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2020高中数学--- 排列组合中的常见模型

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 13:47
tags:高中数学排列组合

高中数学辅导资料公式-高中数学文科学什么

2020年9月18日发(作者:卫芊)


第十章 第80炼 排列组合的常见模型 排列组合,二项式定理
第80炼 排列组合的常见模型
一、基础知识:
(一)处理排列组合问题的常用思路:
1、特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑 步骤时优先安排,然后再去处理无要
求的元素。
例如:用
0,1,2,3,4
组成无重复数字的五位数,共有多少种排法?
解:五位数意味着首位不能是0,所以先处理首位,共有4种选择,而其余数位没有要求,
4
只 需将剩下的元素全排列即可,所以排法总数为
N?4?A
4
?96

2、寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,
再用全部可 能的总数减去对立面的个数即可。
例如:在10件产品中,有7件合格品,3件次品。从这10件产品 中任意抽出3件,至少有
一件次品的情况有多少种
解:如果从正面考虑,则“至少1件次品” 包含1件,2件,3件次品的情况,需要进行分
类讨论,但如果从对立面想,则只需用所有抽取情况减去 全是正品的情况即可,列式较为简
33
单。
N?C
10
?C
7
?85
(种)
3、先取再排(先分组再排列):排列数
A
n是指从
n
个元素中取出
m
个元素,再将这
m
个元
素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素,所以此时就要将过程拆
分成两个阶 段,可先将所需元素取出,然后再进行排列。
例如:从4名男生和3名女生中选3人,分别从事3项不 同的工作,若这3人中只有一名女
生,则选派方案有多少种。
解:本题由于需要先确定人数的 选取,再能进行分配(排列),所以将方案分为两步,第一
步:确定选哪些学生,共有
C
4
C
3
种可能,然后将选出的三个人进行排列:
A
3
。所 以共有
213
C
4
C
3
A
3
?108种方案
m
213
(二)排列组合的常见模型
1、捆绑法(整体法): 当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他
元素进行排列,然后再考虑相邻元素 之间的顺序即可。
例如:5个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法


第十章 第80炼 排列组合的常见模型 排列组合,二项式定理
解:考虑第一步将 甲乙视为一个整体,与其余3个元素排列,则共有
A
4
种位置,第二步考
42
2
虑甲乙自身顺序,有
A
2
种位置,所以排法的总数为
N? A
4
?A
2
?48

4
2、插空法:当题目中有 “不相邻元素”时,则可考虑用剩余元素“搭台”,不相邻元素进行
“插空”,然后再进行各自的排序
注:(1)要注意在插空的过程中是否可以插在两边
(2)要从题目中判断是否需要各自排序
例如:有6名同学排队,其中甲乙不相邻,则共有多少种不同的排法
解:考虑剩下四名同学“ 搭台”,甲乙不相邻,则需要从5个空中选择2个插入进去,即有
C
5
242
种选择,然后四名同学排序,甲乙排序。所以
N?C
5
?A
4
?A< br>2
?480

2
3、错位排列:排列好的
n
个元素 ,经过一次再排序后,每个元素都不在原先的位置上,则
称为这
n
个元素的一个错位排 列。例如对于
a,b,c,d
,则
d,c,a,b
是其中一个错位排列。3< br>个元素的错位排列有2种,4个元素的错位排列有9种,5个元素的错位排列有44种。以上
三种 情况可作为结论记住
例如:安排6个班的班主任监考这六个班,则其中恰好有两个班主任监考自己班的 安排总数
有多少种?
解:第一步先确定那两个班班主任监考自己班,共有
C
6
种选法,然后剩下4个班主任均不
2
监考自己班,则为4个元素的错位排列,共9种 。所以安排总数为
N?C
6
?9?135

2
4、依次插 空:如果在
n
个元素的排列中有
m
个元素保持相对位置不变,则可以考虑先将 这
m
个元素排好位置,再将
n?m
个元素一个个插入到队伍当中(注意每插入 一个元素,下
一个元素可选择的空
?1

