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高中数学复习排列组合问题的解题方法

作者:高考题库网
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2020-09-18 13:19
tags:高中数学排列组合

高中数学卷纸每道题解题思路-高中数学函数含参零点问题

2020年9月18日发(作者:诸葛贞)


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排列组合问题的解题方法
排列组合是高中数学中相对独立的内容,它不仅应用广泛,而且还是 学习概率统计知
识和进一步学习的基础.它与许多数学知识都有联系,其思考方法和解题技巧都有其特殊 性,
具备概念性强、灵活性强、抽象性强、思维方法新颖等特点.因此,总结、归纳其解题思想
和方法,并能深入浅出地加以类比、延伸和拓展,才能“以不变应万变”,达到事倍功半之
效果. 一、特殊元素(或位置)“优先法”:排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系
问题,即某个 元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此,对于有限制条件的
排列组合问题,可从限制元 素(或位置)入手,优先考虑.
例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位 数中,不能被5整除
的数共有( )个.
解1:(元素优先法)根据所求四位数对 0和5两个元素的特殊要求将其分为四类:①
含0不含5,共有
C
2
A
4
=48(个);②含5不含0,共有
C
3
A
4
=72 (个);③含0也含5,共有
112
C
2
C
2
A
4
=48(个);④不合0也不含5,共有
A
4
4
=24(个).所以 ,符合条件的四位数共有4
1313
8+72+48+24=192(个).
解2: (位置优先法)根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步:第一步:排
个位,有
C4
种方法;第二步;排首位,有
C
4
种方法;第三步:排中间两位,有< br>A
4
种方法.所
11
2
以符合条件的四位数共有
C< br>4
C
4
A
4
=192(个).
11
2< br>二、相邻问题“捆绑法”:对于元素相邻的排列问题,可先将相邻元素“捆绑”起来看
作一个元素 (整体),先与其它元素排列,然后相邻元素之间再进行排列.
例2、6个人排成一排,甲、乙二人必须相邻的排法有多少种?
解:将甲、乙二人“捆绑”起 来看作一个元素与其它4个元素一起排列,有
A
5
种,甲、
5
25< br>乙二人的排列有
A
2
种,共有·
A
2
A
5< br>=240种.
2
三、不相邻问题“插空法”:对元素不相邻问题,可先不考虑限制条件 先排其它元素,
再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中(包括两端)即可.
例3、用1,2 ,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数,其中1与2相邻、3与
4相邻、5与6相邻、7 与8不相邻的八位数共有 个.
解:先“相邻”排列成三个“大元素”,再三 个“大元素”排列,最后7与8“插空”,
2232
共有
A
2
2A
2
A
2
A
3
A
4
?576
种.
四、有序问题“无序法”:对于元素顺序一定的排列问题,可先考虑没有顺序元素的排
列 ,然后除以有顺序的几个元素的全排列即可.
例4、3男3女排成一排,若3名男生身高不相等,则按 从高到低的一种顺序站的站法
有多少种?
3
解:6个人的全排列有
A
6
种,3名男生不考虑身高的顺序的站法有
A
3
种,而由高到低
6
3
又可从左到右,或从右到左(这是两种不同的站法),故共有不同站法2
A
6
÷
A
3
=240种.
6
1


