高中数学排列组合训练含答案

排列组合训练

一、单选题（共
32
题；共
64
分）

1.
完成一项工作，有两种方法，有
5
个人只会用第一种方法，另外有
4
个人只 会用第二种方法，从这
9
个
人中选
1
个人完成这项工作，则不同的选 法共有（

）

A. 5
种
B. 4
种
C. 9
种
D. 20
种

2.
如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有
( )

A. 24
种
B. 16
种
C. 12
种
D. 10
种

3.
甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是

，没有平局．若采用

三局两胜制比
赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（

）

A. B. C. D.
4.
用
10
元、
5
元和
1
元来支 付
20
元钱的书款，不同的支付方法的种数为（

）

A. 3 B. 5 C. 9 D. 12
5.
学校将

位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学 参加自主招生考试，则每所大
学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为（

）

A. B. C. D.
6.
某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有
5
位同学只 会用综合法证明，有
3
位同学只会用分
析法证明，现任选
1
名同学证 明这个问题，不同的选法种数有（

）种．

A. 8 B. 15 C. 18 D. 30 < br>7.
现有
6
名同学去听同时进行的
5
个课外知识讲座，每名同 学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种
数是（

）

A. B. C. D. 8.
从
6
名男生和
4
名女生中选出
3
名志愿者 ，其中恰有
1
名女生的选法共有（

）

A. 28
种
B. 36
种
C. 52
种
D. 60
种

9.6
个人分乘两辆不同的汽车，每辆汽车最多坐
4
人，则不同的乘车方法种数为（

）

A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 < br>10.
一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方 法有种
（

）

A. 24 B. 25 C. 31 D. 32 < br>11.
某技术学院安排
5
个班到
3
个工厂实习，每个班去一个 工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排
方法共有（

）


- 1 -

A. 60
种
B. 90
种
C. 150
种
D. 240
种

12.
已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝 、微信、银联卡
.
若顾客甲没有银联卡，顾客乙只
带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结 账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那
么他们结账方式的可能情况有（

）种

A. 19 B. 26 C. 7 D. 12
13.
上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节 和第四节，则不同排课方
案的种数是（

）

A. 24 B. 12 C. 20 D. 22 < br>14.
本周日有
5
所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中 任选
1
所或
2
所去咨询了解，
甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是 相同的，则不同的选法共有（

）

A. 330
种
B. 420
种
C. 510
种
D. 600
种

15.
从
1
，
2
，
3
，
4
，
5
中任取
2
个不同的数，设事件

为取到的两个数之和为偶数，则

（

）

A. B. C. D.
16.
A. B.
等于（

）

C. D.
17.
自
2020
年起
,
高考成绩由
“ ”
组成，其中第一个
“3”
指语文、数学、英语
3
科，第二个
“3”
指学生从物
理、化学、生物、政治、历史、地理
6
科中任选
3
科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物
3
科
中任选两科，从政治、历史、 地理
3
科中任选
1
科作为选考科目，则该同学
3
科选考科目 的不同选法的种
数为（

）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 < br>18.
某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也 不同列，
星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有
( )

A. 96 B. 36 C. 24 D. 12
19.
已知有穷数列

3
，

A.
，

时，

2
，
3
，

若

，

满足
2
，
3
，

，

，且当
2
，
，则符合条件的数列

C.
的个数是

B. D.
20.
学 校新入职的
5
名教师要参加由市教育局组织的暑期
3
期上岗培训，每人只参加 其中
1
期培训，每期至
多派
2
人，由于时间上的冲突，甲教师不能参 加第一期培训，则学校不同的选派方法有
( )

- 2 -

A.
种
B.
种
C.
种
D.
种

21.
《中国诗词大会》（第二季
)
亮点颇多，十场比 赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配
合下，百人团齐声朗诵，别有韵味
.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的
两首诗词排在后六场，且《将 进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻
且均不排在最后，则后六场的 排法有（

）

A. 144
种
B. 288
种
C. 360
种

．
720
种

22.
设< br>6
人站成一排，甲、乙、丙
3
个人不能都站在一起的排法种数为
()
A. 720 B. 144 C. 576 D. 324
23.
将
4
名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作 ，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中
甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排 方法共有（

）

A. 24
种
B. 30
种
C. 32
种
D. 36
种

24.
在某班进行的歌唱比赛中，共有
5
位选手参 加，其中
3
位女生，
2
位男生．如果
2
位男生不能连着出< br>场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（

