
4
(xcos
?
?1)
5
的通项为
C
5
R
?(xcos
?
)
5?R
，
?5? R?2,
?
R?3
，
3
?cos
2
?
? 5,
∴
cos
2
?
?
∴
(xcos
??1)
5
的展开式中
x
2
的系数是
C
5
1
2
，
cos
?
??
.
2
2
5、已知
(1?kx)
（
k
是正整数）的展开式中，
x
的系 数小于120，则
k?
．
r2rrr2r
【解析】
(1?kx)< br>按二项式定理展开的通项为
T
r?1
?C
6
(kx)?C6
kx
，我们知道
x
的系数为
26
8
268
C
6
4
k
4
?15k
4
，即
15k
4
?120
，也即
k
4
?8
，而
k
是正整数，故
k
只能取1。
1223n?2n?1n?1
6、若
C
n
?3C
n
?3C
n
?L?3C
n?3?85
，则
n
的值为．
答案4
4234
7、已 知
(1?2x)?a
0
?a
1
x?a
2
x?a3
x?a
4
x
，则
a
1
?2a
2?3a
3
?4a
4
=-8．
323
8、对任意的实数
x
，有
x?a
0
?a
1
(x?2)?a
2
(x?2)?a
3
(x?2)
，则
a
2
的值是（B ）
A．3B．6C．9D．21
9、设
a
1
,a
2,?,a
n
是
1,2,?,n
的一个排列，把排在
a
i
的左边且比
a
i
小的数的个数称为
a
i
的顺序数< br>．．．
（
i?1,2,?,n
）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的 顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8
这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的 顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的
种数为(C)
A．48B．96C．144D．192
10、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数 字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6
这六个数字中任取3个数，组成无重复数 字的三位数，其中“伞数”有
个个个个
【答案】C
11、现有4种不同颜色要对 如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，
则不同的着色方法共有
A．24种B．30种C．36种D．48种
【答案】D
12、如果一条直线与一 个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，
由两个顶点确定的直线 与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）
A．24B．30C．36D．42
【答案】C
13.从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层 抽样，则不同的抽取方法
数为;
【答案】112
14、现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种.

< br>86384
3533
?A
6
?A
3
?A
6< br>?A
5
?A
3
（A）
A
6
???（B）A
8
??（C）
A
5
???（D）
A
8

5
误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有
A
5
种排法， 5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、
35
3
?A
5
丙三人有A
6
种方法，这样共有
A
6
种排法，选A.
错因分析 ：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人
互不相邻”的情 况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人
．．．．
相邻.
正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不 相邻
863
?A
6
?A
3
的方法数，即
A
8
，故选B.
15、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲 必须有班级去，每班去何
工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）.
（A）16种（B）18种（C）37种（D）48种
误解：甲工厂先派一个班去，有3种选 派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有
3?4?4?48
种
方案.
错因分析：显然这里有重复计算.如：
a
班先派去了甲工厂，
b
班选择时也去 了甲工厂，这与
b
班先
派去了甲工厂，
a
班选择时也去了甲工厂是同 一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种
重复很难排除.
正解：用间接法. 先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：
4?4?4?3?3?3?3 7
种方案.
排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用 乘、分类用加、
有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好.