高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1

高中数学讲义

排列组合问题的常见模型1
知识内容

1．基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有
n
类办法，在第一类办法中 有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中
有
m
2
种方 法，……，在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事共 有
N?m
1
?m
2
??m
n
种
不同的方法 ．又称加法原理．

⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成
n
个子步骤，做第一个步骤有
m
1
种不同的方法，做第二个
步骤有
m
2
种不同方法，……，做第
n
个步骤有
m
n种不同的方法．那么完成这件事共有
N?m
1
?m
2
??mn
种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原
理．如果 完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计
算完成这件事的 方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础， 也是求解排列、组合问
题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m( m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m< br>个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从
n
个不同的元素 中取出
m(m≤n)
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同元素中取出< br>m
个元素的排列数，用符号
A
m
n
表示．
(n?m?1)
，
m，n?N
?
，并且
m≤n
． 排列数公式：
A
m
n
?n(n?1)(n?2)
全排列：一般地，< br>n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个不同元素的一个全排列．
n
的阶乘：正整数由
1
到
n
的连乘积，叫作
n
的 阶乘，用
n!
表示．规定：
0!?1
．
⑵组合：一般地，从
n
个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素并成一组，叫做从
n
个元素中任取
m
个元素的一个组合．
组合数：从
n
个不 同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个不同元素
中，任意取出
m
个元素的组合数，用符号
C
m
n
表示．
组合数公式：
C
m
n
?
n(n?1)( n?2)(n?m?1)n!
?
，
m,n?N
?
，并且
m≤ n
．
m!m!(n?m)!
n?mmm?1
组合数的两个性质：性质1：< br>C
m
；性质2：
C
m
．（规定
C
0
n
?C
nn?1
?C
n
?C
nn
?1
）

思维的发掘 能力的飞跃

1

高中数学讲义

⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义 ，即首先弄清是分类还是分步，是排
列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复 杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，
层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某 些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，
然后再给那“一捆 元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：
n
个相同元素，分成
m(m≤n)
组，每组至少一个的 分组问题——把
n
个元素排成一排，
m?1
从
n?1
个空中 选
m?1
个空，各插一个隔板，有
C
n?1
．
7．分组、 分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均
分成
n< br>堆（组），必须除以
n
！，如果有
m
堆（组）元素个数相等，必须除以
m
！
8．错位法：编号为1至
n
的
n
个小球放入 编号为1到
n
的
n
个盒子里，每个盒子放一个小球，要求
小球与盒子 的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当
n?2
，3，4，5时的错位数各为1，2，< br>9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位< br>排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：
①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理
还是分步计 数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2．具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．


典例分析


排队问题
【例1】 三个女生和五个男生排成一排
⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
2

思维的发掘 能力的飞跃

高中数学讲义









【例2】
6
个人站成一排：
⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？















【例3】 7名同学排队照相．
⑴ 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
⑵ 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不
同的排法？
⑶ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
⑷ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？








【例4】
6
个队员排成一排，
⑴共有多少种不同的排法？
⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？

思维的发掘 能力的飞跃

3

高中数学讲义

⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？








【例5】
ABCDE
五个字 母排成一排，若
ABC
的位置关系必须按A在前、B居中、C在后的原则，
共有___ ____种排法（用数字作答）．








【例6】 用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，
5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．






【例7】
记者要为
5
名志愿者和他们帮助的
2
位老人拍照，要求排成一排，
2
位老人相邻但不排 在
两端，不同的排法共有（ ）
A．
1440
种 B．
960
种



C．
720
种 D．
480
种


【例8】
12
名同学合影， 站成前排
4
人后排
8
人，现摄影师要从后排
8
人中抽
2
人调整到前排，若
其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
22
A
3
A．
C
8

26
A
6
B．
C
8

22
A
6
C．
C
8

22
A
5
D．
C
8




【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但 不排在两端，
不同的排法共有（ ）
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种

4

思维的发掘 能力的飞跃

高中数学讲义





【例10】 在数字
1，2，3
与符号
?，?
五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是
（ ）
A．
6
B．
12
C．
18
D．
24






【例11】 计划 展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品
种的画必须连在 一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有_____种．









【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数字作答）．




【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2 个空位相邻，另一个空位与2个相邻
位不相邻，共有几种坐法？






3
位男生和
3
位女生共
6
位同学站成一排，
【例14】
若男生甲不站两端，
3
位女生中有且只有两位 女
生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．
360
B．
288
C．
216




D．
96



思维的发掘 能力的飞跃

5

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【例15】 古代“五行” 学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，
水克火，火克金．”将五 种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相
邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．






2，3， 4，5，6，7
的任一排列
a
1
，a
2
，a
3，a
4
，a
5
，a
6
，a
7
中，使相 邻两数都互质的排列方
【例16】
在
1，
式共有（ ）种．
A．
288
B．
576
C．
864
D．
1152











Q，R，S
?< br>与
?
0，，12，3，4，5，6，7，8，9
?
中各任取2个元素排 成一排（字母和数
【例17】
从集合
?
P，
字均不能重复）．每排 中字母
Q
和数字
0
至多只能出现一个的不同排法种数是
______ ___．（用数字作答）





12，3，4，5， 6，7，8，9}
中各任取
2
个元素排成一排
P，Q，R，S}
与< br>{0，，
【例18】
从集合
{O，
（字母和
Q
和数 字
0
至多只能出现一个的不同排法种数是数字均不能重复）．每排中字母
O，
_________．（用数字作答）






