高中数学搞定排列组合方法-各种问题大全

高考数学定排列组合方法 问题大全
排队问题大全
三男四女排队30问小结
[ 典例 ]：有3名男生和4名女生，若分别满足下列条件， 则各有多少种不同的排法：
7
1．全体排一排：
A
7
?5040

555< br>2、选5人排一排：
C
7
A
5
?A
7
?2520
３．甲站在正中间：6!=720 ____________
４．甲只能站在正中间或两头：
５．甲既不在排头也不在排尾：
６．甲、乙必须在两头： ______________
７．甲、乙不站排头和排尾： ____________
８．甲不在排头、乙不在排尾：
９．甲在乙的右边： ________________
１０．甲、乙必须相邻： _____________
１１．甲、乙不能相邻：
１２．甲、乙、丙三人都相邻：
１３．甲、乙、丙三人都不相邻：
１４．７人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，有两人相邻，但这三人不同时相邻：
１５．男女生各站在一起：
１６．男生必排在一起： __( 或女生必排在一起：______________ )
１７．男女各不相邻(即男女相间、4女互不相邻)：
１８．男生不排在一起：
１９．任何两男生彼此不相邻：
２０．甲、乙两人之间须相隔１人：
２１．甲、乙两人中间恰有3人：
２２．甲、乙、丙3人自左至右顺序不变(即男生顺序一定,只排女生)：
２３．从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁的顺序不变(即只排男生)：
２４．甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻：
２５．甲、乙相邻且丙不站排头和排尾：
２６．排成前后两排，前3人后4人：
２７．前3后4人且甲、乙在前排，丙排后排：
２８．三名男生身高互不相同，且从左到右按从高到矮顺序排：
２９．若两端都不能排女生：

一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这
两个位置.
1
先排末位共有
C
3

1
然后排首位共有
C
4

131
3
C
AC
最后排其它位置共有
A
4

443

113
C
3
A
4
?288
由分步计数原理得
C
4

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需

先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位

置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练 习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不
种在两端的花盆里，问有多少 不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一< br>个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有< br>A
5
5
A
2
2
A
2
2
?4 80
种不同的排法
甲乙
丙丁



要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并

为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不
同种数为 20

三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,
则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和 3个独唱共有
A
5
5
种，第二步将4舞蹈插
4
入第一步排好 的6个元素中间包含首尾两个空位共有种
A
6
不同的方法,
4
由分步 计数原理,节目的不同顺序共有
A
5
5
A
6
种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
< br>练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两
个新节目.如果将这两 个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，
那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元 素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其
他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之 间的
3
全排列数,则共有不同排法种数是：
A
7
7
A
3

4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
7
种方法，其

4
余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有
A
7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共
有

方法

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插


练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐
5
增加，共有多 少排法？
C
10

五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名
实习生分配到车 间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
7
6
种不同的
排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素

的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
n
种


练习题：
1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前 又增加了两个
新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯
的方法
7
8

六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定
一人
A4
！种排法即
7
！
4
并从此位置把圆形展成直线其余7人共 有（8-1）
C
D
E
F
G
H
B
A
AB
C
DEFGHA


一般地,n个不同元素作圆形排列,共有( n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆

1
m
形排列共有
A
n


n

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排 前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊

1
元素有A
2
4
种,再排后4个位置上的特殊元素丙有
A
4
种, 其余的5人在5
215
个位置上任意排列有
A
5
5
种,则共 有
A
4
A
4
A
5
种
前 排
后 排



一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
八 留空排列问题
例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有
种坐法。 < br>练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规
定前排中间的3个座 位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同
排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少
不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
2
种方法.再把 4个元素
(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有
A
4
根据分步计数4
种方法，
4
原理装球的方法共有
C
5
2
A< br>4


解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不
同的任务,每人完成 一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同
的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其 中恰有两个偶数夹1,５在
两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当 作一个小集团与３排队共有
A
2
再排小集团
2
种排法，
22 22
内部共有
A
2
2
A
2
种排法，由分步计数原理 共有
A
2
A
2
A
2
种排法.
1524

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一

行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，54
那么共有陈列方式的种数为
A
2
2
A
5
A
4

