高中数学 2-3 排列组合典型例题

概念形成
1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素
2、排列 ：从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个元素（这里的被 取元素各不相同）按照一定的顺
．．．．
序排成一列，叫做从
n
个不同元素中 取出
m
个元素的一个排列。
．．．．．
说明：（1）排列的定义包括两个方 面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
合作探究二 排列数的定义及公式
3、
排列数
：从
n
个不同元素中，任取
m
（
m?n
）个元素的所有排列的个数叫做从
n
个元素中取出m
表示
m
元素的排列数，用符号
A
n
议一议：“排列 ”和“排列数”有什么区别和联系？
4、
排列数公式推导
23m
探究：从 n个不同元素中取出2个元素的排列数
A
n
是多少？
A
n
呢 ？
A
n
呢？
m
A
n
?n(n?1)(n?2)? (n?m?1)
（
m,n?N
?
,m?n
）
说明：公式特 征：（1）第一个因数是
n
，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个
因数是
n?m?1
，共有
m
个因数；
（2）
m,n?N
?
,m?n

即学即练:
4
253
1.计算 (1）
A
10
； (2）
A
5
；(3)
A
5

?A
3m
2.已知
A
10
?10?9?
?
?5
，那么
m?

3．
k?N
?
,
且
k?40,
则
(50?k)(51?k)(52?k)?(79?k)
用排列数符号表 示为( )
50?k293030
A
．
A
79
BD
C
． ． ．
AAA
?k79?k79?k50?k

例1． 计算从
a,b,c
这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。
5 、全排列：
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个不同元素的全排列。
此时在排列数公式中，
m
=
n

n
全排列数 ：
A
n
?n(n?1)(n?2)?2?1?n!
（叫做n的阶乘）.
3
即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）
4A
3
（2）
A
4
（3）
n?(n?1)!

4
排列数公式的另一种形式：

m
A
n
?
n!

(n?m)!
另外，我们规定 0! =1 .
mm?1m
例2．求证：< br>A
n
?mA?A
nn?1
．
解析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。
解：

左边=
n！m?n！（n-m?1）n ！?m?n!(n?1)!
????A
m
n?1
?右边

（ n?m）！（n?m?1)!(n?m?1）！(n?m?1）！
点评：(1)熟记两个公式；（2）掌 握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。
75
A
n
?A
n
变式训练：已知（n=15）
? 89
，求
n
的值。
5
A
n
1．若
x?n!
，则
x?
（ ）
3!
3n?3n3

(B)
A
n

(C)
A
3

(D)
A
n
(A)
A
n?3

53
2．若
A
m
，则
m
的值为 （ ）
?2A
m
(A)
5

(B)
3

(C)
6

(D)
7

2
3． 已知
A
n
?56
，那么
n?
；
4．一 个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1
列火车 ）？

4
253
1.计算 (1）
A
10
； (2）
A
5
；(3)
A
5

?A
3m
2.已知
A
10
?10?9?
?
?5
，那么
m?

3．
k?N
?
,
且
k?40,
则
(50?k)(51?k)(52?k)?(79?k)
用排列数符号表 示为( )
50?k293030
A
．
A
79
BDC
． ． ．
AAA
?k79?k79?k50?k

例1． 计算从
a,b,c
这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。
1．若
x?
n!
，则
x?
（ ）
3!
3n?3n3
(A)
A
n

(B)
A
n

(C)
A
3

(D)
A
n?3

53
2．若
A
m
，则
m
的值为 （ ）
?2A
m
(A)
5

(B)
3

(C)
6

(D)
7

2
3． 已知
A
n
?56
，那么
n?
；
4．一 个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1
列火车 ）？

m
1．下列各式中与排列数
A
n
相等的是（ ）

m
nA
n
n!
1m?1
?1
（A） （B）n(n－1)(n－2)??(n－m) （C） （D）
A
n
A
n?1

n?m?1
(n?m?1)!

2．若 n∈N且 n<20，则(27－n)(28－n)??(34－n)等于（ ）
827?n78
（A）
A
27?n
（B）
A
34?n
（C）
A
34?n
（D）
A
34?n

1 23100
3．若S=
A?A?A????A
123100
，则S的个位数字 是（ ）
（A）0 （B）3 （C）5 （D）8
2
4.已知
A
2
n
?6A
n-5
，则n= 。
54
2A
8
?7A
8
5.计算
?
。
85
A
8
?A
9
?1
A
n
n ?1
6．解不等式：2＜
n?1
?42

A
n?1
1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

（A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个
2．甲、乙、丙、丁四种不 同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方
法共有（ ）
（A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）96种
3．某天上午要排语文、数 学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不
同排法共有（ ）
（A）6种 （B）9种 （C）18种 （D）24种
4．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有
种．
例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一 场，共要进行多
少场比赛？
解：
(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？
(2) 放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？
例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

变式训练: 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方
案共有（ ）
84444
（A）
A
8
种 （B）
A
8
种 （C）
A
4
·
A
4
种 （D）
A
4
种
例4、三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
点评：
1）若要 求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的

