高中排列组合知识点汇总及典型例题

一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
m
列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
n
.

1.公式：1.A
n
2.
m
?n
?
n?1
??
n?2
?
……
?
n?m?1
?
?

规定：0!?1

n!

?
n?m
?
!

(1)
n!?n?(n?1)!,(n?1)?n!?(n?1)!
(2)
n?n!?[(n?1)?1]?n!?(n?1)?n!?n!?(n?1)!?n!
；

(3)
nn?1?1n?1111

?????
(n ?1)!(n?1)!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!
m
n
三．组合：从 n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
n
?
n?1
?
……
?< br>n?m?1
?
A
m
n!
n
1. 公式：
C???
m!m!
?
n?m
?
!
A
m
m

2.组合数性质：

C
n
①
若
C
n
1
m

规定：C
n
0
?1

mn?mmm?1m01nn
?C
n
，C
n
?C
n
?C
n?1
，Cn
?C
n
?……?C
n
?2

；②；③；④< br>rrr?1r
C
n?1
?C
n
?C
r?2
? C
r?2
?

rrr?1
C
n?1
?C
n
?C
n?1

注：C
r
r
?C
r
r
?1
?C
r
r
?2
?
rrr?1rr
C
n?1
?C
n
?C
r?1
?C
r?1
?C
r?2
?
m< br>2
?C
n
则m
1
=m
2
或m
1+m
2
?n

四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略
（1）两种思路：①直接法；
②间接法：对有限制 条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重 复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所
有各类的并集为全集。
（3）分步处理：与分类处理 类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，
又要分步。其原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：
（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
（3）．相邻问题：捆邦法：
对于某些元 素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素 内部进行排列。
（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可 采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相
邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙 之间插入。
（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插
解法一：对于某几个元素按 一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列 数。
即先全排，再除以定序元素的全排列。
解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排 列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右
到左排列， 则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；
（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列 ，最后再进行“小团体”内部的排列。
（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）
① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不 能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；
③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法:
3．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
4．分配问题：
定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分配：（ 不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数 的阶乘。
5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题
例1.电视台连续播放6个广 告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的
播放方式（结果用数值表示）.
2424
解：分二步：首尾必须播放公益广 告的有A
2
种；中间4个为不同的商业广告有A
4
种，从而应当填 A
2
·A
4
＝48. 从而应填48．
例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？
解一：间接法： 即
6554
A
6
?A
5
?A
5
?A
4
?720?2?120?24?504

解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.

(1) 甲排在最右端时,有
共有
114
A
5
5
种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有
A
4
种排法，乙有
A
4
种排法，其他人有
A
4
种排法，
1111
A
4< br>A
4
A
4
4
种排法，分类相加得共有
A
5< br>5
+
A
4
A
4
A
4
4
=5 04种排法
例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮 到高排列，有多少种排法？
分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A
7
种 排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A
7
·1=840
种.
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法 共有
C
9
333
?C
4
?C
5
?70种,选.
C

2112
?C
5
C
4
? 70
台,选
C
.
44
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可 分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有
C
5
C
4
2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的
乙必须在内，有 种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有
种选法
分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.
解：（1）先从男生中选2人，有
C
5
种选法，再从女生中选2人，有
C
4
种选法，所以共有
C
5
C
4
=60（种）；
（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有
C
2
C
7
=21（种）；
（3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得 到符合条件的选法数：
C
9
4
22
2222
?C
7
4
=91（种）；
4
?C
5
4
?C
4
=120（种）.
1 31322332
直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数C
1
=91（种）.
C
7
?C
1
C
7
?C
2
C
7
?C
7
?C
7
?C
7
（4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数
C
9
直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为
C
5
C
4
13
4
231
?C
5
2
C< br>4
?C
5
C
4
=120（种）.

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A．40 B．50 C．60 D．70
C
6
[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15种不同的分法；两组各3人共有
2
＝1 0种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选
A
2
B.
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
32
[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A
3
A
4
＝72种排法，故选C.
3．只用1,2,3三个数字组成一个四 位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
1
[解析] 注意题中条件的要求， 一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C
3
＝3(种)选法， 即1231,1232,1233，
22
而每种选择有A
2
×C
3< br>＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
21
[解析] 设男生有
n
人，则女生有(8－
n
)人，由题意可得C
n
C
8－
n
＝30，解得
n
＝5或
n
＝6， 代入验证，可知女生为2人或3人．
5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级， 也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
2
[解析] 因为10÷8的余数为 2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C
8
＝28种走法．
6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个 部门，另外三名电脑编程人员也不能全分
在同一个部门，则不同的分配方案共有( )
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
[解析] 本题考 查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分 成两组，一组
112
1人另一组2人，共有C
3
种分法，然后再分到两部门去 共有C
3
A
2
种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人 即可，由于是每个
1121
部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C< br>3
种方法，由分步乘法计数原理共有2C
3
A
2
C
3
＝36(种)．
7．已知集合
A
＝{5}，
B
＝{1,2 }，
C
＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确 定的不同点的个数为( )
A．33 B．34 C．35 D．36
13
[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C
2
·A
3
＝12个； < br>133
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C
2
·A
3
＋A
3
＝18个；
1
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C
3
＝3个．
故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.
8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
212233
[解析] 分两类：若1与3相邻，有A
2
·C
3< br>A
2
A
3
＝72(个)，若1与3不相邻有A
3
·A
3
＝36(个)
故共有72＋36＝108个．
9．如果在一周内(周一 至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只 参观一天，
那么不同的安排方法有( )
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
1
[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连 排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一 种为C
6
，然后
212
在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观 ，安排方法有A
5
种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C
6
· A
5
＝120种，故选
C.
10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日 值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
25
[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A
5
＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A
5
＝120(种)排法，所以共有20 ×120＝2400(种)安排
2
6
3

方法．
11 ．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排 法．(用数字作答)
423
[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组 合问题，共有C
9
·C
5
·C
3
＝1260(种)排法．
12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务， 不同的分配方案有________种(用数字作答)．
22
C
6
C
4
4
[解析] 先将6名志愿者分为 4组，共有
2
种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A
4
种分法， 故所有分配
A
2
22
C
6
·C
4
4
方案有：
2
·A
4
＝1 080种．
A
2
13 ．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同 的种法(用数
字作答)．

[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种 法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，
∴有4×3×2×(1×2＋1× 1)＝72种．
14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个 信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法
共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
【解析】标号 1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，
故选 B.
15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中 的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不
排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有
2?
214
A
2< br>A
4
A
4
种方法
24113
(A
4
?A
3
A
3
A
3
)
种方法 甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有
4A
2
故共有1008种不同的排法