人教版的高中的数学《排列组合的》教案设计

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排列与组合
一、教学目标
1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问
题
3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和
解决问题的能力
二、教材分析
1.重点：加法原理，乘法原理。 解决方法：利用简单的举例得
到一般的结论．
2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方
法比较它们的异同．
三、活动设计
1.活动：思考，讨论，对比，练习．
2.教具：多媒体课件．
四、教学过程正
1．新课导入
随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多 样化，高标
准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完
成，或几个过程 才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问
题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原 理是排列组合的
关键．
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2．新课
我们先看下面两个问题．
(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽 车，还可以乘轮船．一
天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些
交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
板书：图

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3
种走法，每一种走法都可以从甲 地到达乙地，因此，一天中乘坐这些
交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．
一般地，有如下原理：
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m
1
种不同的方法，在第二类办法中有m
2
种不同的方法，……，
在第n类办法中有m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m
1
十
m
2
十…十m
n
种不同的方法．
(2) 我们再看下面的问题：
由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A
村经B 村去C村，共有多少种不同的走法？
板书：图

这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一
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种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从
A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法．
一般地，有如下原理：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n个步骤，做第一步有
m
1
种不同的方法，做第二步有m
2
种不同的 方法，……，做第n步有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m
1< br> m
2
…m
n
种不同的方法．
例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语
文书．
1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上
层取数学书，可以从6本书中 任取一本，有6种方法；第二类办法是
从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加 法
原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．
答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．
（2）从书架上任取数学书与语文书各一本 ，可以分成两个步骤
完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有
5种方 法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N＝6X5＝30．
答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．
练习： 一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2）从中任取明清古
币各一枚，有多少种不同取法？
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例2：(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复
三位数？
(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位
数？
(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三
位数？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定
百位上的数字，从5个数字中任选一个数字， 共有5种选法；第二步
确定十位上的数字，由于数字允许重复，
这仍有5种选法，第三步确定 个位上的数字，同理，它也有5种
选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5 =125．
答：可以组成125个三位数．
练习：
1、从甲 地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可
走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着 2O张分别标有数
1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加
数； 在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄
卡片，从中任抽一张，把上面的数作 为加数．这名儿童一共可以列出
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多少个加法式子？
3．题2的变形
4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时
用加法，分步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
练习
1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种
方法完成，另有4人会用第二 种方法完成．选出一个人来完成这件工
作，共有多少种选法？
2．在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3
本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？
3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b 2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后
共有多少项？
4．从甲地到乙地 有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；
从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通． 从甲地到
丙地共有多少种不同的走法？
5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所
有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
作业：
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排列
【复习基本原理】
1.加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法
中有m
1
种不同的方法，第二办法中有 m
2
种不同的方法……，第n办
法中有m
n
种不同的方法，那么完成 这件事共有
N=m
1
+m
2
+m
3
+…m
n

种不同的方法.
2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m
1
种不同的方法，做第二步有m
2
种不同的方法，……，做第n步< br>有m
n
种不同的方法，.那么完成这件事共有
N=m
1
?m
2
?m
3
?…?m
n

种不同的方法.
3.两个原理的区别：
【练习1】
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少
种不同的机票？
2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一
列出.
【基本概念】
1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(
m?n
)个 元素（这
里的被取元素各不相同）按照
一定的顺序
排成一列，叫做从n个不同
．．．．．
元素中取出m个元素的
一个排列

．．．．
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2.
3.
4.
什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
什么叫一个排列？
【例题与练习】
1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？
2.已知a、b、c、d 四个元素，①写出每次取出3个元素的所有
排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1. 定义：从n个不同元素中，任取m(
m?n
)个元素的所 有排
m
列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号
p
n
表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
2.
m
排列数公式：
p
n
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
123
p
n
?
；
p
n
?
；
p
n
?
；
4
p
n
?
；
4
计算：
p
5
2
= ；
p
5
= ；
2
= ；
p
15
【课后检测】
1. 写出：
① 从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的
所有排列；
② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.
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2.
①
p
计算：
3
100
8
p
12
②
p
③
p?2p
④
7

