高中数学选修--排列组合(基础)方法练习

排列组合
1、分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方 案中有m种不同的方法，在第2类
方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不
同的方法. 那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
3、排列及排列数：
（1） 排列：从n个 不同元素中取出m个（m≤n）个元素，按照一定的顺
序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个排列。
（2） 排列数：从n个不同元素中取出m个（m≤n）个元素的所有排列的
m
个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用
A
n
表示。
m
?n
?
n?1
?
???
?
n?m?1
?
.
（3） 排列数公式：
A
n
（4） 全排列：n个不同元素全部取出的排列，叫做n个不同元素的一个全
排列，
n
An
?n?
?
n?1
?
?
?
n?2
?< br>?????3?2?1?n
！
m
A
n
?
n!

?
n?m
?
!
，规定0！=1
4、组合及组合数：
（1） 组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n
个不同元素中取 出m个元素的一个组合。
（2） 组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合个数 ，
m
叫做从n个不同元素取出m个元素的组合数，用
C
n
表示。 < br>m
A
n
n
?
n?1
?
???
?n?m?1
?
n!
（3） 计算公式：
C?
m
?
. 由于0！=1，
?
A
m< br>m
?
m?1
?
???1m!
?
n?m
?!
m
n
0
?1
. 所以
C
n
5、组合数的性质：

mn?m
mmm?1
（1）
C
n
?C
n
（2）
C
n

?1
?C
n
?C
n
012nn
mm
?m
！
C
n
（3）
C
n< br>?C
n
?C
n
?????C
n
?2
（4）
A
n

方法
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复 杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一
定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，
与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列．
4．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插
空．
5．插板法：
n
个相同元素，分成
m(m≤n)
组，每组至少一个的分组问题 ——把
n
1
个元素排成一排，从
n?1
个空中选
m?1个空，各插一个隔板，有
C
n
m
?
?
1
． < br>6．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分
之别．一般地平均 分成
n
堆（组），必须除以
n
！，如果有
m
堆（组）元素个 数
相等，必须除以
m
！
7．错位法：编号为1至
n
的n
个小球放入编号为1到
n
的
n
个盒子里，每个盒子
放 一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当
n?2
，
3 ，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，
可以用剔除法转 化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

一、纯排列与组合问题：
1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？
2.从9人中选派2人参加文艺活 动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种
不同选派方法？

3. 现从男 、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资
源”、“生态”和“环保”三个夏令 营活动，已知共有90种不同的方案，那么
男、女同学的人数是（ ）
A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人
C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人
4.一条铁路原有m个车站， 为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运
车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需 要两种不同车票），那么原有
的车站有 （ ）
A.12个 B.13个 C.14个 D.15个
二、捆绑法
1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？
2. 有8本不同的书， 其中科技书3本，文艺书2本，其它书3本，将这些书竖
排在书架上 ，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书
的不同排法之比为
A.1:14 B.1:28 C.1:140 D.1:336
三、插空法
1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任 何两个舞蹈节目都
不相邻，有多少种不同排法？
2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多
少个？
3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）
A.2880 B.1152 C.48 D.144
4.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？
5.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？
6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐
法？
四、直接与间接问题：
1.有6名男同学，4名女同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有 1名女同学，
由多少种不同选法？

2.7人排成一列
（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？
（2）甲必须站两端，乙站最中间，有多少种不同排法？
(3) 甲不站排头乙不站排尾, 有多少种不同排法？
3.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且不是5的倍数的五
位数？
4. 2名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？
5. 从5门不同的文科 学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高
考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不 同的选法的种数 （ ）
A.60种 B.80种 C.120种 D.140种
6. 5人排成一排，要求甲、乙之间至少有1人，共有多少种不同排法？
7. 设有编号为1、2、3、4 、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，
将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖 和茶杯的编号相同的盖法有
A.30种 B.31种 C.32种 D.36种
五、特殊位置优先考虑
1．用0，1，2，3，4，5这六个数字
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数？
（5）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（6）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？
六、隔板法
1. 要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加1人，则这
10个名额共有( )种分配方法。
2.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种？ 3.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题
竞赛活动，使代表 中每班至少有1人参加的选法有多少种？

一、纯排列与组合问题：
1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？
2.从9人中选派2人参加文艺活 动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种
不同选派方法？
3. 现从男、女8名学生干 部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资
源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共 有90种不同的方案，那么
男、女同学的人数是（ ）
A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人
C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人
4.一条铁路原有m个车站， 为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运
车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需 要两种不同车票），那么原有
的车站有 （ ）
A.12个 B.13个 C.14个 D.15个
答案：1、
C
9
2
?36
2、
A
9
2
?72
3、选 B. 设男生
n
人，则有
C
n
2
C
8
1
?n
A
3
3
?90
。
22
?A
m
?58
4、
A
m?n
选C.
二、捆绑
1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？
2. 有8本不同的书， 其中科技书3本，文艺书2本，其它书3本，将这些书竖
排在书架上，则科技书连在 一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书
的不同排法之比为
A.1:14 B.1:28 C.1:140 D.1:336
三、插空
1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何 两个舞蹈节目都
不相邻，有多少种不同排法？
2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多
少个？
3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）
A.2880 B.1152 C.48 D.144

4.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？
5.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？
6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐
法？
答案：1.< br>A
4
4
A
5
3
?1440
（2）
A
3
3
A
4
4
?144
（3）选B
2A
4
4
A
4
4
?1152
（4）
A
4
3
?24

（5）
A
44
A
5
2
?480
（6）
A
3
3C
4
3
?24
（7）
A
3
3
A
4
3
?144

四、直接与间接问题：
1.有6名男同学，4名女同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有 1名女同学，
由多少种不同选法？
2.7人排成一列
（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？
（2）甲必须站两端，乙站最中间，有多少种不同排法？
(3) 甲不站排头乙不站排尾, 有多少种不同排法？
3.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且不是5的倍数的五
位数？
4. 2名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？
5. 从5门不同的文科 学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高
考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不 同的选法的种数 （ ）
A.60种 B.80种 C.120种 D.140种
6. 5人排成一排，要求甲、乙之间至少有1人，共有多少种不同排法？
113
C
62
?C
4
2
C
6
?C
4
3
? 100
或
C
10
?C
6
3
?100
2.（1）
A
2
2
A
5
5
?240
（2 ）答案：1、
C
4
1511514
A
2
A
5
?240
(3)
A
5
A
5
A
5
?A
6
6
?3720
或
A
7
7
?2A
6
6
?A
5
5
?3720
3、
A
5A
5
?600
或
A
6
5
?A
5
4
?600

122131
A
2
A
3
?576
5、选C.C
5
C
4
?C
5
2
C
4
2< br>?C
5
3
C
4
?120
4、
A
6< br>6
?A
4
4
A
3
3
?576
或A
4
3
A
2
2
A
3
2
?A< br>4
2
A
2
123
A
2
A
3
?A
3
2
A
2
2
A
2
2
?A3
3
A
2
2
?72
或
A
5
5
?A
2
2
A
4
4
?72
7、或 < br>C
9
4
?C
5
4
?C
4
4
?120
6、
A
3
4
C
10
?4C
6< br>4
?6?3?141

7 设有编号为1、2、3、4、5的五 个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，
将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的 编号相同的盖法有
A.30种 B.31种 C.32种 D.36种
五、特殊位置优先考虑
1．用0，1，2，3，4，5这六个数字
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数？
（5）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（6）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？
六、隔板法
1. 要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加1人，则这
10个名额共有( )种分配方法。
2.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种？ 3.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题
竞赛活动，使代表 中每班至少有1人参加的选法有多少种？