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五、分排问题“直排法”:n个元素分成m(m<n)排,即为n个元素的全排列.
例5、将6个人排成前后两排,每排3人,有多少种排法.
3
3
解:6个人 中选3个人排在前排有
C
3
种,剩下3人排在后排有
A
3
种 ,故共有
6
A
3
C
6
A
3
A
3< br>=
A
6
=720种.
六、分组与分配问题的解法
例6、6 本不同的书,按以下要求各有多少种分法?⑴平均分成三组;⑵分成1本,2
本、3本三组;⑶平均分给 甲、乙、丙三人;⑷分给甲、乙、丙三人,一人拿1本,一人拿
2本、一人拿3本;⑸甲得一本,乙得二 本,丙得三本.
解:⑴此为平均分组问题,共有
C
6
C
4
C
2
?15
分法;⑵此为非平均分组问题,共有
3!
222
3
3
36
CCC
1
6
2
5
1
6< br>2
5
3
?60
分法;⑶先分组,再排序,共有
3
3< br>?360
分法;⑸共有
3
C
6
C
4
C
2
?3!?90
种分法;⑷先分组,再排序,
3!
222
CCC< br>A
3
3
CCC
1
6
2
5
3
?60
分法.
3
【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题,搞清类型的归属 对今后解题大有裨
益,其中:⑴均匀分组问题;⑵非均匀分组问题;⑶均匀不定向分配问题;⑷非均匀不 定向
分配问题;⑸非均匀定向分配问题.
七、综合问题的解法:对排列组合的综合问题,由于 限制条件较多而使问题较为复杂.
解此类问题时,应注意解题的基本策略与方法,抓住问题的本质,采用 恰当方法求解.
1、分类分步法:解排列组合的综合问题,应遵循“按元素的性质进行分类,按事情的
发展过程进行分步”的原则,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏.
例7、6个人排成一排,甲不在排头,乙不在排尾的排法有多少种?
解:按元素甲分类:①甲 在排尾,此时乙无任何限制条件地和其余4个元素排在一起,
11

A
5种排法;②甲不在排尾,而甲又不在排头,则甲有种排法,乙不在排尾也有种
AA
544< br>排法,其它4人有
A
4
种排法,共有
A
5

A
1
454
A
4
A
4
=504种.
14
2、排除法:对含有否定词的问题,也可从总体中把不符合条件的排法除去,此时应注
意不能多 除,也不能少除.
5
例如:在例8中,6个人的全排列有
A
6
种, 甲在排头的排法有种,乙在排尾的排
A
65
法有
A
5
种,甲 在排头且乙在排尾的排法有
A
4
种,故共有
A
6

A
5

A
5

A
4
=504种.
546554
3、集合思想
例8、用0、1、2、3、4、5、6七个数字组成没有 重复数字的五位数,若数字3不在百
位,数字5不在个位,共有多少个这样的五位数?
解:设 M={从七个数中任取五个数的排法},A={0在首位的排法},B={3在百位上的排
法},C={ 5在个位上的排法},如图,则满足条件的五位数共有:
card(M)-card(A)-card (B)-card(C)+card(A∩B)+card(B∩
432
C)+card(C∩ A)-card(A∩B∩C)=
A
5
?3
A
?3
A
?
A
?1608
个.
7654
4、图示(表)法:对于某些综合 问题,如暂无思路求解,可考虑回归课本,用树图、
2


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框图或图表法求解.
例9、同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人拿一张别人写的 贺年卡,则四
张贺年卡的不同分配方法有多少种?
解:(树图法)如图,


共有9种不同的选法.
例10、3男3女排成一排,下列情形各有多少种排法.⑴男女相间.⑵甲乙之间恰隔二人.
3
解:⑴男女相间的站法有两类:男女男女男女,女男女男女男,共有2
A
3
·
A
3
=72种;
3
⑵甲乙之间恰隔二人有三类:甲××乙××, ×甲××乙×,××甲××乙,因甲乙可
交换位置,故共有3×
A
2
×
A
4
=144种.
2
例11、9人组成的蓝球队中,有7人会打卫,3人 会打锋,现选5人,按3卫2锋组队
出场,有多少种不同的组队方法?
解:9个人中7人会卫 3人会锋,故有1人既会卫也会锋,则只会卫的有6人,只会锋
的有2人,见下表:
人数 6人只会卫 2人只会锋 1人既卫又锋 结果


