高中数学排列组合及二项式定理知识点和试

高中数学排列组合及二项式定
理知识点和试

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2

排列组合及二项式定理
【基本知识点】
1.分类计数和分步计数原理的概念
2．排列的概念：从
n
个不同元素中， 任取
m
（
m?n
）个元素（这里的被取元素各不相同）
按照一定的顺 序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列
．．． ．．．．．．

3．排列数的定义：从
n
个不同元素中，任取
m（
m?n
）个元素的所有排列的个数叫做从
m
n
个元素中取出< br>m
元素的排列数，用符号
A
n
表示
m
4．排列数公 式：
A
n
?n(n?1)(n?2)L(n?m?1)
（
m,n?N ,m?n
）
?
5.阶乘：
n!
表示正整数1到
n
的连乘积，叫做
n
的阶乘规定
0!?1
．
6．排列数的另一个计算公式：
A
n
=
m
n!

(n?m)!
7.组合概念：从
n
个不同元素中取出
m
?< br>m?n
?
个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中取
出
m
个元素的一个组合
8．组合数的概念：从
n
个不同元素中取出
m
?
m?n
?
个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个
不同元素中取出
m
个元素的组合数．用符号
C
n
表示．
．．．
m
9.组合数公式：
A
n
m
n(n?1)( n?2)
L
(n?m?1)
C?
m
?
A
m
m!
m
n
或
C
m
n
?
n!
(n, m?N
?
,且m?n)

m!(n?m)!
mn?m
010.组合数的性质1：
C
n
?C
n
．规定：
C
n
?1
；
11.组合数的性质2：
C
n?1
＝
C
n
+
C
n
n0n
m
m
m?1
C
n
+C
n
+…+C
n
=2
01nn
1 2.二项式展开公式：(a+b)=C
n
a+C
n
ab+…+C
n< br>ab+…+C
n
b
13．二项式系数的性质：
12nr
( a?b)
n
展开式的二项式系数是
C
n
0
，
Cn
，
C
n
，…，
C
n
．
C
n
可以看成以
r
为自变量的函数
1n-1kn- kknn
f(r)
，定义域是
{0,1,2,L,n}
，
mn?m
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵
C
n
?C< br>n
）．
（2）增减性与最大值：当
n
是偶数时，中间一项
C
取得最大值；当
n
是奇数时，中间两项
n
2
n
C< br>
n?1
2
n
，
C
n?1
2
n取得最大值．
3

n1rrn
（3）各二项式系数和 ：∵
(1?x)?1?C
n
x?L?C
n
x?L?x
， < br>n012rn
令
x?1
，则
2?C
n
?C
n
?C
n
?L?C
n
?L?C
n


【常见考点】
一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一 类不能重复，
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题， 在
这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方
法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】：（1）
3
（2）
4
（3）
4


二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排
列.高☆考♂资♀源?网 ☆
（4）
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻 且
B
在
A
的右边，那么不同的
排法种数有
4
【解析】：把
A,B
视为一人，且
B
固定在
A
的 右边，则本题相当于4人的全排列，
A
4
?24
4
33
种
（5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3
位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【解析】： 间接法 6位 同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，
2222
C
3
A
2
A
4
A
2
=432
种高☆考♂资♀源?网 ☆
其中男生甲站两端的有
A
2
C
3
A
2
A
3
A
2
=144
，符合条件的排法故共有288
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，
再 把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
（6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
52
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
种，再用甲乙去插6个空位 有
A
6
种，不同的排
12222
4

52
法种数是
A
5
A
6
?3600
种
（7） 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同
的插法（具体数字作答）
【解析】：
A
7
A
8
A
9
=504

（8）马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3
【解析】 ：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C
5
种方< br>111
法,所以满足条件的关灯方案有10种.
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元
素；再排其它的元素。
（9）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） 高☆考♂资♀源?
网 ☆
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
23
【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
A
3
A
3
?36

113
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法
C
2
C2
A
3
?24
；若小张、小赵都入选，则
有
22选法
A
2
A
3
?12
，共有选法36种，选A.
（10）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少
种 ？
1
4
【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有
A
3< br>种，4名同学在其余4个位置上有
A
4
种
14
方法；所以共有
A
3
A
4
?72
种。.
五．多排问题单排法：把 元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高☆考♂资
♀源?网 ☆
（11） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（12）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
5

