高中数学排列组合知识点

排
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
列组合
完成 一件事，有
n
类办法，在第1类办法中有
m
1
种不同的方法，在第2 类办法中有
m
2
种不同的方法，…，在第
n
类
办法中有m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有：
2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第1步有
m
1
种不同的方法 ，做第2步有
m
2
种不同的方法，…，做第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有：
N?m
1
?m
2
??m
n
种不同的方法．
N?m
1
?m
2
??m
n
种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
C
3

然后排首位共有
C
4

最后排其它位置共有
3

A
4
113
1
1
由分步计数原理得
C
4
C
3
A
4
?288

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多 少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时
对相邻元素内部进行自排。由分 步计数原理可得共有
522
A
5
A
2
A
2
?480
种不同的排法
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈 ,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步 排2个相声和3个独唱共有
空位共有种
第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾 两个
A
5
5
种，
4
54
不同的方法,由分步计数原 理,节目的不同顺序共有
A
5
A
6
种
A
6
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排 列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这
几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是：
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
有
4
种方法。
A
7
3
A
7
7
A
3

4
种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共
A
7
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7 种分依此类推,由分
步计数原理共有
7
种不同的排法
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形 没有首尾之分，所以固定一人
人共有（8-1）！种排法即
7
！
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排 前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
元素丙有
6
A
4
4
并从此位置把圆形展成直线其余7
A
2
4
种, 再排后4个位置上的特殊
5
215
A
1
4
种,其余的5人在 5个位置上任意排列有
A
5
种,则共有
A
4
A
4< br>A
5
种
八.排列组合混合问题先选后排策略

例8. 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5 个球中选出2个组成复合元共有
C
5
种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入 4个不同的盒内
有
24
种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
A
4
C
4
5
A
4

2
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字 的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４ 当作一个小集团与３排队共有
理共有
22
A
2
2
A
2
A
2
种排法 .
22
A
2
2
种排法，再排小集团内部共有
A
2
A
2
种排法，由分步计数 原
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解 ：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
C
9种分法。
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的 三
个数含有3个偶数的取法有
C
5
,只含有1个偶数的取法有
C5
C
5
,和为偶数的取法共有
C
5
C
5
于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
C
5
C
5
123
?C
5
?9

6
3
12
123
?C5
。再淘汰和小
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得
C
6< br>C
4
C
2
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABC DEF，若第一步取AB,第二步取
CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则
22
C
6
2
C
4
C
2
222
中还 有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(E F,AB,CD)共有
分法,故共有
C
6
C
4
C
2
2223
A
3
种分法。
A
3
3
种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演 唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研 究只会唱的5人中没有
人选上唱歌人员共有
C
3
C
3
种,只 会唱的5人中只有1人选上唱歌人员
C
5
C
3
C
4
种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有
C
5
C
5
种， 由分类计数原理共有
C
3
C
3
22
22112
? C
5
C
3
C
4
?C
5
2
C
5
2
种。
22
112
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏 或3盏,也不能关
掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排 队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
C
5
种
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3, 4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个
球，并且恰好有两个球的编号与 盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有
C
5
种 还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号
球, 3,4,5号盒3号球装 4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1
种装法,由分 步计数原理有
2C
5
种
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题 意可知偶因数必先取2,再从其
余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：
C
5
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构 成四体共有体共
C
8
顶点可连成
3?58?174
对异面直线
4
3
2
2
12345

?C
5
? C
5
?C
5
?C
5
?12?58
,每个四面体有3 对异面直线,正方体中的8个

十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解 ：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样 每行必
有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选 3人的方法有
C
3
C
2
C
1
种。
再从5× 5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有
C
5
C
5
选法所以从5×5方阵选不在同一行
也不在同一列的3人有
C
5
C
5
C
3
C
2
C
1
选法。
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 解:
N
54321
?2A
5
?2A
4
?A3
?A
2
?A
1
?297

33111
111
33
十九.树图策略
例19．
3
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求后,球仍回到甲的手中,则不 同的传球方式有
______
N?10

二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字 母均有且三色齐备,则共
有多少种不同的取法
解:
红

1 1 1 2 2 3
二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一 类元素可以重复，把不能重复的元素看作“客”，
黄 1 2 3 1
另一类不能重复，
2 1
能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
兰 3 2 1 2 1
.
1
例21.七名学 生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有
分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，
取法

每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.
5