高中理科数学计数问题排列组合

理科数学复习专题 统计与概率
排列组合
一．基本计数原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：要求做一件事有多少种方法，一般先分类，再分步。
例：用ABCD四个字母和1-9九个数字中各取一个给教室的座位编号，可以编出
几种号码？



练：从3名老师，8名男生，5名女生中选人参加活动。
（1）活动只需一人参加，有几种选法？
（2）活动需一名老师，一名男生，一名女生参加，有几种选法？
（3）活动需一名老师，一名学生参加，有几种选法？




题型总结
※重排问题（元素可以重复选取）
例：(1)将5本书分给3个不同的学生，有几种分法?
(2)将3个人分到5个不同的车间工作，有几种分法？





练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军，每门学科一名冠军，可能
出现几种结果？



※组数问题（特殊位置、特殊元素优先考虑）
例：（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位偶数?
（2）用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?
（3）用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?





1 9

※选取问题（优先安排“全能者”）
例：艺术小组共有9人，每人至少会钢琴 和小号一种乐器，其中会钢琴的有7
人，会小号的有3人。从中选一人参加钢琴比赛，一人参加小号比赛 。总共有几
种选取方案？



练：艺术小组共有9人，只会钢琴 有5人，只会小号有2人，全能的有2人，从
中选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。总共有几种选 取方案？




※涂色问题
例：将红、黄、绿、黑四 种不同的颜色涂入下图的五个区域内，要求相
邻的两个区域颜色都不相同，则有几种不同的涂色方法







练：如图，一环形花坛分 成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要
求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花， 则不同的种法总数是_______


A
D

B C

二、排列：
例：从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生，1个上午，1个下午，几种选法？


总结：从n个元素中选出m个进行排列，总共有几种选法？


1． 排列 的概念：从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个元素（这 里的被取元
素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元
．．．．．
素的一个排列
．．．．
【说明】排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
2 ．排列数的定义：从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个 元素的所有排列的个
数叫做从
n
个元素中取出
m
元素的排列数，用符 号
A
n
m
表示
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指： 从
n
个不同元素中，任取
m
个
2 9

元 素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从
n
个不同元素中，任
．．．． ．
取
m
（
m?n
）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号A
n
m
只表示排列数，
而不表示具体的排列
3．排列数公式及其推导：
m
A
n
?n(n?1)(n?2)L( n?m?1)
（
m,n?N
?
,m?n
）
n
?n(n?1)(n?2)L2?1?n!
（叫做n的阶乘） 全排列数：
A
n
题型总结
※ 计算排列数
12
?A2
计算：
A
8
4
?A
6
2
?A
4





※ 用排列解决的计数问题
（1）特殊优先原则（2）相邻元素捆绑法
（3）不相邻元素插空法（4）定序问题倍缩法
例：①用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?
②用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?


例：用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不
在个位 ；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)偶数数字从左向右从小到大排列．



练：3个男生4个女生站成一排
（1） 甲只能排在中间或排在两端（2）甲和乙只能站在两端
(3) 甲不站最左端，乙不站最右端 ( 4) 所有男生站一起
(5) 所有男生站一起，所有女生站一起 (6)男生不能相邻
(7) 甲乙中间有两人 (8)甲在乙的右边




3 9

排列问题 综合练习
1、摄影师要为5名学生 和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不
同的排法共有 ( )
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种

2、有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

3、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起的不同坐法种数为（ ）
A、
3?A
3
B、
3?(A
3
)
C.
(A
3
)
D.
A
9


4、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任 两
名学生不能相邻，那么不同的排法有（ ）
A、36种 B、72种 C、108种 D、120种

5、张、王两家夫妇各带 1个小孩一起去动物园游玩，购票后需要排队依次入园，为安全起
见，首尾一定要排两位爸爸，两个小孩 一定要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法数共
有 （ ）
A、12 B、24 C、36 D、48

6、公共汽车上有4位 乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那
么这4位乘客不同的下车方式共有（ ）
A、15种 B、24种 C、360种 D、480种

7、在学校的一次演讲比赛中，高一，高二，高三分别有1名，2名，3名同学获奖，将这6
名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有（ ）
A、6种 B、36种 C、72种 D、120种

8、由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是_____
A．72 B.96 C.108 D.144
9、电视台某段时间连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传
广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的
播放 方式有（ ）
A．120种 B．48种 C．36种 D．18种
10、甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那 么
不同的试种方法共有（ ）
A.12种 B.18种 C.24种 D.96种

11、某中学一天的课表有6节课， 其中上午4节， 下午2节， 要排语文、数学、英语、
信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节 课不排体育，数学必须排在上午，则不同排
法共有( )
A．600种 B．480种 C．408种 D．384种
12、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
4 9
3
33349

13、6位同学排成三排，每排2人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法有__种

14、A，B，C，D，E五个元素排成一列，若A在B 的前面且D在E的前面，则有_____种不
同的排法.