（A）
A
15
A
10

5555535553
（B）
A
15
A
10
A
5
A
3
（C）
A
15
（D）
A
15
A
10
A
5
?A
3

15
（13）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1 个
元素排在后排，有多少种不同排法？
【解析】 ：（1）前后两排可看成一排的两段 ，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，
6
共
A
6
?720种，选
C
.高☆考♂资♀源?网 ☆
（2）答案：C
2（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有
A
4
种，某1个元 素排在后半
15
段的四个位置中选一个有
A
4
种，其余5个元素任排 5个位置上有
A
5
种，故共有
125
A
4
A
4
A
5
?5760
种排法.
六．定序问题缩倍法（等几率法）： 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可
用缩小倍数的方法.
（14）
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以不相邻）那
么不同的排法种数是（ ）高☆考♂资♀源?网 ☆
【解析】 ：
B
在
A
的右边与
B
在A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素
全排列数的一半，即
1
5
A
5
?60
种
2
（15）书架上某层有6本书，新买 3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的
插法？高☆考♂资♀源?网 ☆
【解析】 ：法一：
A
9
法二：
3
1
9
A
9

6
A
6
七．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定
排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
（16） 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每
个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种高☆考♂资♀源?网 ☆
【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数
字填
入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×
6

1=9
种填法，选
B
.
（17）编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）
A 10种 B 20种 C 30种 D 60种
答案：B
八．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
（18 ）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高☆考♂资♀
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（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3） 分成每组都是2本的三个组；
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5） 分给5人每人至少1本。
【解析】 ：（1）
CCC
211111
C
5
C
5
C
4
C
3
C
2
C
1
5
A
5

4
A
4
1
6
2
5
3
3
（2）
222
C
6
C
4
C
2
222
CCCA
（3） （4）
C
6
C
4
C
2
（5）
3
A
3
1
6
2
5
3
3
3
3
（19） 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
2
【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
C
4
种，再排 ：在四个盒中每
23
3
次排3个有
A
4
种，故共有
C
4
A
4
?144
种.
九．相同元素的分配问题隔板法：
（20）把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数
不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2 个球后还余下17个球，然后再把这
17
个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有< br>C
16
?120
种。高☆考♂资♀源?网 ☆
（21）10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆
至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
6
故共有不同的分配方案为
C
9
?84
种.高☆考
2
十．排数问题（注意数字“0”）高☆考♂资♀源?网 ☆
7

（22）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个 位数字小于十位数字
的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
5
【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有
A
5
个，
A
4
A
3
A
3
,A
3
A3
A
3
,A
2
A
3
A
3
,A
3
A
3
个，合并总计300个,选
B
.
十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;高☆考♂资♀源?网 ☆
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
（23）将一个四棱锥
S?A BCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，
如果只有5种颜色可供使用，那 么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 < br>(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两
12
种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有
C
5
A< br>4
?60
种方法。
(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种 颜色染顶点S，再从余下的四种颜
色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有
A< br>4
种染法；再从余下的两种颜色中
任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需 染与其相对顶点同色即可，故有
1211
C
5
A
4
C
2
C
2
?240
种方法。
5
(3)若恰用五种颜色染色 ，有
A
5
?120
种染色法高☆考♂资♀源?网 ☆
2
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
十二． 几何中的排列组合问题:
（24）已知直线
xy
??1
（
a，b
是非零常数）与圆
x
2
?y
2
?100有公共点，且公共点的
ab
横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条
【解析】： 圆上的整点有：
(?6,?8) ,(?8,?6),(?10,0),(0?10)
12 个

C
12
=66
其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有
C
12
=12
，
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60

【练习】
1、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共
有
（A）12种 （B）24种 （C）30种 （D）36种
8

21

1
【解析】分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此 时赠送方法有
C
4
?4
种；取出的2本画
2
册，2本集邮册 ，此时赠送方法有
C
4
?6
种。总的赠送方法有
10
种。【 答案】B
2、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么< br>一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A．20 B．15 C．12
1
D．10
【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有
C
5种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选
一个顶点有
C
4
种选法，由于 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对
角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同 一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点
和剩下的两个点连线有
C
2
种 方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，
所以最后还要乘以
择A.
3、
(4?2)(x?R)
的展开式中的常数项是
（A）
?20
（B）
?15
（C）
15
（D）
20