p
12
3
6
4
8
2
8
排 列
课题：排列的简单应用(1)
目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公
式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．
过程：
一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）
1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；
2．排列数的定义，排列数的计算公式 m
m
?
A
n
?n(n?1)(n?2)
?
(n ?m?1)
或
A
n
n!
（其中
(n?m)!
m≤n
m,n?Z）
3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=1
4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．
二、新授：
例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列——
A
7
7
＝5040
⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040
⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不
同的排法？
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解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——
A
6
6
=720
⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有
A
2
2
种；第二
步 余下的5名同学进行全排列有
A
5
5
种 则共有
A
2
2
A
5
5
=240种排列方
法
⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有
多少种？
解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同
学中选2位同学站在排头和排尾有
A
5
2
种方法；第二步 从余下的5位
同学中选5位进行排列（全排列）有
A
5
5
种方法 所以一共有
A
5
2
A
5
5
＝
2400种排 列方法．
解法二：（排除法）若甲站在排头有
A
6
6
种方法；若 乙站在排尾
有
A
6
6
种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有
A
5
5
种方法．所以甲不
能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有
A
7
7
－
2A
6
6
＋
A
5
5
=2400种．
小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”
或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．
例2 ： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的
5个元素（同学）一起进行全排列有
A
6
6
种方法；再将甲、 乙两个同学
“松绑”进行排列有
A
2
2
种方法．所以这样的排法一共 有
A
6
6
A
2
2
＝1440
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
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解：方法同上，一共有
A
5
5
A
3
3
＝720种．
⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有
多少种？
解法一 ：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时
一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所 以可以从其余的5
个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有
A
5
2
种方法；将剩下的4
个元素进行全排列有
A
4
4
种方法；最后将甲、 乙两个同学“松绑”进行
排列有
A
2
2
种方法．所以这样的排法一共 有
A
5
2
A
4
4
A
2
2
＝960种方法．
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一
共有6个元 素，若丙站在排头或排尾有2
A
5
5
种方法，所以丙不能站在
排头和 排尾的排法有
(A
6
6
?2A
5
5
)?A
2
2
?960
种方法．
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元 素，此时一
共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个
1
位置 选择共有
A
4
种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有
A
55
种
12
5
方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有
A
4
A
2
A
5
＝960种方法．
小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例3： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法）
A
77
?A
6
6
?A
2
2
?3600
< br>解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有
A
5
5
种方法，此时他< br>们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六
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个位置（空）有
A
6
2
种方 法，所以一共有
A
5
5
A
6
2
?3600
种方法．
⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学 排好有
A
4
4
种方法，此时他们留下五个“空”，
再将甲、乙和丙三 个同学分别插入这五个“空”有
A
5
3
种方法，所以一
共有
A
4
4
A
5
3
＝1440种．
小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
三、小结：
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法：
⑴ 有特殊元素或特 殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或
特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；
⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，
与其他元素排列后，再考虑相 邻元素的内部排列，这种方法称为“捆
绑法”；
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相
邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，
从而寻求有效的解题途径，这是 学好排列问题的根基．
四、作业：《课课练》之“排列 课时1—3”
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课题：排列的简单应用(2)
目的：使学生切实学会 用排列数公式计算和解决简单的实际问
题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题 多
解．
过程：
一、复习：
1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；
2．常见的排队的三种题型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．
3．分类、分布思想的应用．
二、新授：
示例一： 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，
如果某女 演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有
多少种不同的排法？
15
解法一：（从特殊位置考虑）
A
9

A
9
?136080
解法二：（从特殊元素考虑）若选：
5?A
9
5
若不选：
A
9
6

则共有
5?A
9
5
＋
A
9
6
＝136080 < br>65
解法三：（间接法）
A
10
?A
9
?
1 36080
示例二：
⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，
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丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？
1
略解：甲、乙排在前排
A
4
2
；丙排在后排
A
4
；其余进行全排列
A
5
5
．
1
5
所以一共有A
4
2
A
4
＝5760种方法．
A
5
⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须
排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？
略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b捆在一起与e
进行排列有
A
2
2
；
此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有
A
3
2
；最后将a, b
“松绑”有
A
2
2
．所以一共有
A
2
2< br>A
3
2
A
2
2
＝24种方法．
⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求
师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？ < br>略解：（分类）若第一个为老师则有
A
3
3
A
3
3< br>；若第一个为学生则有
33

