高中数学排列组合题型总结与易错点提示

高中数学排列组合题型总结与易错点提示
排列组合
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有
n
类办法，在第1类办法中 有
m
种不同的
方法，在第2类办法中有
m
种不同的方法，…，在第< br>n
类
办法中有
m
种不同的方法，那么完成这件事共有：
N?m ?m??m
种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第1步有
m
种不同的
方法，做第2步有
m种不同的方法，…，做第
n
步有
m
种不
同的方法，那么完成这件 事共有：
N?m?m??m
种不同的方
法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立
地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的
一个阶段，不能完成整个事件．
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇
数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合
要求的元素占了这两个位置.
1
2
n
12n
1
2n
12n
先排末位共有
然后排首位共有
C

最后排其它位置共有
A

由分步计数原理得
CCA?288

C
C
4
1
3
1
A
4
3
C
3
1
1
4
3
4
1
4
1
3
3
4
1 49

高中数学排列组合题型总结与易错点提示
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花
不种在中间，也不种在两端的花盆里 ，问有多少不
同的种法？

二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少
种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并 看成一个复合元素，
同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排
列，同时对相邻元素内 部进行自排。由分步计数原理
可得共有
AAA?480
种不同的排法
丙丁
甲乙


要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来 解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素

一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.



练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连
在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈
节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和 3个独唱共有
A
种，第
二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾
两个空位共有种
A
不同的方法,由分步计数原理,节目
的不同顺序共有
AA< br> 种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

5
5
2
2
2
2
5
5
4
6
5
5
4
6
2 49

高中数学排列组合题型总结与易错点提示
练习题：某班新年联欢会原定的5个 节目已排成节目单，
开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入
原节目单中，且两个 新节目不相邻，那么不同插法的种
数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略
例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同
的排法
解:(倍缩法 )对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把
这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用
总 排列数除以这几个元素之间的全排列数,则
共有不同排法种数是：
AA

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐
共有
A
种方法，其余的三个位置 甲乙丙共有 1
7
7
3
3
4
7
种坐法，则共有A
种方法。
4
7
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4
四人依次插入共有

方法

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理



练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求
从左至右身高逐渐增加 ，共有多少排法？
C


五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同
的分法
5
10
3 49

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解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7
种分法.把第二名实习生分配到车 间也有7种分依此类
推,由分步计数原理共有
7
种不同的排法
n不

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置， 一般地
同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
种


练习题：
1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演
前又增加了两个 新节目.如果将这两个节目插入原节目
单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一
层下电梯,下电梯的方法
7


六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解： 围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首
尾之分，所以固定一人
A
并从此位 置把圆形展成直线
其余7人共有（8-1）！种排法即
7
！
6
n
8
4
4
C
D
E
F
G
H
B
A
AB
C
DEFGHA

m
n

一般地个不同元素作圆形排列,共有(1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
1
A

n



练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120

七.多排问题直排策略
4 49

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例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后
排,共有多少排法
解 :8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子
排成一排.个特殊元素有
A
种 ,再排后4个位置上的特
2
4
殊元素丙有
A
种,其余的5人在5个位 置上任意排列
1
4
有
A
种,则共有
AAA
种
5
5
2
4
1
4
5
5
前 排
后 排


一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.



练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，
现安排2人就座规定前排中间的3个 座位不能坐，
并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
346

八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装
一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
种方法.
2
5再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒
内有
A
种方法，根据分步计 数原理装球的方法共有
CA

4
4
2
5
4
4
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?


练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选
4人完成四种不同的任务 ,每人完成一种任务,且正
5 49

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副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192
种

九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其 中恰有两
个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少
个？
解：把１,５, ２,４当作一个小集团与３排队共有
A
种排
2
2
法，再排小集团内部 共有
AA
种排法，由分步计数原
2
2
2
2
理共有< br>A
2
2
2
A
2
2
A
2
种排 法 .
1524
3

练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,
５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必
须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式< br>的种数为
AAA

2
2
5
5
4
4
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的
排法有
AAA
种
2
2
5
5
5
5

十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,
有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻
名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置
插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班
级，每一种插板方法对应一种分法共有
C
种分法。
6
9

6 49

高中数学排列组合题型总结与易错点提示
一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用1块隔板，插入 n个元素排成一排的1个空隙

中，所有分法数为
C




练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C

2 .
x?y?z?w?100
求这个方程组的自然数解的组数
C


十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，
使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用
总体淘汰法。这十个 数字中有5个偶数5个奇数,所取
的三个数含有3个偶数的取法有
C
,只含有1个偶数 的取
m?1
n?1
4
9
3
103
3
5法有
CC
,和为偶数的取法共有
CC
1
5
2
5
1
5
2
5
3
?C
5
。再淘汰和小于10< br>1
5
2
5
3
?C
5
?9
的偶数共9 种，符合条件的取法共有
CC


有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、
团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略
7 49