55
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法 有
A
2
2
A
5
A
5
种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解 ：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个
空隙。在９个空档中选６个位置插 个隔板，可把名额分成７份，对
应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
C
9
6
种分法。

一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班


将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，

m?1
插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
n?1


练习题：
1， 10个相同的球装编号1,2,3的3个盒中,每盒不少于编号有多少装法？
3
2 .
x?y?z?w?100
求这个方程组的自然数解的组数
C
103

十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于
10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这
十个 数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有
C
5
3
,< br>12123
C
5
,和为偶数的取法共有
C
5
C
5
?C
5
只含有1个偶数的取法有
C
5
。再淘汰和
123
C
5
?C
5
?9
小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
C
5

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出

它的反面,再从整体中淘汰.


练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至
少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解: 分三步取书得
C
6
2
C
4
2
C
2
2
种方法,但 这里出现重复计数的现象,不妨记6
本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取E F该分法记
22
C
6
2
C
4
C
2
为(AB,CD,EF),则中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,A B)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
A
3
3
3
种 取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有
C
6
2
C< br>4
2
C
2
2
A
3
种
分法。

n
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以< br>A
n
(
n
为均分的

组数)避免重复计数。


练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
542
C
8< br>4
C
4
A
2
（
C
13
）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一
组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级
的两个班级且每班安
2
A
2
排2名， 则不同的安排方案种数为______（
C
4
2
C
2
2A
62
?90
）
十三. 多面手问题
例13.在一次演唱会 上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演
出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派 方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱
歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
3
2
C
3
2
种,只会唱的5人中只
112
C
3
C
4
种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人有1人选上唱歌人员
C
5
员有
C< br>5
2
C
5
2
种，由分类计数原理共有
112
C
3
C
4
?C
5
2
C
5
2种。
C
3
2
C
3
2
?C
5
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
例. 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5
人既会划左舷, 又会划右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分
在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?
十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的3
盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条< br>件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮 的灯
有
C
5
3
种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒

模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么
不同的坐法有多少种？（120）
十五．分球入盒问题
例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？
① 小球不同，盒子不同，盒子不空
解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同 的盒子中，即先分堆，后分配。
3122
CCCC
3

5253有
(+)?A
3
A
2
A
2
22
②小球 不同，盒子不同，盒子可空 解：
3
5
种
③小球不同，盒子相同，盒子不空
解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3； 1，2，2。共有
C
5
C
2
+
C
5
C3
=25种
22
A
2
A
2
1
312 2
④小球不同，盒子相同，盒子可空
本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。 共有
C
5
?(C
4
?C
3
)?(
C
5
C
2
+
C
5
C
3
)?41
5 55
22
A
2
A
2
322
种
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空
解：（隔板法）。0 00 00 ，有
C
4
种方法
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空
解一：把5个 小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相
邻）。那么2块隔板 分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有
C
7
2
=21
解：分步插板法。
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空
解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2种
⑧小球相同，盒子相同，盒子可空
解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，
0；
3，1，1； 2，2，1。
例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内
（1）共有几种放法？（答：
4
4
）
2

2 3
（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：
C
4
A
4
?1 44
）
23
（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答：
同上C
4
A
4
?144
）
3222
（4）恰有2 个盒子不放球，有几种放法？（答：
C
4
A
4
?C
4
C
4
?84
）
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1, 2,3,4,5的五个盒子,现将5
个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球 的编
号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有
C5
2
种还剩下3球3盒序号不能对应，
利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球 , 3,4,5号盒3号球装4号盒
时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5 号球
有也只有1种装法,由分步计数原理有
2C
5
2
种


3号盒 4号盒 5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收

到意想不到的结果


十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×
11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个
组成乘积，
135?C
5
2
?C
5
?C
5
4
?C
5
所有的偶因数为：
C
5

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 体共有体共
C
8
4
?12?58
,
每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成
3?58?174
对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题

逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到
问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略


十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一
列,不同的选法有多少种？ < br>534

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不< br>在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一
行中选取1人后,把这人所在 的行列都划掉，如此继续下去.从3×3
111
C
2
C
1
种 。再从5×5方阵选出3×3方阵便方队中选3人的方法有
C
3
可解决问题.从5×5 方队中选取3行3列有
C
5
3
C
5
3
选法所以从5 ×5
111
C
2
C
1
选法。 方阵选不在同一行也不在同一 列的3人有
C
5
3
C
5
3
C
3