A
3
A
3
所以一共有2
A
3
3
A
3
3
＝72种方法．
示例三：
⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整
数？
12345
略解：
A
5
?A
5
?A
5?A
5
?A
5
?325

⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且
比13 000大的正整数？
解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有
14
13
A
4
种方法．所以一共有
A
3
A
3
种方法；另一类是首位不为1 ，有
A
4
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14
13
A
4
?114
个数比13 000大．
A
3
A
3
?A
4
解法二：（排除法）比13 000小的正整数有
A
3
3
个，所以比13 000
大的正整数有< br>A
5
5
?A
3
3
＝114个．
示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小
到大排列．
⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？
解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有A
5
3
?60
个，所以第114
个数的千位数应该是“3”，十 位数字是“1”即“31”开头的四位数
有
A
4
2
?12
个 ；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，
所以第114个数的前两位数必然 是“39”,而“3 968”排在第6个位
置上，所以“3 968” 是第114个数．
⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3
796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796
是第95个数．
示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
⑴ 能被25整除的数有多少个？
⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？
解： ⑴ 能 被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，
11
末尾为50的四位数有
A< br>4
2
个，末尾为25的有
A
3
所以一共有
A
4
2
＋
A
3
个，
11
A
3
A3
＝21个．
注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00
四种情况．
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13
⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的 四位数，一共有
A
5
A
5
?300
个．因为在这300个数 中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可
．．
13
AA
5
?15 0
个． 能的”，所以十位数字比个位数字大的有
5
．．
2
1
三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问
题的全面性，此外能够借助一题多解检 验答案的正确性．
四、作业：“3＋X”之 排列 练习
组 合 ⑴
课题：组合、组合数的概念
目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．
过程：
一、复习、引入：
1．复习排列的有关内容：
定

义
排

列


点 同排列 式
特 相公
以上由学生口答．
2．提出问题：
示例1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项
活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有
多少种不同的选法？
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示例2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，
有多少种不同的选法？
引导观察：示例1 中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定
的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序 无关的．
引出课题：组合问题．
．．

二、新授：
1．组合的 概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个
元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：
元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
⑴ 从A
、
B
、
C
、
D四个景点选出2个进行游览；（组合）
⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部
书记．（排列）
2． 组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的
所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数．用
符号
C
n
m
表示．
例如：示 例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，
甲丙，乙丙．即有
C
3
2
?3
种组合．
又如：从A
、
B
、
C
、
D四个景点选出2个进行游览的组合：
AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合 ，即：
C
4
2
?6

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在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还 是
组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算
C
n
m
呢？
3．组合数公式的推导
⑴提问：从4个不同元素a，b，c
，
d中取出3个 元素的组合数
C
4
3
是多少呢？
启发： 由于排列是先组合再排列 ，而从4个不同元素中取出3
．．．．．．．．．
个元素的排列数
A
4
3
可以求得，故我们可以考察一下
C
4
3
和
A
4
3
的关系，
如下：
组 合 排列
abc?
?
?
?
abc,bac,cab,
dab,
dac,
dbc,
acb,
adb,
adc,
bdc,bca,
bda,
cda,
cdb,
cba
dba

dca
dcb

abd
acd
bcd
abd,bad,
acd,cad,
bcd,cbd,
由此可知：每一个组合都对应 着6个不同的排列，因此，求从
4个不同元素中取出3个元素的排列数
A
4
3
，可以分如下两步：① 考
虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有
C
4
3
个；② 对 每一个
组合的3个不同元素进行全排列，各有
A
3
3
种方法．由分步 计数原理得：
3
A
4
A
＝
C?
A
，所以：
C?
3
．
A
3
3
4
3
4
3
3
3
4
⑵ 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列< br>数
A
n
m
，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的
m
组合数
C
n
m
；② 求每一个组合中m个元素全排列数
A
m
，根据分布计
m
数原理得：< br>A
n
m
＝
C
n
m
?A
m

⑶ 组合数的公式：
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m
A
n
n(n?1)(n?2)
?
(n?m?1)
C?
m?
m!
A
m
m
n

或
C
m
n
?
n!

