高中数学排列组合类型数学笔记

排列组合题型总结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象， 难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除
做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重 复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一． 直接法
1． 特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择
2．特殊位置法
（2）当1在千位时余 下三位有
A
5
2
，其余2位有四个可供选择
A
4
2
，由乘法原理：
A
5
2
A
4
2
=240
A
5
3
=60，1不在千位时，千位有
112
A
4
种选法，个位有
A
4
种，余下的有
A
4
，共有11
A
4
A
4
A
4
2
=192所以总 共有192+60=252
二．
间接法
当直接法求解类别比较大时，应采用间接法 。如上例中（2）可用间接法
32
A
6
4
?2A
5
?A
4
=252
例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5， 6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成
三位数，共可组成多少个不同的三维书？
分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接 计
算：任取三张卡片可以组成不同的三位数
C
5
意的。故共可组成不同的三位 数
C
5
3
33
?2
3
?A
3
个， 其中0在百位的有
C
4
2
?2
2
?
A
2< br>2
个，这是不合题
3
2
22
?2
3
?A3
-
C
4
?2
?
A
2
=432（个）
三．
插空法
当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？
分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有
四．
捆绑法
当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
分析：先将男生捆绑在一起看成一 个大元素与女生全排列有
条件的排法有：
11
A
9
?A
10
=100中插入方法。
A
4
4
种排法，而男生之间又有
A
4
4
种排法，又乘法原理满足
A
4
4
×
A
4
4
=576
23
A
3
）
练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（
C
4
2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排 一所学校，其中有一所学校人数较多，要安
排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的 安排方法有（
C
29
1
119
?A
28
）（注意连 续参观2天，即需把30天
种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有
C
29其余的就是19所学校选28天进行排列）

五．
阁板法
名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个 空当中插入7块闸板，一
种插法对应一种名额的分配方式，故有
C
11
种
练习1.(a+b+c+d)
15
有多少项？
当项中只有一个字母时，有
C
4
种（即a.b.c.d而指数只有15故
C
4
2
110
?C
14
。
1
7
当项中有2个字母时，有
C
4
而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，
C< br>14
即
C
4
当项中有3个字母时
C
4
指数1 5分给3个字母分三组即可
C
4
C
14

当项种4个字母都在时
C
4
43
?C
14
四者都相加即可．
332
2
1
C
14

练习2． 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种< br>不同的方法？（
C
16
）
3．不定方程X
1
+X< br>2
+X
3
+…+X
50
=100中不同的整数解有（
C
99
）
六．
平均分堆问题
例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：分出三堆书（a
1
, a
2
）,(a
3
,a
4
)，（a
5
,a< br>6
）由顺序不同可以有
222
C
6
C
4
C< br>2
不同的书平均分成三堆方式有
3
A
3
49
2
A
3
3
=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本
=15种
练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
七． 合并单元格解决染色问题
例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现
有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．
下面分情况讨论:
(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③
⑤的全排列数
A

4
4
2,4
（ⅱ）当2、 4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得
（ⅲ）当2、4与3、5
①
A
种着色法．
4
4

分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格
2,4

3,5
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有
C
4
?
A3
种方法．

3
3

由加法原理知：不同着色 方法共有2
A
4
?
C
4
A
3
=48+24 =72（种）
4
3
3
练习1（天津卷（文））将3种作物种植

2

1 3 4 5


在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，
不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．（江苏、辽宁、天津卷（理 ））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，
每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）





图3 图4
3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一 种颜色可以反复使用也可
以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
4．如图5： 四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区
域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）




6
2
5
1
3
4
B
A
C
D
E
4
1
2
3
A
B
C
E
D
图5 图6
5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可 供使用，则不同的染色方
法共 种（420）
八． 递推法
例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？
分析：设上n级楼梯的走法为a
n
种，易知a
1
=1,a
2
=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步
跨一级，有a
n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a
n-2
种走法，由加法原理知：a
n=a
n-1
+ a
n-2
,据此，
a
3
=a< br>1
+a
2
=3,a
4
=a
#
+a
2
=5,a
5
=a
4
+a
3
=8,a
6=13,a
7
=21,a
8
=34
,
a
9=55,a
10
=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。
九.几何问题
1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种
（3
C
5
+3=33）
2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？ < br>(
C
10
-4
C
6
+4-3
C
4< br>+3-6C
4
+6+2×6=29)
(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C
10
4
-4C6
4
-6C
4
4
-3C
4
4
=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有
114
33
3
33
十． 先选后排法

例9 有甲乙丙三项 任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ）
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种
分析：先从10人中选出2人
十一．用转换法解排列组合问题
例10．某人连续射 击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．
例11． 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解 把问题转化为5个相 同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．
C
9
=126种
例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
解 把 稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。
C
991< br>
例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东 北角，路程最短的走法有多少
种．
解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化 为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．
C
7
=35（种）
例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为 6个相同的黑球与6
个相同的白球的排列问题．
C
12
=924（种）．
例15 求（a+b+c）
10
的展开式的项数．
解 展开使的项 为a
α
b
β
c
γ
,且α+β+γ=10，因此，把问题转化 为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．
C
12
=66
（种）
例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队 员比赛，负者淘汰，
胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过 程．那么所有可能出现的比赛
过程有多少种？
解 设亚洲队队员为a
1
, a
2
，…,a
5
,欧洲队队员为b
1
，b
2
，…，b
5
，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为
顺序．比赛过 程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为
C
10
=252（种）
6
3
10
5
A
5
2
=20种
6
2
十二．转化命题法
例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？
分析：因两 弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有
C
15
= 1365（个）
4
十三．概率法
例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、 化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程
表有多少种排法？