处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简
要的问题，通过 解决这个简要的问题的解决找到解题方法，
从而进下一步解决原来的问题



练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走
到B的 最短路径有多少种？(
C
7
3
?35
)
B
A
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六 个数字可以组成多少个没有重复的比324105
大的数？
解:
N?2A
5
5
?2A
4
4
?A
3
3
?A
2< br>2
?A
1
1
?297


数字排序问题可用查字典法,查字典的法
应从高位向低位查,依次求出其符合要求

的个数,根据分类计数原理求出其总数。


练习:用0,1,2,3, 4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从
小到大排列起来,第71个数是 3140
十九.树图策略
例19．
3
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球 ,经过
5
次传求后,球
仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
N?10


对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用

公式进行运算，树图会收到意想不到的结果


练习: 分别编有1，2， 3，4，5号码的人与椅，其中
i
号人不坐
i
号椅（
i?1,2,3 ,4,5
）
的不同坐法有多少种？
N?44

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只 ,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从
中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不 同的取法
解:
红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1

兰 3 2 1 2 1 1
11121311

C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
2
C
3
C
5
2
C
3
2

C
5
3
C
2

取法




一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗

漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效


二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另 一
类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再
利用乘法原理直接 求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能
的种数有 .

分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生
看作 7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由
乘法原理得7
5
种.
22、
区域涂色问题——
分步与分类综合法

解答区域涂色问 题，一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类
讨论；三是根据相间 区域使用颜色的种数分类．以上三种方法常会结合起来使用。
例27.用5种不同的颜色给图中标①、 ②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂
不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
31
法1：
A
5
?A
4
?240

43
法2：
A
5
?2A
5
?240

①
②


例28、一个地区分5个区域,现用4种颜色给地图着 色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,则不同的着
色方法有多少种?
法1.分步：涂①有4 种方法，涂②有3种方法，涂③有2种方法，涂④
有2种方法，涂⑤时需看②与④是否相同，因此分两类 。

4?3?2?2?4?3?2?1?72

法2.按用了几种颜色分两类：涂了4色和3色
43

2A
4
?A
4
?72
③
④

例29、
某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图 ），现要栽种4种不同颜色的花，
每部分栽种一种且相邻两个区域不能同色，不同的栽种方法有
种． (用数字作答）
1
解法1：①首先栽种第1部分，有
C
4
种栽种方法；
_ ____
②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部
右图所示），
对扇形2有3种栽种方法，扇形3有2种栽种方法，
扇形4也有2种栽种方法，扇形5也有2种栽种方法，
扇形6也有2种栽种方法．
于是，共有
3?2
种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现
4
4分（如
区域2与
6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从
3?2< br>中减去这些不符合题意的栽种方法。
这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色 的花对4个扇形区域栽种（这种转换思
维相当巧妙）。
1412
综合①和②，共有< br>C
4
?[3?2?(C
3
?2?2?A
3
?1?1) ]?4?(48?18)?4?30?120
种。
解法2：依题意只能选用4种颜色，要分5 类（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
；
（2）③与⑤同色、④与⑥ 同色，则有
A
4
；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
A
4
；
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有
A
4
；（5）②与④同色、③ 与⑥同色，则有
A
4
；
4
所以根据加法原理得涂色方法总数为5
A
4
=120（种）
44
44
4
23取鞋成双问题

例7 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各
有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双；(2) 4只鞋子恰好成双；
(3) 4只鞋子有2只成双，另2只不成双。
（方法，先取双后取单）
练习2. 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的
不同取法共有（ ）
(A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种
练习3 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不
同取法共有____种

24.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的 盒内,每盒至少装一个球,共有多少

不同的装法.
解:第一步从5个球中选出 2个组成复合元共有
C
5
2
种方法.再把4个元素
(包含一个复合元 素)装入4个不同的盒内有
A
4
根据分步计数
4
种方法，
4
原理装球的方法共有
C
5
2
A
4


解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不
同的任务,每人完成 一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同
的选法有 192 种