）

A. 30 B. 36 C. 60 D. 72
25.
A. B.
可表示为（

）

C. D.
26.
有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中的一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的情况有（

）种

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
27.
从
2,3,5,7
四个数中任选两个分别相除
,
则得 到的结果有
( )
A. 6
个
B. 10
个
C. 12
个
D. 16
个

28.
从
6
本不同的书中选出
4< br>本，分别发给
4
个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有
（

）

A. 180 B. 220 C. 240 D. 260
29.
一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起 且老师不站在两端，则不同
站法的种数为
( )
．

A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 < br>30.
从
5
名男生和
4
名女生中选出
4
人参 加比赛，如果
4
人中须既有男生又有女生，选法有（

）种

A. 21 B. 120 C. 60 D. 91 31.
表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为
（

）

A. 286 B. 281 C. 256 D. 176
32.
从

、

、

、
4
个班级中选
10
人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班 人数的不同情况有
多少种（

）

A. 42 B. 56 C. 84 D. 168
二、填空题（共
13
题；共
13
分）
33.
如图，用
6
种不同的颜色给图中的
4
个格子涂色，每个格 子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不
同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有________
种（用数字作答）．


- 3 -

34.
用
1
、
2
、
3< br>、
4
、
5
、
6
组成没有重复数字的六位数，要求任何 相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位
数的个数是
________
（用数字作答）
.
35.
现有高一年级的学生
3
名，高二年级的学生5
名，高三年级的学生
4
名，从中任选一人参加接待外宾的
活动，有
种不同的选法；从三个年级的学生中各选
1
人参加接待外宾的活动，有

种不同的选法，则

________
．

36.
西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有
________种涂色方法．


37.
定义
“
规范
01
数列
”
如下：

共有

项，其中

项为
0
，

项为
1
，且对任意

，

中
0
的个数不少于
1
的个数
.
若

，则不同的
“
规范
01
数列
”
共有
______ __
个。

38.
有

个元素的集合的
3
元子集共有
20
个，则
= ________.
39.
用
0
，
1
，
2
，
3
，
4
可以组成
________
个无重复数 字五位数
.
40.5
名学生站成一排拍照片，其中甲乙两名学生不相邻的站 法有
________
种．（结果用数值表示）

41.
一只蚂蚁位于数轴

，向左移动的概率为

处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为

，则3
秒后，这只蚂蚁在
x=1
处的概率为
________. < br>42.
已知有
7
把椅子摆成一排，现有
3
人随机就座，那么任 何两人不相邻的坐法种数为
________.
（请用数
字作答）

43.
用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不 同，且
1
和
2
不相邻，这样的六位数的个数是
________（用数字作答
)
。

44.
从
5
名学 生中选出
4
名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同< br>的参赛方案种数为
________.
45.
江苏省高中生进入高二 年级时需从
“
物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术
”
科目中选修若干 进
行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科
作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有
________
种不同的选课组合
.
（用数字作答）

