2016(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法

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高中数学排列组合问题常用的解题方法
一、相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么
不同的排法种数有 种。
分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人
4
的全排 列，
A
4
?24
种。
二、相离问题插空法
元素相离(即 不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把
规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空 位和两端．
例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的
种数是 。
52
分析：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
种，再用 甲乙去插6个空位有
A
6
52
种，不同的排法种数是
A
5< br>A
6
?3600
种。
三、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、
B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。
分 析：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数 相同，所以题设的排法只是5个元
1
5
?60
种。 素全排列数的一半，即
A
5
2
四、标号排位问题分步法
把元素排到 指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再
排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成 ．
例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格
填一个数， 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。
分析：先把1填入方格中，符合 条件的有3种方法，第二步把被填入方
格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的 两个数字，
只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。
五、有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。
例5 有甲、乙、丙三 项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从
10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有 。
分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承
担乙项任务，第三 步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
211
C
10
C8
C
7
?2520
种。


1

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六、多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况
分别计算，最后总计。
例6 由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个
位数字小于十位数字的共有 个。
分析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有
5
< br>个，
A
4
A
5
A
3
A
3
, A
3
A
3
A
3
,A
2
A
3
A
3
,A
3
A
3
个，合并总计300个。
例7 从1，2，3，?100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能
被7整除，这两个数的取法(不 计顺序)共有多少种？
分析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，< br>将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做
A?
?
7, 14,21,98
?
共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做
A?
?
1,2,3,4,,100
86个元素；由此可知，从
A
中任取2个元素的 取法有
?
共有
2
11
，从
A
中任取一个，又从A
中任取一个共有
C
14
，两种情形共符合要求的
C
1 4
C
86
211
取法有
C
14
?C
14< br>C
86
?1295
种。
例8 从1，2，?100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除
的取法(不计顺序)有多少种？
分析：将
I?
?
1,2,3,100
?
分成四个不相交的子 集，能被4整除的数集
97
?
，能被4除余2的数
99
?
， 易见这四个集合中
A?
?
4,8,12,
集
C?
?
2,6,
100
?
；能被4除余1的数集
B?
?
1,5,9 ,
,98
?
，能被4除余3的数集
D?
?
3,7,11,< br>每一个有25个元素；从
A
中任取两个数符合要；从
B,D
中各取一个 数也符合要
求；从
C
中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合 要求
2112
的取法共有
C
25
种。
?C
25
C
25
?C
25
七、交叉问题集合法 < br>某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式
n(A?B)?n(A)?n( B)?n(A?B
。
)

例 9 从6名运动员中选出4个参加4×100 m接力赛，如果甲不跑第一
棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
分析：设全集Ⅰ＝ ｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排
列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元 素个数的公式得参赛方法共有：
2

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n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B )＝P
6
4
?P
5
3
?P
5
3
? P
4
2
＝252(种)．

八、定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他
元素。
例10 1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，
则有不同的排法有_______ _种。
4
1
分析：老师在中间三个位置上选一个有
A
3
种 ，4名同学在其余4个位置上有
A
4
14
种方法；所以共有
A
3
A
4
?72
种。
九、多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理。
例11 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法
种数是 。
分析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排
6
成一排，共< br>A
6
?720
种。
例12 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素
要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？
2
分析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选 排2个，有
A
4
种，某1
1
个元素排在后半段的四个位置中选一个有
A
4
种，其余5个元素任排5个位置上
5
125
有
A
5
种，故共有
A
4
A
4
A
5
? 5760
种排法。
十、“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便。
例13 从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和
乙型电视机各一台，则不同取法共有 种。
分析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种
333
型号的电视机，故不同的取法共有
C
9
?C
4
?C
5?70
种。
分析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台 ；
2112
甲型2台乙型1台；故不同的取法有
C
5
C
4< br>?C
5
C
4
?70
种。
十一、选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先
取后排法。
例14 四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个
空盒的放法共有_____ ___种
2
分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
C
4
种，再排：在
3

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3
23
四个盒中每次排3个有
A
4
种，故共有
C
4
A
4
?144
种。
例15 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打
训练，有多少种不同分组法？
2
2
分析：先取男女运动员各2名，有
C
5
2
C
4
种，这四名运动员混和双打练习有
A
2
222
中排法，故共有
C
5
C
4
A
2
?120
种。
十二、部分合条件问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为
所求。
例16 以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。
分析：正方体8个顶点从中每次取四 点，理论上可构成
C
8
4
四面体，但6个表
面和6个对角面的四个顶 点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有
C
8
4
?12?58
个。
例17 四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同
的取法共有 种。
4
分析：10个点中任取4个点共有
C
10
种，其中四点共面 的有三种情况：①在
44
四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为
C
6< br>，四个面共有
4C
6
个；②过空
间四边形各边中点的平行四边形共3个 ；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6
44
个；所以四点不共面的情况的种数是
C< br>10
?4C
6
?3?6?141
种。
十三、复杂排列组合问题构造模型法
例18马路上有编号为1，2，3?9九只路灯，现要关 掉其中的三盏，但不能关
掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种 ？
分析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮
3
的灯
C
5
种方法。所以满足条件的关灯方案有10种。
十四、利用对应思想转化法
例19 圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
分析：因为圆的一个内接四边形的 两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内
接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转 化为圆周上的
4
10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有
C
10
个，所以圆周上有10点，以
4
这些点为端点的弦相交于圆内的交点有
C
1 0
个。

4