高中数学-排列组合问题的几种基本方法

高中数学-高中数学排列组合问题的几种基本方法

1. 分组（堆）问题
分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序
不 等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除
以m!
③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.

1. 分组（堆）问题
例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共
有多少种不同的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：
⑴先将四项工程分为三“堆”，有
211

C
4
C
2
C
1
?6
2
种分法；
A
2
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.

2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以
解决.
♀ ♀♀ ♀ ♀♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
5
第1步，把除甲乙外的一般人排列：
有A
5
=120种排法第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：

有A
6
2
=30种插入法

?共有120?30＝3600种排法
3.捆绑法
几个元素不能相邻时,先排一般元素，
再让特殊元素插孔.
相邻元素的排列，可以采用“局 部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一
个”元素，然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
解：（1）分两步进行：
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
甲 乙

第一步，把甲乙排列(捆绑)：
2

有A
2
＝2种捆法
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
5

有A
5
＝120种排法

?共有2?120＝240种排法

几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，
再与其它的进行排列.

4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排 列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其
它元素选取位置排列，留下来的空位置 自然就是顺序一定的了.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有
A
5
5
种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数
A
2
2
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
5

A
5
3
?5?4?3?A
5

A
2
2

解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有
A
5
3
种站法，留下的两个位置
自然给甲乙有1种站法
33
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A
5
?1?A
5

4.消序法(留空法)
变式 ：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的
路线?

B
A

→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → →
1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7

解: 如图所示
B
A




将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:

11
A
11
也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有 种排法.
47
A
4
?A
7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,

5?14
所以从A到B共有 条不同的路径.
(5?1)?(8?1)11

C?C
5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每 个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个
相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,
每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问
题.
3
将16个小球串成一串，截为4段有
C
15
?455
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .

5.剪截法
：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个
相同小球串成一 串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学
班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等 价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个
盒子里,每个盒子至少有 一个小球的放法种数问题.
3
将10个小球串成一串，截为4段有
C
9
?84
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有84种 .

6.错位法：

编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球
与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6. 编号为1至6的6 个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其
中恰有2个小球与盒子的编号相同的放 法有____种.

2
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需
6
错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
C?15

7.剔除法：
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数 、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加
了问题的综合性，解答这类应用题时，要注 意使用相关知识对答案进行取舍.
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素 分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、
C，所得的经过坐标原点的直线有________ _条.
3
解：所有这样的直线共有
A
7
?210
条，
1
其中不过原点的直线有
A
6
?A
6
2
?180
条，
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.

小结:
①分堆问题；
②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、 剔除法、
插孔法、消序法(留空法).




1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法


的种数是（ ）

433
A.
3
B.
4
3
C.
A
4
D.
C
4



2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出

3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种

植，不同的种植方法共有（ ）

A.24种 B.18种 C.12种 D.6种


3. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调

查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）


444444

A.
C
12
C
8
C
4
种 B.3
C
12
C
8
C
4
种

44
C
12
C
8
4
C
4

443
C.
C
12
C
8
A
3
种 D.种
3

A
巩固练习


3