高考数学排列组合问题经典题型

排列组合问题经典题型与通用方法



排列组合问题经典题型与通用方法

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻且
B
在
A
的右边，则不同的排法有（ ）
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
4
解析：把
A,B
视为一人 ，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于4人的全排列，
A
4
?24
种，
答案：
D
.
2.相离问题插空排:元素相离 （即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个
元素插入上述几个元素 的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
5252< br>解析：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
种，再用甲乙去插6个空位有
A
6
种，不同的排法种数是
A
5
A
6
?3600< br>种，
选
B
.
3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以不相邻）那么不同的排法有（ ）
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的 一半，即
1
5
A
5
?60
2
种，选
B.
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另 一个元素，如此继
续下去，依次即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2， 3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数
字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解析：先把1 填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三
种方法 ；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选
B
.
5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5. （1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不
同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务， 第三步从另外的7人中选
211
1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
10< br>C
8
C
7
?2520
种，
选
C
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）
A、
44
C
12
C
8
4
C
4
44
3C
12
C
8
4
C
4
种 B、种
44
C
12
C
8
4
C
4
43
3
C
12
C
8
4
A
3< br>A
3
C、种 D、种
答案：
A
.
6.全员分配问题分组法:
例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
2323
解析：把四名学生分成3组有
C
4
种方法，再把三组学生分 配到三所学校有
A
3
种，故共有
C
4
A
3
?36
种方法.
第 1 页 共 5 页

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：
B
.
7.名额分配问题隔板法:
例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10 个
6
小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案 为
C
9
?84
种.
8.限制条件的分配问题分类法:
例 8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到< br>银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不 参加，则有派遣方案
A
8
种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排 其余学生有
A
8
33
43
方法，所以共有
3A
8< br>；③若乙参加而甲不参加同理也有
3A
8
种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙， 有7种方法，
22
然后再安排其余8人到另外两个城市有
A
8
种，共 有
7A
8
方法.所以共有不同的派遣方法总数为
33
A
8< br>4
?3A
8
?3A
8
?7A
8
2
? 4088
种.
9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的 几类情况分别计数，最后总计.
例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数 ，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5 种情况，分别有
A
5
个，
A
4
A
3
A3
,A
3
A
3
A
3
,A
2
A
3
A
3
,A
3
A
3
个，
5
合并总计300个,选
B

.
（2）从1，2，3…，100这100个 数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺
序）共有多少种？
解 析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集< br>I,能被7整除的数的集合记做
A?
?
7,14,21,L98
?共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做
2
由此可知，从
A
中 任取2个元素的取法有
C
14
，从
A
中任取一个，又从
A< br>A?
?
1,2,3,4,L,100
?
共有86个元素；
11 211
中任取一个共有
C
14
C
86
，两种情形共符合要求 的取法有
C
14
?C
14
C
86
?1295
种.
（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计 顺序）有多少种？
解析：将
I?
?
1,2,3L,100
?
分成四个不相交的子集，能被4整除的数集
A?
?
4,8,12,L100
?
；能被4除余1的
数集
B?
?
1,5,9,L97
?，能被4除余2的数集
C?
?
2,6,L,98
?
，能被4除余 3的数集
D?
?
3,7,11,L99
?
，易
见这四个集合 中每一个有25个元素；从
A
中任取两个数符合要；从
B,D
中各取一个数也 符合要求；从
C
中任
取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求 的取法共有
C
25
?C
25
C
25
?C
2 5
种.
10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数 公式
n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)

例10.从6名运动员中选 出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同
的参赛方案？ < br>解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝ ，根据求集合
元素个数的公式得参赛方法共有：
n(I)?n(A)?n(B)?n(A?B )
?A
6
4
?A
5
3
?A
5
3< br>?A
4
2
?252
种.
11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ < br>414
1
解析：老师在中间三个位置上选一个有
A
3
种，4名 同学在其余4个位置上有
A
4
种方法；所以共有
A
3
A4
?72
种。.
2112
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
第 2 页 共 5 页

6
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的 元素排成一排，共
A
6
?720
种，选
C
.
（2 ）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有
多少种不同排法？
解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有
A
4
种，某1个元素排在后半段的四个位置中选
15125
一个有
A
4
种，其余5个元素任排5个位置上有
A
5
种，故共有
A
4< br>A
4
A
5
?5760
种排法.
2
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有
（ ）
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另 一种型号的电视机，故不同的取法共有
333
C
9
?C
4
? C
5
?70
种,选.
C

解析2：至少要甲型和乙 型电视 机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取
2112
法有C
5
C
4
?C
5
C
4
?70
台,选
C
.
14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安 排到一定的位置上，可用先取后排法.
例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
C
4
种，再排：在 四个盒中每次排3个有
A
4
种，故共
23
有
C
4< br>A
4
?144
种.
23
（2）9名乒乓球运动员，其中男5 名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
222222
解析：先取 男女运动员各2名，有
C
5
C
4
种，这四名运动员混和双打练习有< br>A
2
中排法，故共有
C
5
C
4
A
2
?120
种.

15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部 分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论 上可构成
C
8
四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都
4
不能构成四面体，所以四面体实际共有
C
8
?12?58
个.
4

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
解析：10个点 中任取4个点共有
C
10
种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每 面内四点共面
的情况为
C
6
，四个面共有
4C
6
个 ；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的
44
三角形共6个 .所以四点不共面的情况的种数是
C
10
?4C
6
?3?6?141
种.
44
4

16.圆排问题单排法:把
n
个不 同元素放在圆周
n
个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才
算不同 的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺
序 而首位、末位之分，下列
n
个普通排列：
a
1
,a
2,a
3
L
,a
n
;a
2
,a
3
,a
4
,
L
,a
n
,
L
;a
n
,a
1
,
L
,a
n?1
在圆排列中只算一种，因为 旋转后可以重合，故认为相同，
n
个元
素的圆排列数有
n!
种.因此 可将某个元素固定展成单排，其它的
n?1
元素全排列.
n
4
例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有
A
4
种，然后在让插入其间，每位均 可插入其姐姐的左边和右边，
有2种方式，故不同的安排方式
24?2?768
种不同 站法.
说明：从
n
个不同元素中取出
m
个元素作圆形排列共有5
1
m
A
n
种不同排法.
m
n
< br>17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一 安排元
素的位置，一般地
n
个不同元素排在
m
个不同位置的排列数有
m
种方法.
第 3 页 共 5 页

例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
解析：完成 此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配
到车 间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有
7
种不同方案.

18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯， 现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不
能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有 多少种？
解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C< br>5
种方法,所以满足条件的关灯
方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组 合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解
决.

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1，2，3，4， 5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求
每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与盒子对号 有
C
5
种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如
果剩 下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有
1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共 装法数为
2
6
3
2C
5
2
?20
种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？
解析：先把30030分解成质因数的 形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13
这5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为
135
C
5
0
?C
5
?C
5
2
?C
5
?C
5
4?C
5
?32
个.

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？
解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将 问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方
4
体8个顶点中任取四个顶点 构成的四面体有
C
8
?12?58
个，所以8个顶点可连成的异面直线有3× 58=174对.



21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗 透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题
处理.
例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
解析：因 为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内
的 一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有
C
10< br>个，所以圆周上有
10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有
C
10个.
（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从
A
到
B
的最短路径有多少种？
4
4

解析：可将图中矩形的一 边叫一小段，从
A
到
B
最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段； 而且
前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有C
7
种.
第 4 页 共 5 页
4

第 5 页 共 5 页