三、解答题（共
5
题；共
75
分）

46.5
名男生
3
名女生参加升旗仪式：

（1
）站两横排，
3
名女生站前排，
5
名男生站后排有多少种站法 ？

（
2
）站两纵列，每列
4
人，每列都有女生且 女生站在男生前面，有多少种排列方法？

47.
某次文艺晚会上共演出7
个节目，其中
2
个歌曲，
3
个舞蹈，
2
个曲 艺节目，求分别满足下列条件的节
自编排方法有多少种？（用数字作答）


- 4 -

（
1
）一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；

（
2
）一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；

（
3
）
2
个歌曲节目相邻且
2
个曲艺节目不相邻．

（
4
）
2
个歌曲节目相邻且
2
个曲艺节目不相邻．

48.
一个口袋里装有
7
个白球和
1
个 红球，从口袋中任取
5
个球．

（
1
）共有多少种不同的取法？

（
2
）共有多少种不同的取法？

（
3
）其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？

（
4
）其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？

（
5
）其中不含红球，共有多少种不同的取法？

（
6
）其中不含红球，共有多少种不同的取法？

49.
函数角度看，

（
1
）证明：

可以看成是以

为自变量的函数


的展开式最中间一项的二项式系数最大；当

为
，其定义域是
.
（
2
）试利用
1
的结论来证明：当

为偶数时，

奇数时

的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大
.
的展开式最中间一项的二项式系数最大；当

为（
3
）试利用
1
的结论来证明：当

为偶数时，

奇数时

的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大
.
50.
按下列要求 分配
6
本不同的书
,
各有多少种不同的分配方式
?
（
1
）分成三份
,1
份
1
本
,1
份2
本
,1
份
3
本
;
（
2< br>）分成三份
,1
份
1
本
,1
份
2
本
,1
份
3
本
;
（
3
）甲、乙、 丙三人中
,
一人得
1
本
,
一人得
2
本,
一人得
3
本
;
（
4
）甲、乙、丙 三人中
,
一人得
1
本
,
一人得
2
本
,
一人得
3
本
;
（
5
）平均分成三份
,
每份
2
本
;
（
6
）平均分成三份
,
每份
2
本
;
（
7
）平均分配给甲、乙、丙三人
,
每人
2
本;
（
8
）平均分配给甲、乙、丙三人
,
每人
2
本
;
（
9
）分成三份
,1
份
4
本
,
另外两份每份
1
本
;
（
10
）分成三份
,1
份
4
本
,
另外两份每份
1
本
;
（
11
）甲、乙、丙三人中
,
一人得
4
本
,
另外两人每人得
1
本
; < br>（
12
）甲、乙、丙三人中
,
一人得
4
本
,
另外两人每人得
1
本
;

- 5 -

答案解析部分

一、单选题

1.
【答案】
C
【考点】分类加法计数原理
< br>【解析】【解答】会用第一种方法的有
5
个人，选
1
个人完成这项工作 有
5
种选择；会用第二种方法的有
4
个人，选
1
个人完成这 项工作有
4
种选择；两者相加一共有
9
种选择
,
故答案为：
C.


【分析】根据加法原理，即可确定不同的选法共
9
种
.
2.
【答案】
C
【考点】分步乘法计数原理，计数原理的应用

【解析】【解答】根据题意， 车的行驶路线起点有
4
种，行驶方向有
3
种，所以行车路线共有

故答案为：
C.


【分析】利用分步乘法计数原理结合已知条件求出不同的行车路线种数。

3.
【答案】
A
【考点】概率的应用，分类加法计数原理

【解析】【解答】
“
甲队获胜
”
包括两种情况，一是

胜，则比赛只有

局，其概率为

局甲队获胜任意一局，其概率为

故答案为：
A.


【分析】利用分类加法计数原理集合组合数公式和已知条件，再利用古典概型求概率公式求出甲队获胜< br>的概率。

4.
【答案】
C
【考点】分类加法计数原理

【解析】【解答】由题意，只用一种币值有2
张
10
元，
4
张
5
元，
20
张
1
元，共
3
种；

用两种币值的有
1
张
10
元，
2
张
5
元；
1
张
1 0
元，
10
张
1
元；
3
张
5
元，
5
张
1
元；
2
张
5
元，
10张
1
元；
1
张
5
元，
15
张
1
元，共
5
种；

用三种币值的有
1
张
1 0
元，
1
张
5
元，
5
张
1
元，共
1
种．

由分类加法计数原理得，共有
3
＋
5＋
1
＝
9(
种
)
，

故答案为：
C
。



【分析】采用列举法，结合加法原理，即可求出不同的支付方法的种数
.
5.
【答案】
C
；若是甲队

获胜，二是

获胜
.
根据题意若是甲队

获
种，

获胜，则比赛

局，其中第

局甲队胜，前

，所以甲队获胜的概率等于

，


- 6 -

【考点】分步乘法计数原理

【解析】【解答】解：先将
5
名同学分成
3
组，每组至少
1
人，有
1,1,3
和
1,2,2
两种组合，再将
3
组全排
列，对应到三个大学，共有：


故答案为：
C.
【分 析】根据题意，分
2
步进行分析：
①
将
5
名同学分成
3
组；
②
将分好的
3
组全排列，对应
3
所大学，
求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．

6.
【答案】
A
【考点】分类加法计数原理

【解析】【解答】由题意知本题是一个分类计数问题，

解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有
5
种方法，

一是可以用分析法来证明，有
3
种方法，

根据分类计数原理知共有
3+5
＝
8
种结果，

故答案为：
A
．



【分析】由已知分成两类分别得到方法种数，利用分类计数原理即可得结果
.
7.
【答案】
B
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】每一位同学有
5
种不同的选择，则
6
名同学去听同时进 行的
5
个课外知识讲座，