元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。
2）若要求某 n个元素间隔，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限
制元素插人到允许 的位置上．
变式训练：
1、6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法．
2．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法．
1．由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）
（A） l：l （B）2：3 （C） 12：13 （D） 21：23
2．由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ） （A）
42031 （B）42103 （C）42130 （D）43021
3．若直线方程AX十By=0的系数A、B可以从o， 1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表
示的直线条数是 （ ）
22221
（A）
A
5
一2 B）
A
5
（C）
A
5
+2 （D）
A
5
－2
A
5

4．从a，b，c，d，e这五个元素中任取四个排成一列，b不排在第二的不同排法有 （）
13
1312
A
A
4
A
4

A
5
B
A
3
A
3
C
A
5
4
D
A
4
5．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 24 种不
同的种植方法。

6．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有
166320种。
7、某产品的加工需要经过5道工序，
（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？
（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？
1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有 （ ）

A
．
8
种
B
．10种
C
．12种
D
．16种
2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有
（ ）
A
．3种
B
．6种
C
．1种
D
．27种
3．
k?N
?
,
且
k?40,
则
(50?k)(51?k)(52?k)?(79 ?k)
用排列数符号表示为
（ ）
50?k293030
A
．
A
79
BD
C
． ． ．
AAA
?k79?k79?k50?k

4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有 （ ）

A
．24种
B
．72种
C
．96种
D
．120种
5.4·５·6·7·?·(n-1)·ｎ等于 （ ）
n?4
A.
A
n

n?3
B.
A
n
C.
ｎ
！－4！ D.
n!

4!
23
6.
A
n?1
与< br>A
n
的大小关系是 （ ）?
23
A.
A
n?1
?A
n
B.
A
n?1
?A
n
C.
A
n
?A
?1n

2323
D.大小关系不定
7．给出下列问题：
①有10个车站，共需要准备多少种车票？
②有10个车站，共有多少中不同的票价？
③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？
④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？
⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？
以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）。

8．若
x?{x|?Z,|x|?4}
，
y?{y|y?Z,|y|?5}
，则以
(x,y)
为坐标的点共有 个。
9.若x=
n!
m
,则x用
A
n
的形式表示为x= .
3!
mm
m?1m?1
10.(1)
A
n
（2 ）
A
n

?

A
n
?

A
n?1
；
m
7
11．（1）已知
A
（2）已知
9!?362880
，那么
A
9
= ；（3）已
10
?10?9?
?
?5
，那么
m?
；
22
2
知
A
n
（4）已知
A
n
?7A
n
?56
，那么
n?
；
?4
，那么
n?
．
12．从参加乒乓球团体比赛的 5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不
同的方法？


13．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不 同的种植方法？

123432
14．计算：（1）
5A
5
（2）
A
4

?A
4
?A
4
?A
4
?4A
4

mm?1m
16．求证：
A
n
?mA
n
?A
n?1
；
5 6
5
A
7
?A
6
2A
9
?3A
9
6
17.计算：①
6
②
6
5
9! ?A
10
A
6
?A
5
18．三个数成等差数列，其比为3:4:5
，如果最小数加上
1
，则三数成等比数列，那么原三数为什么？
排列与排列数作业(2)
37
1．与
A
10
不等的是 （ ）
?A
7
10
989
(A)
A
10

(B)
81A
8

(C)
10A
9

(D)
A
10

53
2．若
A
m
，则
m
的值为 （ ）
?2A
m
(A)
5

(B)
3

(C)
6

(D)
7

3.100×99×98×?×89等于 （ ）
101112
A.
A
100
B.
A
100
C.
A
100

13
D.
A
100

2
4.已知
A
n
＝132，则n等于 （ ）
A.11 B.12 C.13 D.以上都不对?
5．将1，2 ，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的
数字均 不相同的填法多少种？（ ）

A
． 6
B
． 9
C
． 11
D
． 23
6．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A不能停在第三条 轨道上，货车B不能停在第一条
轨道上，则五列火车的停车方法有多少种 （ ）
A
．78
B
．72
C
．120
D
．96
7．由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍的共有多少个
（ ）
A
．9
B
．21
C
． 24
D
．42
8．从
?9, ?5,0,1,2,3,7
七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程
ax?by?c?0
的系数，则倾斜角
为钝角的直线共有多少条？（ ）

A
． 14
B
．30
C
． 70
D
．60
9.把3张电影票分给10人中的3人，分法种数为（ ）
A.2160 B.240 C.720 D.120

10.五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数（ ）
A. A
4
4
B.
1
4
A
4

2
C.A
5
5
D.
1
5
A
5

2
11．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进
行实验，有 种不同的种植方法。
12．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有
种。
13．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成 个无重复数字的正整数.
（2）由数字1，2，3，4，5可以组成 个无重复数字，并且比13000大的正整数？
14．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺 序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐
节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞 蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在
第4、8的位置，共有 种不同的排法？
15．某产品的加工需要经过5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有 种排列加工顺
序的方法.（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有 种排列加顺序的方法.
16．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语 、微机、体育、地理六节课，
要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有 种不同的排法？
123nn?1
17.求证：
A
1
?2A
2
?3A
3
?
??n
A
n
?A
n?1?1