32

3 2
AA
62




2
32

2 2 1(锋)
C

6
A
3
A
2



3
1
2
3 1 1(卫)
A
6
C
2
A
2



2
3223
1
2
故共有
A
3
++=900种方法.
CC
AAAAA
626
6
32
2
2
45、至多、至少问题间接法:对于含有 “至多”、“至少”的组合问题,分类讨论十分
麻烦,若用间接法处理,可使问题简化.
例1 2、①某校要从6个班级中选出10人组成一个篮球队,要求每班至少选1人参加,
则这10个名额的不 同分配方法有多少种?
②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少含甲型与乙型电视机 各一
台的不同选法有 种?
解:①(隔板法)因为名额之间无区别,所以可把它 们视作排成一排的10相同的球,
要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球),这样,第一种分隔 方法都对应一种名额的
分配方法,这10个球之间(不含两端)共有9个空位,现要在这9个空位中放进 5块隔板,
共有
C
5
=126种放法,故共有126种分配方法.
9
3
②(排除法)在被取出的3台中,不含甲型或不含乙型的取法分别为
C
3
4

C
5
种,故符
33
合题意的取法有
C
3
9

C
4

C
5
=70种.
6、角色转换法:对元素可重复的排列组合问题,若将元素与位置互换,则可化为相异
元素的问 题求解.
3


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例13、有2个A,3个B,4个C共9个字母排成一排,有多少种排法?
解:将字母作为元 素,则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列”
问题.若将九个位置作为元素,则问题 转化为“相异元素不许重复的组合问题”,即共有
CCC
2
9
3
7
4
?1260
种不同的排法.
4
7、分组与分配问题的解法 例14、6本不同的书,按以下要求各有多少种分法?⑴平均分成三组;⑵分成1本,2
本、3本三 组;⑶平均分给甲、乙、丙三人;⑷分给甲、乙、丙三人,一人拿1本,一人拿
2本、一人拿3本;⑸甲 得一本,乙得二本,丙得三本.
解:⑴此为平均分组问题,共有
C
123
2
6
CC
3!
2
4
2
2
?15
2< br>6
分法;⑵此为非平均分组问题,共有
2
4
2
2
C< br>6
C
5
C
3
?60
分法;⑶先分组,再排序,共有< br>CCC
3!
?3!?90
种分法;⑷先分组,再排
23
3123
序,
C
1
分法;⑸共有
?360
C
6< br>C
5
C
3
?60
分法.
6
C
5< br>C
3
A
3
【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题,搞清类型 的归属对今后解题大有裨
益,其中:⑴均匀分组问题;⑵非均匀分组问题;⑶均匀不定向分配问题;⑷非 均匀不定向
分配问题;⑸非均匀定向分配问题.
8、方程思想
例15、球台上有4 个黄球,6个红球,击黄球入袋记2分,击红球入袋记1分。欲将此
十球中的4球击入袋中,且总分不低 于5分,则击球方法有 种?
解:设击入黄球x个,红球y个,则有
x ?y?4
,且
2x?y?5
(x,y
?N
),解得
?x?1
?
x?2
?
x?3
?
x?4
3

?

?

?
,对应每组解的击球方法数分别为
C
1
1?x?4
,∴
?
4
C
6

?
y?3
?
y?2
?
y?1
?
y?0
C4
C
6

C
4
C
6

C4
C
6
,∴不同的击球方法数为
C
4
C
6
C
4
C
6

C
4
C
6
C
4
C
6
=195种.
对排列组合的综合问题,常 用方法是“先选之,再排之”.在分清分类与分步的标准与
方式的基础上,遵循两个原则:一是按元素的 性质进行分类,二是按事情发生的过程进行分
步.在具体应用中,要注意“类”与“类”间的独立性与并 列性和“步”与“步”间的连续
性.这要求我们要有周密的逻辑思维能力、准确的计数能力和灵活正确运 用基础知识的能力.
例16、7个人到7个地方去旅游,甲不去A地,乙不去B地,丙不去C地,丁不 去D
地,共有多少种旅游方案?
解:(排除法)7个人去7个地方共有
A
7
7
种可能.①若甲、乙、丙、丁都去各自不能去
的地方旅游,其余的人去剩下的地方有
A
3
3
?6
种;②若甲、乙、丙、丁中有3人去各自不能
1
3
去的地方旅游,有
C
3
4
种,4人中剩下的一人有
C
3
种,其余的人去剩下的地方有
A
3
种,共
22312
3