(n,m?N
?
,且m?n)

m!(n?m)!
⑷ 巩固练习：
7
1．计算：⑴
C
7
4
⑵
C
10

2．求证：
C
m
n
?
m?1
m?1
?C
n

n?m
12x?3
3．设
x?N
?
,
求
C
2
x
x
?
?3
?C
x?1
的值．
2x?3?x?1
解：由题意可得：
?
即：2≤x≤4
?
?
x?1?2x?3
∵
x?N
?
,
∴x=2或3或4
当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式
值为11．
∴所求值为4或7或11．
4．例题讲评
例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有
多少种不同的分
法？
略 解：
C
6
2
?C
4
2
?C
2
2< br>?90

例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践
活动小 组，问组成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1
112112
男2女，分别有
C
4
3
，
C
42
?C
6
，
C
4
，所以一共有
C
4< br>3
+
C
4
2
?C
6
+
C
4
＝
?C
6
?C
6
100种方法．
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33
解法二：（间接法）
C
10?C
6
?100

5．学生练习：（课本99练习）
三、小结：
定

义
排

列
组

合
此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确 定
是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．
四、作业：课堂作业：教学与测试75课
课外作业：课课练 课时7和8
组 合 ⑵
课题：组合的简单应用及组合数的两个性质
目的：深刻理解排列与组合的区别和联系 ，熟练掌握组合数的计
算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应
用问 题．
过程：
一、复习回顾：
1．复习排列和组合的有关内容：
强调：排列——次序性；组合——无序性．
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特
点

相
同组合

式
公

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2．练习一：
练习1：求证：
C
n
m
?
n
m?1
mm?1
C
n?1
． （本式也可变形为：
mC
n

?nC
n?1
）
m
45
37
练习2：计算：①
C
10
和
C
10
； ②
C
7
3
?C
6
2
与
C
6
3
；③
C
11

?C
11
答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792
（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）
3．练习二：
⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少
条？
⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多
少条？
22
答案：⑴
C
10
?45
（组合问题） ⑵
A
10
?90
（排列问题）
二、新授：
1．组合数的 性质1：
C
n
m
?C
n
n?m
．
理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n ? m
个元素．因
为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ?
m个元素的每一个组合一一 对应，所以从n个不同元素中取出m个
．．．．
元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：
mn?m
．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对< br>C
n
?C
n
应”的思想．
证明：∵
C
n
n?m
?
n!n!

?
(n?m)![n?(n?m)]!m!(n?m)!
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又
m
C
n
?
n!

m!(n?m)!
∴
C
n
m
?C
n
n?m

注：1? 我们规定
C
n
0
?1

2? 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．
3? 此性质作用：当
m?
n时，计算
C
n
m
可变为计算
C
n
n?m
，能够使运
2
算简化．
20012002?2001
1
例如：< br>C
2002
＝
C
2002
＝
C
2002=2002．
4?
C
n
x
?C
n
y
?x?y
或
x?y?n

2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白
球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：⑴
C
8
3
?56
⑵
C
7
2
?21
⑶
C
7
3
?35

引导学生发现：
C
8< br>3
?C
7
2
?C
7
3
．为什么呢？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可
以分为两类：一类含有1个黑球 ，一类不含有黑球．因此根据分类计
数原理，上述等式成立．
一般地，从
a< br>1
,a
2
,?,a
n?1
这n+1个不同元素中取出m个元素 的
组合数是
C
n
m
?1
，这些组合可以分为两类：一类含有 元素
a
1
，一类不含
有
a
1
．含有
a1
的组合是从
a
2
,a
3
,?,a
n?1这n个元素中取出m ?1个元素
与
a
1
组成的，共有
C
n
m?1
个；不含有
a
1
的组合是从
a
2
,a
3
,?,a
n?1
这n个元
素中取出m个元素组成的，共有< br>C
n
m
个．根据分类计数原理，可以得
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到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的 归纳
思想，“含与不含其元素”的分类思想．
3．组合数的 性质2：
C
n
m
?1
＝
C
n
m
+
C
n
m?1
．
证明：
mm?1
C
n
?C
n
?
n!n!