例如:已知
A,B,C, D,E,F
6个人排队,其中
A,B,C
相对位置不变,则不同的排法有多少

解:考虑先将
A,B,C
排好,则
D
有4个空可以选择,
D
进入队伍后,
E
有5个空可以选择,
以此类推,
F
有6 种选择,所以方法的总数为
N?4?5?6?120

5、不同元素分组:将
n
个不同元素放入
m
个不同的盒中
6、相同元素分组:将
n
个相同元素放入
m
个不同的盒内,且每盒不空,则不 同的方法共有
m?1
C
n
,因为元素相同,所以只需考虑每个盒子里
?1
种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”


第十章 第80炼 排列组合的常见模型 排列组合,二项式定理
所含元 素个数,则可将这
n
个元素排成一列,共有
?
n?1
?
个空 ,使用
?
m?1
?
个“挡板”进
入空档处,则可将这
n个元素划分为
m
个区域,刚好对应那
m
个盒子。例如:将6个相同
的小球放入到4个不同的盒子里,那么6个小球5个空档,选择3个位置放“挡板”,共有
3
C
5
?20
种可能
7、涂色问题:涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色” ,在处理涂色问题时,可按照选择颜
色的总数进行分类讨论,每减少一种颜色的使用,便意味着多出一对 不相邻的区域涂相同的
颜色(还要注意两两不相邻的情况),先列举出所有不相邻区域搭配的可能,再进 行涂色即
可。例如:最多使用四种颜色涂图中四个区域,不同的涂色方案有多少种?
解:可根据使用颜色的种数进行分类讨论
4
(1)使用4种颜色,则每个区域涂一种 颜色即可:
N
1
?A
4

(2)使用3种颜色,则有一对不 相邻的区域涂同一种颜色,首
先要选择不相邻的区域:用列举法可得:
?
I,IV?
不相邻
3
所以涂色方案有:
N
2
?A
4

(3)使用2种颜色,则无法找到符合条件的情况,所以讨论终止
43
总计
S?A
4
?A
4
?48

二、典型例题:
例1:某电视台邀请了6位同学的父母共12人,请12位家长中的4位介绍 对子女的教育情
况,如果这4位中恰有一对是夫妻,则不同选择的方法种数有多少
思路:本题解决的方案可以是:先挑选出一对夫妻,然后在挑选出两个不是夫妻的即可。
第一步:先挑出一对夫妻:
C
6

2
第二步:在剩下的10 个人中选出两个不是夫妻的,使用间接法:
C
10
?5

1
所以选择的方法总数为
N?C
6
C
10
?5?240
(种)
答案:
240

例2:某教师一天上3个班级的课,每班上1节,如果一天 共9节课,上午5节,下午4节,
并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师 一天的课表的所有不
同排法有( )
A.
474
种 B.
77
种 C.
462
种 D.
79

1
?
2
?


第十章 第80炼 排列组合的常见模型 排列组合,二项式定理
思路: 本题如果用直接法考虑,则在安排的过程中还要考虑两节连堂,并且会受到第5,6
节课连堂的影响,分 类讨论的情形较多,不易求解。如果使用间接法则更为容易。首先在无
任何特殊要求下,安排的总数为< br>A
9
。不符合要求的情况为上午连上3节:
A
4
和下午连上三
333
3
节:
A
3
,所以不同排法的总数为:
A< br>9
?A
4
?A
3
?474
(种)
33
答案:A
例3:2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端, 3位女生中有且只有
两位女生相邻,则不同排法的种数是( )
A.
60
B.
48
C.
42
D.
36

思路:首 先考虑从3位女生中先选中相邻的两位女生,从而相邻的女生要与另一女生不相邻,
则可插空,让男生搭 架子,因为男生甲不站两端,所以在插空的过程中需有人站在甲的边上,
再从剩下的两个空中选一个空插 入即可。
第一步:从三位女生中选出要相邻的两位女生:
C
3