C
3
4
C
3
A
3< br>=72种;③若甲、乙、丙、丁中有2人去各自不能去的地方旅游,有
C
4
种, 余
下的5人去5个不同的地方有
A
5
5
种,但其中又包括了有条件的 4人中的两人(不妨设为甲
13
乙)同时去各自不能去的地方有
A
3
3
种和这两人中有一人去各自不能去的地方有
2A
3
A
3
种 ,
4


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313
故共有
C
2

A
5
5
-< br>A
3

2A
3
A
3
)=468种;④若甲、 乙、丙、丁中有1人去各自不能去的
4
·
地方旅游,有
C
1
4
种,而余下的6个人的旅游方案仍与③的想法一致,共有
C
4
[
A
6
?
A
3
?
C
3
(
A
4
?
A
3
)?
C
3
(
A
5
?
A
3
?2
A
3
A
3
)]?1704种.
故满足条件的不同旅游方案共有
A
7
7
-(6+72+4 68+1704)=2790种.
例17、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖,这6名学生排 成一排合影,则同校
的任何两名学生都不能相邻的排法有 种.
解:由题意可分两类:①先在6个位置上排第一个学校的三名学生,两两不相邻(如
图),
3名学生每两名隔一个空位有2种排法,剩下

的三个空位中再选2个排第二个学校 的2名同学,最后一名同学自动确定位子,此时有
2
2
2
A
3
3
C
3
A
2
?72
种排法;②第一个学校的
1< br>63
2
43
1
5313
3名同学中有两名中间隔两个位子的有 两种
排法(如图),

剩下的3个位子中,挨着的两个不能同时选,所以从另外两个中选,最后一名同学自动确定< br>1
2
位子,此时有
2
A
3
3
C
2< br>A
2
?48
种排法.故满足题设条件的排法共有120种排法.
试题集粹:
1、从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数组成一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

其中有实根的方程共有 个.
2、将6名运动员分成4组,由5名教练员分成4组分别辅导,不同的分配方法有 种.
3、身高互不相同的6个人排成2横行3纵列,在第一行的每个人都比他同列的身后的
人个子矮,则所 有不同排法共有 种.
4、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加 比赛.3名主力队员要安排在第
一、三、五位置,其余7名队员中选2名安排在第二、四位置,则不同的 出场安排有 种.
5、用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相 邻两个数字的奇偶
性不同,且1和2相邻,这样的六位数的个数是__________(用数字作答) .
6、某小组12位同学毕业前夕要留影,要求排成前5后7两排,组长站在前排正中间,
两位女生甲、乙站前排且不相邻,则共有排法种数有 种.
7、5个人有相应 的5个指纹档案,每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹,并有检
测指示灯和检测时的手指按扭.5 个人中某人把手指按在键扭上,若是他的档案,则指示灯
出现绿色,否则出现红色.现在这5人把手指按 在5个指纹档案的按扭上去检测,规定一个
人只能在一个档案上去检测,且两个人不能在同一档案上去检 测,此时指示灯全部出现红色
的情况共有 种.
8、如图,某城市开发旅游 资源,现开发出A、B、C、D、E、F六个旅游景点.该城市某
旅行社根据游览景点次序不同而制定团 体旅游方案,因为A景点离火车
站最近,根据团体来的时间,决定最先或最后旅游.对于同一交通线路< br>上的B、C,可按先远后近或先近后远的方式方式游览,其余不作要求.
5


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则可制定不同的旅游方案 种.
参考答案:⑴18;⑵15600;⑶90;⑷252;⑸40;⑹2903040;⑺44;⑻96.
6

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