?
m!(n?m)!(m?1)![n?(m?1)]!
?
?
?
n !(n?m?1)?n!m

m!(n?m?1)!
(n?m?1?m)n!

m!(n?m?1)!
(n?1)!

m!(n?m?1)!





?C
n
m
?1

∴
C< br>n
m
?1
＝
C
n
m
+
C
n
m?1
．
注：1? 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等
于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．
2? 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二
项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
4．示例二：
3456
⑴ 计算：
C
7

?C
7
?C
8
?C
9
nnn?1n?2
⑵ 求证：
C
m
＝++
C2CC
?2mmm

x?12x?3
⑶ 解方程：
C
13

?C
13
?2x?3
⑷ 解方程：
C
x
x
?2
?C
x?2
?
1
3
A
x?3

10
01234
12345
⑸ 计算：
C
4
和
C
5
0
?C
5
< br>?C
4
?C
4
?C
4
?C
4
?C< br>5
?C
5
?C
5
?C
5
012n?1n 推广：
C
n
?C
n
?C
n
?
?
?C
n
?C
n
?2
n

5．组合数性质的简单应用：
证明下列等式成立：
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⑴ （讲解）
C
n
k
?1
?C
n
k
?2
?C
n
k
?3
?? ?C
k
k
?1
?C
k
k
?C
n
k ?1

?1
⑵ （练习）
C
k
k
?C
k< br>k
?1
?C
k
k
?2
???C
k
k
?n
?C
n
k
?k?1

123n01n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?(C
n
?C
n
???C
n
)
⑶
C
n
n
2
6．处理《教学与测试》76课例题
三、小结：1．组合数的两个性质；
2．从特殊到一般的归纳思想．
四、作业： 课堂作业：《教学与测试》76课
课外作业：课本习题10.3；课课练课时9
组 合 ⑶
课题：组合、组合数的综合应用⑴
目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决 一些
较为复杂的组合应用问题，提高合理选用知识的能力．
过程：
一、知识复习：
1．复习排列和组合的有关内容：
依然强调：排列——次序性；组合——无序性．
2．排列数、组合数的公式及有关性质
性质1：
C
n
m
?C
n
n?m
性质2：< br>C
n
m
?1
＝
C
n
m
+
C
n
m?1

?1
常用的等式：
C
k< br>0
?C
k
0
?1
?C
k
k
?Ck
k
?1
?1

3．练习：处理《教学与测试》76课例题
二、例题评讲：
例1．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4
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件检查．
⑴ 都不是次品的取法有多少种？
⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？
⑶ 不都是次品的取法有多少种？
4
解：⑴
C
90
；
?2555190
441322314
⑵
C
100
； < br>?C
90
?C
10
C
90
?C
10
C
90
?C
10
C
90
?C
10
?136 6035
441322314
⑶
C
100
．
?C
10
?C
90
C
10
?C
90
C
10< br>?C
90
C
10
?C
90
?3921015
例2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5
个球，使得这5个球的编号之和为 奇数，则一共有多少种不同的取
法？
14
32
解：分为三类：1奇4偶有
C
6
C
5
；3奇2偶有
C6
C
5
；5奇1
偶有
C
6
5