第 二步:两位男生搭出三个空,其中甲的边上要进入女生,另外两个空中要选一个空进女生,
所以共有C
2
种选法。
第三步:排列男生甲,乙的位置:
A
2
,排列相邻女生和单个女生的位置:
A
2
,排列相邻女
生相互的位置:
A
2

21222
所以共有
N?C
3
?C
2
?A
2
?A
2
?A
2
?48

2
1
22
2
答案:B
例4:某班班会准备从甲,乙等7名 学生中选派4名学生发言,要求甲,乙两名同学至少有
一人参加,且若甲乙同时参加,则他们发言时不能 相邻,那么不同的发言顺序种数为( )
A. 360 B. 520 C. 600 D. 720
思路:因 为选人的结果不同会导致安排顺序的不同,所以考虑“先取再排”,分为“甲乙”
同时选中和“甲乙只有 一人选中”两种情况讨论:若甲乙同时被选中,则只需再从剩下5
22
C
5
2
,人中选取2人即可:在安排顺序时,甲乙不相邻则“插空”,所以安排的方式有:
A
3
?A
2

222
从而第一种情况的总数为:
N
1
?C
5
?A
3
?A
2
?120
(种),若 甲乙只有一人选中,则首先先
从甲乙中选一人,有
C
2
,再从剩下5人中选取 三人,有
C
5
,安排顺序时则无要求,所以第
13


第 十章 第80炼 排列组合的常见模型 排列组合,二项式定理
134
二种情况的总数为:
N
2
?C
2
?C
5
?A
4
?480
(种),从而总计600种
答案:C
例5:从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排,含有“qu” (其中“qu”相连
且顺序不变)的不同排列共有________种
思路:从题意上看,解 决的策略要分为两步:第一步要先取出元素,因为“qu”必须取出,
所以另外3个元素需从剩下的6个 元素中取出,即
C
6
种,然后在排列时,因为要求“qu”
相连,所以采用“ 捆绑法”,将qu视为一个元素与其它三个元素进行排列:
A
4
,因为“qu”
34
顺序不变,所以不需要再对qu进行排列。综上,共有:
C
6
?A4
?480

4
3
答案:
480

例6:设有编号
1,2,3,4,5
的五个茶杯和编号为
1,2,3,4,5
的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个
茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有( )
A. 30种 B. 31种 C. 32种 D. 36种
思路:本题可按照相同编号的个数进行分类讨论, 有两个相同时,要先从5个里选出哪两个
2
2
相同,有
C
5
种选法,则剩下三个为错位排列,有2种情况,所以
N
1
?C
5
?2
,有三个相同
3
时,同理,剩下两个错位排列只有一种情况(交换位置),所以
N
2
?C
5
?1
,有四个相同时
23
则最后一个 也只能相同,所以
N
3
?1
,从而
S?C
5
?2? C
5
?1?1?31
(种)
答案:B
例7:某人上10级台阶, 他一步可能跨1级台阶,称为一阶步,也可能跨2级台阶,称为
二阶步;最多能跨3级台阶,称为三阶步 ,若他总共跨了6步,而且任何相邻两步均不同阶,
则此人所有可能的不同过程的种数为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
答案:A
思路:首先要确定在 这6步中,一阶步,二阶步,三阶步各有几步,分别设为
x,y,z?N

?
?
x?4
?
x?3
?
x?2
x?y?z?6
????
则有
?
,解得:
?
y?0,
?
y?2,
?
y?4
,因为相邻两步不同阶,所以符合
?
x?2y?3z?10
?
z?2
?
z?1
?
z?0
???


