(完整word版)高中数学排列组合中的分组分配问题

排列组合中的分组分配问题


分组分配问题是排列组合教学中的一个 重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，
实际上可运用分配问题的方法来解决。下面就排列组合 中的分组分配问题，谈谈自己在教学
中的体会和做法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象 ，称为分配问题，分定向分配和不定
向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组 问题.分组问题有不平
均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的， 前者组与
组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
22
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是
C
2
6
C4
C
2
=90(种) ，这90种分组实
际上重复了6次。我们不妨把六 本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两
种分法：(1，2)(3，4)(5，6 )与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，
又与顺序无关，所以这 两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因
此还应取消分组的顺序，即除以组数 的全排列数
A
3
所以分法是
3
，
C
6
C< br>4
C
2
=15(种)。(2)先分
3
A
3
2 22
23
组，方法是
C
1
那么还要不要除以
A
3< br>由于每组的书的本数是不一样的，
6
C
5
C
3
，3
？我们发现，
23
因此不会出现相同的分法，即共有
C
16
C
5
C
3
=60(种) 分法。
11
(3 )分组方法是
C
4
6
C
2
C
1
=30(种 ) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组
的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序， 而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，
CC
2
C
1
不可能重复 。所以实际分法是
6
2
=15(种)。
A
2

通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

411

结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为 m
1
，m
2
，…，
CC
m
p
，其中k组内 元素数目相等，那么分组方法数是

三、基本的分配的问题
(一)定向分配问题 < br>m
1
n
m
2
n?m
1
C
m
3
n?m
1
?m
2
?
C
m
p
p< br>m
A
k
k
。
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本.
(2) 甲一本、乙两本、丙三本.
(3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配 问题，由分布
222411
123
计数原理不难解出：分别有
C
6< br>C
4
C
2
=90(种)，
C
6
C
5
C
3
=60(种)，
C
6
C
2
C
1
=30(种)。
(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1) 每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本.
(3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的 问题。由于分配给
三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组 ，再
将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以
A
411
3
即
3
，
C
6
C
4
C
2
3

A
3
=90(种)，
3
A
3
222< br>CCC
A
1
6
2
5
3
3
3
3
=360(种)
C
6
C
2
C
1
3A
3
=90(种)。
2
A
2
结论2. 一般地，如果 把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的
元素个数没有限制，那么实际上是先分组 后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的
全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人 都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑
先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢 ？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、
二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据 加法原理，分组法是

C
6
C
4
C
2
+
123
+
C
6
C
2
C
1
=90 (种)。再考虑排列，即再乘以
3
。所以一共有540种不
C
6
C< br>5
C
3
A
3
3
2
A
3
A< br>2
同的分法。
四、分配问题的变形问题
例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多
少种？
分 析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将
222
4 11
CCC
2
(种)，然后将这四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个， 分组方法有
43
2
A
2
三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不 同对象)中的3个的排列问题，即共有
112
C
4
C
3
C< br>2
3
=144(种)。
A
4
2
A
2
例6有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4
人承担这三项任 务，不同的选法有多少种？
分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组 二人，共
112
CC
9
C
8
(种)分法。再考虑排列，甲任 务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任有
10
2
A
2
CC< br>9
C
8
2
务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共 有
10
2
A
2
=2520(种)
A
2
不同 的选法。

例7设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值 域，则从集合A到集合
B的不同的函数有多少个？
分析：由于集合A为定义域，B为值域，即 集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集
合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以 此问题实际上还是分组后分配
的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为 1、1、2，则共
112
112
CCC
2
C
4
C< br>3
C
2
33
有
43
(种)分组方法。再考虑分配，即 排列，再乘以，所以共有
AA
3
=36(个)
3
22
A2
A
2
不同的函数。

掌握上述两个结论，就能顺利解决任何 分配问题。学会了分配问题，还能将一些其他的
排列组合问题转化为分配问题来解决。
112112