14
325
所以一共有
C
6
C
5
+C
6
C
5
+
C
6
?236
．
例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名
青年能胜任德语翻
译 工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选
5名青年承担一项任务，其中3名从事英语 翻译工作，2名从事德语
翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：我们可以分为三类：
① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有
C
4
2
C< br>3
2
；
1
② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C
4
3
C
3
；
32
③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有
C
4
C
3
．
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1
32
所以一共有C
4
2
C
3
2
+
C
4
3C
3
+
C
4
C
3
＝42种方法．
例 4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲
不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种 不同的值周表 ？
1211
解法一：（排除法）
C
6
2
C
4
2
?2C
5
C
4
?C
4
C
3
?42

12
解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值 周六，有
C
4
C
4
；
12
22
另一类为甲 不值周一，但值周六，有
C
4
2
C
3
2
．所以一共 有
C
4
C
4
+
C
4
C
3
＝
42种方法．
例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不
同的送书方法？
解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一
个元素有
C
6
2
种方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5个人有
5
种方法．根据分步计数原理 ，一共有
C
6
2
A
5
5
＝1800种方法．
A
5
变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？
变题2： 5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同
．
的送书方法？
变题3： 5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同
．
的送书方法？
5
5
答案：1．
5
6
?15625
； 2．
A
6
?6
．
?720
； 3．
C
6
三、小结：1．组合的定义，组合数的公式及其两个性质；
2．组合的应用：分清是否要排序．
四、作业：《3+X》 组合基础训练
《课课练》课时10 组合四
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组 合 ⑷
课题：组合、组合数的综合应用⑵
目的：对排列组合知识有一个系统的了解，掌握排 列组合一些常
见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组
合问题．
过程：
一、知识复习：
1．两个基本原理；
2．排列和组合的有关概念及相关性质．
二、例题评讲：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
⑴ 分给甲、乙、丙三人，每人两本；
⑵ 分为三份，每份两本；
⑶ 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
⑷ 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
⑸ 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
解：⑴ 根据分步计数原理得到：
C
6
2
C
4
2< br>C
2
2
?90
种．
⑵ 分给甲、乙、丙三人，每人两本有< br>C
6
2
C
4
2
C
2
2
种方 法，这个过程
可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二
步再将这三份 分给甲、乙、丙三名同学有
A
3
3
种方法．根据分步计数原
222< br>C
6
C
4
C
2
理可得：
CCC?xC
，所以
x??15
．因此分为三份，每份两
3
A
3
26
2
4
2
2
3
3
本一共有15种方法．
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注：本题是分组中的“均匀分组”问题．
．．．．
123
⑶ 这是“不均匀分组”问题，一共有
C
6
C
5
C
3
?60
种方法．
1233
⑷ 在⑶的基 础上在进行全排列，所以一共有
C
6
C
5
C
3
A< br>3
?360
种方
法．
⑸ 可以分为三类情况：①“2、2、2型”即 ⑴中的分配情况，
有
C
6
2
C
4
2
C2
2
?90
种方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情况，有
1233
，有
C
6
4
A
3
3
?90
种方法 ．所以
C
6
C
5
C
3
A
3
?36 0
种方法；③“1、1、4型”
一共有90+360+90＝540种方法．
例2． 身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自
左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种 ？
解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有
A
4
4
种方 法，
再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有
3
种方法．根 据分步计数原理，一共有
A
4
4
C
5
3
＝240种 方法．
C
5
例3．⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种
不同的放法？
⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法
有多少种？
解：⑴ 根据分步计数原理：一共有
4
4
?256
种方法．
⑵（捆绑法）第 一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一
起看成一个元素有
C
4
2种方法，第二步从四个不同的盒取其中的三个
将球放入有
A
4
3
种方法．所以一共有
C
4
2
A
4
3
＝144种方法 ．
例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用
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电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相 邻的
两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯
方法？
解 ：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中
插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为C
6
3
?20
种方法．
例5．九张卡片分别写着数字0，1， 2，…，8，从中取出三张排
成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个
三位数？
111
解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有
2(A8
2
?C
2
C
7
C
7
)
种< br>12
方法；②若不取6，则有
C
7
A
7
种方法．根据 分类计数原理，一共有
11112
2(A
8
2
?C
2
C
7
C
7
)
+
C
7
A
7
＝602种方法．
三、小结：

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