高二数学排列组合知识点归纳

2019高二数学排列组合知识点归纳
学习高中频道为各位同学整理了高二数学排 列组合知
识点归纳，供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字
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排列组合公式排列组合计算公式
排列P------和顺序有关
组合C -------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序，组合不分
例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列
把5本书分给3个人，有几种分法组合
1.排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成
一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n
个不同元素中取出m(mn)个元素的所有 排列的个数，叫做从
n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表
示.
p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).
2.组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中
取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫 做从n个不同元素
中取出m个元素的组合数.用符号
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c(n，m)表示.
c(n，m)=p(n，m)m!=n!((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);
3.其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，
r)r=n!r(n-r)!.
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这
n个元素的全排列数为
n!(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为
c(m+k-1，m).
排列(Pnm(n为下标，m为上标))
Pnm=n(n-1)....(n-m+1);P nm=n!(n-m)!(注：!是阶乘符
号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1 ;Pn1(n为下标
1为上标)=n
组合(Cnm(n为下标，m为上标))
Cn m=PnmPmm;Cnm=n!m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下
标)=1;Cn1 (n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式 C是指
组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R
参与选择的元素个数!-阶 乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r
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举例：
Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三
位数?
A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求
的，既属于排列P计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，
997之类的组合，我们可以这么 看，百位数有9种可能，十
位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，
最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3，9)=9*8*7，(从9
倒数3个的乘积) Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代
表三国联盟，可以组合成多少个三国联 盟?
A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号
码球在一起即可。即不 要求顺序的，属于组合C计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个
数即为最终组合数C(3，9)=9*8*73*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析 < br>例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一
个课外小组;(2)每名学生都只 参加一个课外小组，而且每个
小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?
解(1)由于 每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，
而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法.
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(2)由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法.
点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法
原理进行计算.
例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排
第四的不同排法共有多少种? 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，
共3类，每一类中不同排法可采用画树 图的方式逐一排出：
符合题意的不同排法共有9种.
点评按照分类的思路，本题应用了加法 原理.为把握不同排
法的规律，树图是一种具有直观形象的有效做法，也是解决
计数问题的一种 数学模型. 例3判断下列问题是排列问题还
是组合问题?并计算出结果.
(1)高三年级学 生会有11人：①每两人互通一封信，共通了
多少封信?②每两人互握了一次手，共握了多少次手? < br>(2)高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和
一名副组长，共有多少种不同的选 法?②从中选2名参加省
数学竞赛，有多少种不同的选法?
(3)有2，3，5，7，11， 13，17，19八个质数：①从中任取
两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积?
(4)有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，
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有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不
同的选法?
分析(1)①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信
是不同的两封信，所以与顺序有关是排列 ;②由于每两人互
握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序
无关，所以是组合 问题.其他类似分析.
(1)①是排列问题，共用了封信;②是组合问题，共需握手
(次).
(2)①是排列问题，共有(种)不同的选法;②是组合问题，共
有种不同的选法.
(3)①是排列问题，共有种不同的商;②是组合问题，共有种
不同的积.
(4)①是排列问题，共有种不同的选法;②是组合问题，共有
种不同的选法.
例4证明.
证明左式
右式.
等式成立.
点评这是一个排列数 等式的证明问题，选用阶乘之商的形
式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化.
例5化简.
解法一原式
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解法二原式
点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性
质;解法二选用了组合数的两个性质，都使 变形过程得以简
化.
例6解方程：(1);(2).
解(1)原方程
解得.
(2)原方程可变为
原方程可化为.
即，解得
第六章排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一
些简单的问题.
2.理 解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式
和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题 .
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和
论证一些简单问题.
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两
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原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.

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