【答案】C
rrx6?r ?xrrrx(12?3r)
【解析】：
T
r?1
?(?1)C
6< br>(4)(2)?(?1)C
6
2
令
x(12?3r)?0
?r ?4
，于是
44
展开式中的常数项是
(?1)C
6
?15< br>故选C
1
1
11
111
,
所以这个正五棱柱对角线 的条数共有
C
5
?C
4
?C
2
??20
, 所以选
22
x?x6
5
4、
已知
(xcos
??1)
5
的展开式中
x
2
的系数与
(x?)
4
的展开式中
x
3
的系数相等，则
4
cos
?
?
．
【答案】
?
55
2
r
?x
4?r
?()
r
，
?4?r?3,
?
r?1
， 解：
(x?)
4
的通项为
C
42
44
5
4
5
?5
,
4
1
?
∴
(x?)
4
的展开式中
x
3
的系数是
C
4
(xcos
?
?1)
5
的通项为
C
5
R
?(xcos
?
)
5?R
，
?5?R?2,?
R?3
，
3
?cos
2
?
?5,
∴
cos
2?
?
∴
(xcos
?
?1)
5
的展开式中x
2
的系数是
C
5
1
，
2
9

cos
?
??
2
.
2
26
5、已知
(1?kx)
（
k
是正整数）的展开式中，
x
的系数小于120，则
k?
．
r2rrr2 r
【解析】
(1?kx)
按二项式定理展开的通项为
T
r?1
?C
6
(kx)?C
6
kx
，我们知道
x
的8
26
8
444
系数为
C
6
k?15k
，即
15k?120
，也即
k?8
，而
k
是正整数，故< br>k
只能取1。
1223n?2n?1n?1
6、若
C
n?3C
n
?3C
n
?L?3C
n
?3?85
， 则
n
的值为 ．
4
4
答案4
423 4
7、已知
(1?2x)?a
0
?a
1
x?a
2< br>x?a
3
x?a
4
x
，则
a
1
?2 a
2
?3a
3
?4a
4
= -8 ．
323
8、对任意的实数
x
，有
x?a
0
?a
1< br>(x?2)?a
2
(x?2)?a
3
(x?2)
，则
a
2
的值是（ B ）
A．3 B．6 C．9 D．21
9、设
a
1
,a
2
, ?,a
n
是
1,2,?,n
的一个排列，把排在
a
i
的左边且比
a
i
小的数的个数称
．．．
为
a
i< br>的顺序数（
i?1,2,?,n
）．如：在排列6，4， 5， 3，2，1中，5的顺序数为1，
3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足 8的顺序数为2，7的
顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( C )
A．48 B．96 C．144 D．192
10、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从
1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有
A.120个 B.80个 C.40个 D. 20个
【答案】C
11、现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共 边界的两块不能用同
一种颜色，则不同的着色方法共有
A．24种 B．30种 C．36种 D．48种

【答案】D
12、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面 对”．在一
10

个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【答案】C
13.从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按 性别比例分层抽样，则不
同的抽取方法数为
【答案】112
14、现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.
86384
3533
?A
6
?A
3
?A< br>6
?A
5
?A
3
（A）
A
6
（B）
A
8
（C）
A
5
（D）
A
8

5
误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A
5
种排法，5人排好后产生6个空档，
35
3
?A
5
插入甲、乙、丙三人有
A
6
种方法，这样共有
A
6
种排法，选A.
错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、
乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时
．． ．．
相邻，但允许其中有两人相邻.
正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻 的方法数，就得到甲、乙、
863
?A
6
?A
3
丙三人不相 邻的方法数，即
A
8
，故选B.
15、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁 四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，
每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.
（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种
误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共
有
3?4?4?48
种方案.
错因分析：显然这里有重复计算.如：
a
班先派 去了甲工厂，
b
班选择时也去了甲工厂，
这与
b
班先派去了甲工厂，
a
班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了
不一样的情况，并且这 种重复很难排除.
正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情 况，
即：
4?4?4?3?3?3?37
种方案.
排列组合问题虽然种类繁 多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、
分类用加、有序排列、无序组合”，留心容 易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合
学好.

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