15、安排7位工作人员 在10月1日至10月7日值班，每人值班1天，其中甲乙二人都安排
在10月1日和10月2日，不同 的安排方法共有________种。

16、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求
最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有
_________种

17、所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_____个。
18、在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序．工序A只能出现在第一步或最后一步，
工序B 和C实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( )
A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 108种

三、组合：
例：以下两个问题有何区别？
（1）从甲乙丙三名同学中选出两人参加两个不同的活动，有几种选法？

（2）从甲乙丙三名同学中选出两人参加一个活动，有几种选法？

1 组合的概念 ：一般地，从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个 元素并成一组，叫
做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；
2．组合数的概念：从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元素的所有组合的个数，
m
C
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数．用符号表示．
n
．．．
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数
A
n
m
，可以分如下两 步：
① 先求从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数
C< br>n
m
；② 求每一个组合中
m
个
mm
元素全排列数< br>A
m
，根据分步计数原理得：
A
n
m
＝
C< br>n
m
?A
m
．
（2）组合数的公式：
n!
A
n
m
n(n?1)(n?2)
L
(n?m?1)
(n, m?N
?
,且m?n)

?
或
C
m
C?< br>m
?
n
m!(n?m)!
A
m
m!
m
n
mn?m
C
n
?C
n

C
n
m
?C
n
m?1
?C
n
m
?1

5 9

注意事项
1.排列与组合，排列与组合最根 本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后
交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是 组合．
2. (1)排列数公式A
m
n
＝
n！
?n－m? ！
n！
m！?n－m?！

(2)组合数公式C
m
n
＝
利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和
组合问题中的组合数．
①解决排列 组合综合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主
要是判断“有序”和“无序”，更重 要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无
序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．
② 要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的
排列数相符，使复杂问题简 单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正
确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决 起到事半功倍的效果．
3.求解排列组合问题的思路：“有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
题型总结
※ 组合的计算
341
C
6
?C
4
?C
2
?C
8
6



※ 用组合解决的计数问题：选取问题
例：男、女生共有8人，若从男生中选取2人，从女生中选取1人， 共有30种
不同的选法，则女生有( )
A. 2人或3人 B. 3人或4人 C. 3人 D. 4人
练：甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相
6 9 < /p>

同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少
种 ？



练：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个 零件中任意取3
个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？



四、排列组合的综合应用：分组分配问题
※先分组，再分配
例. 从班委会5名成 员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委
员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不 同的选法共有多少种？


※不同元素的分组分配问题
（注：平均分组注意：__________________________________）
例：6本不同的书
（1）分三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本
（2）平均分三堆
（3）平均分三堆，再分给甲、乙、丙3个人


练：4个不同的球，4个不同的盒子
（1）把球都放入盒内，有几种放法？
（2）一个盒子只放一个球，有几种放法？
（3）恰有一盒空盒，有几种放法？
（4）恰有两个盒子不放球，共几种放法？

※相同元素的分组分配问题：隔板法
例：4个相同的小球，放入2个不同的盒子，有几种不同的放法？
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练：将10个特长生录取名额分给7个学校，每个学校至少1个名额，有几种不
同的分配方案？


排列组合 综合练习
1、从两名老师和四名学生中选出四人排成一排照 相，其中老师必须入选且相邻，共有
________排列方法
2、盒中有10个大小，形状 完全相同的小球，其中8个白球，2个红球，则从中任取2
球，至少有1个白球的概率是_______ ____
3、从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，
则选法总数应为（ ）
2112
C
5
C
10
B．
C
7
C
5
A
10
C．
C< br>12
?C
7
?C
5
C
5
(C
6?C
4
C
6
?C
4
)
A．
C
7
D．
C
7
4、为保证青运会期间比赛的 顺利进行，4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务，
每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场 馆
A
的条件下，场馆
A
有两名志愿者的概率
为__________ _
5、某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不
同的 发言顺序有（ ）种
（A）30 （B）600 （C）720 （D）840
6、某班要从A,B,C,D,E五人中选出三人担任班 委中三种不同的职务，则上届任职的
A,B,C三人都不连任原职务的方法种数为（ ）
（A）30 （B）32 （C）36 （D） 48
7、书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方
法共有（ ）
A．336种 B．120种 C．24种 D．18种
8、淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名同学的不同分派方法种数为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．280
9、
3
位男生和
3
位女生共< br>6
位同学站成一排，则男生甲不站两端，
3
位女生中有且只
有两位女生 相邻的概率是（ ）
A．
14722
B． C． D．
2180515
10、在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙 、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，
每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院 工作，丙、丁两名医
生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 ．
11、已知
A,B
两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，
A
不排 两端，3个大人有且只有两
个相邻，则不同的排法种数有 ．
12、将5 名学生分配到3个不同的社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一名学生
的方案种数为______ __.
13、把尾号分别为1,2,3,4,5的5张世园会参观券全部分给4个人，每人至少1张， 如
8 9

果分给同一个人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 。
14、在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，
则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）.
15、某宾馆安排A、B 、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不
能住同一房间，则不同的安排方法有 （ ）种
A．24 B ．48 C．96 D．114

9 9