重点高中数学排列组合

重点高中数学排列组合

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2

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排
列组合问题，首先要认真审题，弄 清楚是排列问题、组合问题还是排列与组
合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法 来处理。

教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用
题。提高学生解决问题 分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有
n
类办法，在第1类办法中 有
m
1
种不同的方法，在第2
类办法中有
m
2
种不 同的方法，…，在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法，
那么 完成这件事共有：
N?m
1
?m
2
?L?m
n

种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第1步有
m
1
种不同的方法，做第2
步有
m2
种不同的方法，…，做第
n
步有
m
n
种不同的方法， 那么完成这件
事共有：
N?m
1
?m
2
?L?m
n

种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完
成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样 做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时
进行,确定分多少步及多少类。 < br>3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是
多少及取出多少 个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解
题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这

3
1
C
4
3
A
4
1
C
3

两个位置.
1
先排末位共有
C
3

1
然后排首位共有
C
4

最后排其它位置共有
A
4
3

113
C
3
A
4
?288
由分步计数原理得
C
4


位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最

常用也是最基本的方法,若以元素分 析为主,需先
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不
种在 两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一
个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
A
5
5
A
2
2
A2
2
?480
种不同的排法
甲乙
丙丁


要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用


练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不
同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目 不能连续出场,
则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有
A
5
5
种，第二步将4舞蹈插
4
入第一步排好的6个元素 中间包含首尾两个空位共有种
A
6
不同的方法,
4
A
由分步 计数原理,节目的不同顺序共有
A
5
56
种


元素相离问题可先把没有位置要求的元素
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已 排成节目单，开演前又增加了两
个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，
那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元 素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其
他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之 间的

4

3
全排列数,则共有不同排 法种数是：
A
7
7
A
3

4
(空 位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
7
种方法，其
4余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有
A
7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共
有

方法


定序问题可以用倍缩
练习题:10人身高各不相等,排成 前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐
增加，共有多少排法？
5

C
10

五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名
实习生分配到车 间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
7
6
种不同的
排法


允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，

元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位
练习题：
1． 某班新年联欢会原 定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个
新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同 插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯
的方法
7
8

六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所 以固定
一人
A
4
！种排法即
7
！
4
并 从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）
C
D
E
F
G
H
B
A
AB
C
DEFGHA


一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种


排法.如果从n 个不同元素中取出m个元素作圆形
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120

5

七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排 前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个
1
特殊元素有
A
2
4
种,再排后4个位置上的特殊元素丙有
A
4
种,其余的
215
AAA
5人在5个位置上任意排列有
A
5
种,则共有
445
种
5
前 排
后 排



一 般地,元素分成多排的排列问
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座 规
定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同
排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少
不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
2
种方法.再把 4个元
素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有
A
4
4
种方法 ，根据分
步计数原理装球的方法共有
C
5
2
A
4
4


解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的

练习题：一个班 有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不
同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有 且只有1人参加,则不同
的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在
两个奇数之间,这 样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
A
22
种排法，再排小
2222
集团内部共有
A
2
2
A
2
种排法，由分步计数原理共有
A
2
A
2
A< br>2
种排法.

练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一
行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，
54
那么共有陈列方式的种数为
A
2
2
A
5
A
4
小集团排列问题中，先整体后局
1

6

55
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
A
2
2
A
5
A
5
种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解 ：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个
空隙。在９个空档中选６个位置插 个隔板，可把名额分成７份，对
应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
C
9
6
种分法。

一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班


（n，m为正整数）,

将n个相同的元素分成m份

插入n

每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，
练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C
9
4

3
2 .
x?y?z?w?100
求这个方程组的自然数解的组数
C
103

十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于
10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十个 数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取
12
C
5
,和为 偶数的取法共有法有
C
5
3
,只含有1个偶数的取法有
C
5
123
C
5
C
5
?C
5
。再淘汰和小于1 0的偶数共9种，符合条件的取法共有
123
C
5
C
5
?C
5
?9

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复


练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至
少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得
C
6< br>2
C
4
2
C
2
2
种方法,但这里出现重复计 数的现象,不妨记6
本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记
7

为(AB,CD,EF),则
222
C
6
C
4
C
2
中还有
(AB,EF,CD ),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
A
3
3
种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有
2 23
C
6
2
C
4
C
2
A
3
种分法。

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情


,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)况
练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
54
C
84
C
4
A
2
（
C
132
）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一
组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级
的两个班级且每班安
2
A
2
排2名， 则不同的安排方案种数为______（
C
4
2
C
2
2A
62
?90
）
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一 次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演
出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有 多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上
唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
3
2
C
3
2
种,只会唱的5人
112
C
3
C
4
种 ,只会唱的5人中只有2人选上中只有1人选上唱歌人员
C
5
唱歌人员有
C< br>5
2
C
5
2
种，由分类计数原理共有
112
C
3
C
4
?C
5
2
C
5
2种。
C
3
2
C
3
2
?C
5


解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性

练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须
既有男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只
能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共
有多少乘船方法. （27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

8

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3, 4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3
盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉 两端的2盏,求满足条
件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的 5个空隙中插入3个不亮的灯
有
C
5
3
种


一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟

练习题：某排共有10个座位，若4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么
不同的坐法有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3, 4,5的五个盒子,现将5
个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有
C
5< br>2
种还剩下3球3盒序号不能
对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3, 4,5号盒3号球
装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒
时,4,5 号球有也只有1种装法,由分步计数原理有
2C
5
2
种


3号盒 4号盒 5号盒

不易用公式进

对于条件比较复杂的排列组合问题，

练习题： < br>1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年
卡，则四张贺年卡 不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色
方法有 72种
1
3
2
5

534
4

9

十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×
11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个
组成乘积，
135?C
5
2
?C
5
?C
5
4
?C
5
所有的偶因数为：
C
5

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 体共有体共
C
8
4
?12?58
,
每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成
3?58?174
对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的


解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一
列,不同的选法有多少种？ < br>解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3
人不在同一行也不在同一列, 有多少选法.这样每行必有1人从
其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继
111
C
2
C
1
种。续下去.从3×3方队中选3人的方法有
C
3
再从5×5方
阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列< br>有
C
5
3
C
5
3
选法所以从5×5方阵选不 在同一行也不在同一列的3
111
C
2
C
1
选法。 人有
C
5
3
C
5
3
C
3


处理复杂的排列组合问题时可
以把一个问题退化成一个简要



练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走
到B的 最短路径有多少种？(
C
7
3
?35
)
B
A
十八.数字排序问题查字典策略


10

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比3 24105
大的数？
解:
N?2A
5
5
?2A
4
4
?A
3
3
?A
2
2
?A
11
?297



数字排序问题可用查

字典 法,查字典的法应
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从
小到大排列起来,第71个数是 3140
十九.树图策略
例19．
3
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求后,球
仍回到 甲的手中,则不同的传球方式有______
N?10


对于条件比较复杂的排


练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与 椅，其中
i
号人不坐
i
号椅（
i?1,2,3,4,5
）< br>的不同坐法有多少种？
N?44

二十.复杂分类问题表格策略
例2 0．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从
中取5只,要求各字母均 有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1

兰 3 2 1 2 1 1
11121311

C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
2
C
3
C
5
2
C
3
2

C
5
3
C
2

取法



一些复杂的分类选取题,要满足的条件


二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另 一
类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再
利用乘法原理直接 求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能
的种数有 .
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生
看作7家“店” ，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由
乘法原理得7
5
种.

11