6
个人坐在一排
10
个座位上，问
【例19】
⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?
⑵
4
个空位只有
3
个相邻的坐法有多少种?
⑶
4
个空位至多有
2
个相邻的坐法有多少种?
6

思维的发掘 能力的飞跃

高中数学讲义






3
位男生和
3
位女生 共
6
位同学站成一排，
【例20】
若男生甲不站两端，
3
位女生中有且只有两位女
生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．
360
B．
288
C．
216












D．
96



【例21】
12名 同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，
其他人的相对顺序不 变，则不同调整的方法的总数有（ ）
22262222
A
3
B．
C
8
A
6
C．
C
8
A
6
D．
C
8
A
5
A．
C
8






【例22】
两部不同的长篇小说各由第一、二、 三、四卷组成，每卷
1
本，共
8
本．将它们任意地排
成一排，左边< br>4
本恰好都属于同一部小说的概率是_______．






2007
年
12
月中旬，我国南方一些地区 遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南
【例23】
方地区抗灾救灾，国家统一部署 ，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对
6
列电煤
货运列车进行编组调度，决定 将这
6
列列车编成两组，每组
3
列，且甲与乙两列列车不在
同一小组 ．如果甲所在小组
3
列列车先开出，那么这
6
列列车先后不同的发车顺序共有 （ ）
A．
36
种 B．
108
种 C．
216
种 D．
432
种

思维的发掘 能力的飞跃

7

高中数学讲义








数字问题
【例24】
给定数字
0
、
1
、
2
、3
、
5
、
9
，每个数字最多用一次，
⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？
⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？









【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？






【例26】
在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6 ，8中任取两个数字，可组成多少个不
同的五位偶数．






2，3，4，5
排成一个数字不重复的五位数
a
1，a
2
，a
3
，a
4
，a
5
，满足【 例27】 用
1，
a
1
?a
2
，a
2
?a
3
，a
3
?a
4
，a
4
?a
5< br>的五位数有多少个？






12，，9
这十个数字组成无重复数字的四位数，【例28】 用
0，，
若千位数字与个位数字之差的绝对值是
8

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2
，则这样的四位数共有多少个？




< br>1，2，3，4，5，6
组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字
【 例29】
用数字
0，
之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．












2，3，4
的红色卡片和
4
张分别标有数字
1 ，2，3，4
的蓝色卡片，从这
8
【例30】 有
4
张分别标有数字
1，
张卡片中取出
4
张卡片排成一行．如果取出的
4
张卡片 所标数字之和等于
10
，则不同的排法
数一共有 种．
432
；





【例31】 有< br>8
张卡片分别标有数字
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，从中取 出
6
张卡片排成
3
行
2
列，要
求
3
行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为
5
，则不同的排法共有（ ）
．．
A．
1344
种 B．
1248
种 C．
1056
种 D．
960
种







2，3，4
的红色卡片和
4
张分 别标有数字
1，2，3，4
的蓝色卡片，从这
8
【例32】 有
4< br>张分别标有数字
1，
张卡片中取出
4
张卡片排成一行．如果取出的4
张卡片所标数字之和等于
10
，则不同的排法
共有____种（用数字 作答）．


思维的发掘 能力的飞跃

9

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【例33】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性 不同，
且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．






【例34】 用数字
1,2,3,4, 5
可以组成没有重复数字，并且比
20000
大的五位偶数共有（ ）
A．
48
个 B．
36
个 C．
24
个 D．
18
个




3，8，9，10
这
6
个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的【例35】 从
1，2，
不同偶数？




【例36】
求无重复数字的六位数中，能被
3
整除的数有______个．






1，2，3，4，5，6
组 成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字
【例37】
用数字
0，
之和为偶数的四位数共有 个（用数学作答）．






12，3，4，5
这六个数 字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的
【例38】
从
0，，
个数为（ ）
A．
300
B．
216
C．
180
D．
162




10
思维的发掘 能力的飞跃

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12，3，4，5
这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位 数的
【例39】
从
0，，
个数为（ ）
A．
300
B．
216
C．
180
D．
162











【例40】
从
1
到
9
的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几
个？
⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？






【例41】
用
0
到
9
这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？








2，3，4< br>的红色卡片和
4
张分别标有数字
1，2，3，4
的蓝色卡片，从这8
【例42】 有
4
张分别标有数字
1，
张卡片中取出
4
张卡片排成一行．如果取出的
4
张卡片所标数字之和等于
10
，则 不同的排法
共有______种（用数字作答）．





思维的发掘 能力的飞跃

11

高中数学讲义




2，3，4，5
组成的所有没有重复数字的
5
位数中，大于
23145
且小于
43521
的数
【例4 3】
在由数字
1，
共有（ ）个
A．
56
个 B．
57
个 C．
58
个 D．
60
个










【例44】
由0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺 序排成一个
数列
?
a
n
?
，则
a
19?
_____．
A．
2014





B．
2034
C．
1432
D．
1430



【例45】
从数字0、1、3、5、 7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
，其中有实数根的有几个？








?2，?1，0，，12，3，4
?
中任选三个不同元素作为二 次函数
y?ax
2
?bx?c
的系数，【例46】 从
?
? 3，
问能
组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?





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