第十章 第80炼 排列组合的常见模型 排列组合,二项式定理
?
x?3
?
要求的只有
?
y?2< br>,下面开始安排顺序,可以让一阶步搭架子,则二阶步与三阶步必须插
?
z?1
?
入一阶步里面的两个空中,所以共有2种插法,二阶步与三阶步的前后安排共有3种(三二
二 ,三二三,二三三),所以过程总数为
N?2?3?6

答案:A
例8:某 旅行社有导游9人,其中3人只会英语,2人只会日语,其余4人既会英语又会日
语,现要从中选6人, 其中3人负责英语导游,另外三人负责日语导游,则不同的选择方法
有_______种
思路 :在步骤上可以考虑先选定英语导游,再选定日语导游。英语导游的组成可按只会英语
的和会双语的人数 组成进行分类讨论,然后再在剩下的人里选出日语导游即可。第一种情况:
没有会双语的人加入英语导游 队伍,则英语导游选择数为
C
3
,日语导游从剩下6个人中选
333
择,有
C
6
中,从而
N
0
?C
3
?C6
,第二种情况:有一个会双语的人加入英语导游队伍,从
3
123
而可 得
N
1
?C
4
,依次类推,第三种情况。两个会双语的加入英语导游 队伍,则
C
3
?C
5
21
N
2
?
?
C
4
?C
3
?
?C
4
3
,第四 种情况,英语导游均为会双语的。则
N
3
?C
4
3
?C3
3
,综上所述,
??
不同的选择方法总数为
S?C
3
?C
6
?C
4
C
3
?C
5
?C< br>4
?C
3
?C
4
?C
4
?C
3?216
(种)
答案:216种
例9:如图,用四种不同颜色给图中
A,B,C,D,E,F
六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,
且图中每条线段的两个端点涂不 同颜色,则不同的涂色方法有( )
A.
288
种 B.
264
种 C.
240
种 D.
168

思路:如果用四种颜色涂六个点,则需要有两对不相邻的点涂相同 的
颜色。所以考虑列举出不相邻的两对点。列举的情况如下:
33
?
12?
3
?
21
?
333
?
A,C
??< br>B,D
?

?
A,C
??
B,E
?

?
A,C
??
D,F
?

?
A,F??
B,D
?

?
A,F
??
B,E
?

?
A,F
??
C,E
?

?
B,D
??
C,E
?

?
B,E
??
D, F
?

?
C,E
??
D,F
?
共九组,所 以涂色方法共有
9?A
4
4
?216

如果用三种颜色涂六个点,则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色,列举情况如下:
?
A,C
??
B,E
??
D,F
?

?
A ,F
??
C,E
??
B,D
?
共两组,所以涂色方法共有< br>2?A
4
3
?48


第十章 第80炼 排列组合的常见模型 排列组合,二项式定理
综上所述,总计
264

答案:B
例10:有8张卡片分别标有 数字
1,2,3,4,5,6,7,8
,从中取出6张卡片排成3行2列,要求
3行中 仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有( )
A. 1344种 B. 1248种 C. 1056种 D. 960种
思路:中间行数字和为5只有两种情况,即
1,4

2,3
,但这两 组不能同时占据两行,若按
题意思考,以
1,4
占中间行为例,则在安排时既要考虑另 一组
2,3
是否同时被选中,还要考
虑同时被选中时不能呆在同一行,情况比较复杂。 所以考虑间接法,先求出中间和为5的所
有情况,再减去两行和为5的情形
解:先考虑中间和为5的所有情况:
第一步:先将中间行放入
1,4
2,3

C
2

第二步:中间行数字的左右顺序:
A
2

第三步:从剩下6个数字中选择4个,填入到剩余的四个位置并排序:
A
6

124
所以中间和为5的情况总数为
S?C
2
?A
2
?A
4
?1440

1
2
4
在考虑两行和为5的情况:
第一步:
1,4

2,3
两组中哪组占用中间行:
C
2

第二步:另一组可选择的行数:
C
2

第三步:
1,4
2,3
在本行中的左右顺序:
A
2
A
2

第四步:从剩下4个数中选取2个填入所剩位置并排序:
A
4

11 222
所以两行和为5的情况:
N?C
2
?C
2
?A
2
?A
2
?A
4
?192

1
1
22
2
从而仅有中间行为5的情况为
S?N?1248
(种)
答案:B



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