每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是
5
6
.
故答案为：
B
．



【分析】由已知利用分步计数原理的乘法运算，即可求出不同选法的种数
.
8.
【答案】
D
【考点】分步乘法计数原理，计数原理的应用

【解析】【解答】分两步求解 ：第一步，从
4
名女生中选出
1
名，共有

中选出
2
名，共有

法．

故答案为：
D
．



【分析】利用分步乘法计 数原理结合实际问题的已知条件求出从
6
名男生和
4
名女生中选出
3
名志愿者，
其中恰有
1
名女生的选法种数。

9.
【答案】
B
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】由题意，
6
个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐
4
人，

种方法；第二步，从
6
名男生
种方种方法．根据分步乘法计 数原理可得所有的选法共有


- 7 -

可分为两类情况 ：（
1
）其中
2
人乘坐一辆汽车，另外
4
乘坐一辆汽车，共 有

种，（
2
）其
中
3
人乘坐一辆汽车，另
3
人乘坐一辆汽车，共有

由分类计数原理可得，不同的乘车方法数为

故答案为：
B.

种，

种，


【分析】利用分类计数原理结合实际问题的已知条件求出不同的乘车方法种数。

10.
【答案】
C
【考点】分步乘法计数原理，计数原理的应用

【解析】【解答】由题意有这个教室能照明的方法有

故答案为：
C
．



【分析】利用乘法计数原理结合已知条件求出这个教室能照明的方法种数。

11.
【答案】
C
【考点】分类加法计数原理，计数原理的应用

【解析】【解答】将
5
个班分成
3
组，有两类方法：（
1
）
3
，
1
，
1
，有

种；（
2
）
2
，
2
，
1
，有

种，

种
.
所以不同的安排方法共有

故答案为：
C.

种
.

【分析】利用分类计数原理结合排列组合数公式和已知条件，求出不同的安排方法种数。

12.
【答案】
B
【考点】计数原理的应用，排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】解：由题意支付方法数有

故答案为：
B
．



【分析】利用分类加法计数原理结合排列数公式求出他们结账方式的可能情况种数。

13.
【答案】
B
【考点】分步乘法计数原理

【解析】【解答】由题意，

先排体育课，在第三、四节中安排体育课，有

再将语文、数学、英语排在剩下的
3
节课中，由有

由乘法原理可得，共有

故答案为：
B
中不同的排法。

中排法，

中排法，

．


- 8 -

【分析】利用排列组合解决计数问题的方法结合乘法计数原理，得出不同排课方案的种数。

14.
【答案】
A
【考点】分类加法计数原理，计数原理的应用

【解析】【解答】种类有（
1
）甲

，乙

，丙

，方法数有

乙

，丙

；或甲

，乙

，丙
——
方法数有

乙

，丙

；或甲

，乙

，丙
——
方法数有

种
.
故答案为：
A


【分析】利用实际问题的已知条件结合分类计数原理求出满足要求的不同的选法种数。

15.
【答案】
C
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】事件

所取两个数都为偶数时：

所取两个数都为奇数时：


故答案为：
C
【分析】取到的两个数之和为偶数，分为都是偶数和都是奇数两种情况，相加得到答案
.
16.
【答案】
A
【考点】排列及排列数公式

【解析】【解答】

故答案为：
A.


【分析】根据排列数的运算公式进行选择即可
.
17.
【答案】
D
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】解：某同 学计划从物理、化学、生物
3
科中任选两科，从政治、历史、地理
3
科中任选
1
科作为选考科目，则该同学
3
科选考科目的不同选法的种数为

故答案为：
D.


【分析】根据组合的特点，结合乘法原理， 即可确定
3
科选考科目的不同选法的种数
.
18.
【答案】
C
种
.
，

为取到的两个数之和为偶数



；（
2
）甲

，乙

，丙

；或甲

，
；（
3
）甲

，乙

，丙

；或甲

，
.
故总的方法数有


- 9 -

【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】先安排第一节的课表，除去语文均可以安排共有

种；周二的第二节 不和第一节相同，
也不和周一的第二节相同，共有
2
种安排方案，第三节和第四节的顺 序是确定的；周三的第二节也有
2
种
安排方案，剩余位置的安排方案只有
1< br>种，根据计数原理可得

故答案为：
C.


【分析】根据乘法原理，结合排列组合，即可求出不同排法种数
.
19.
【答案】
A
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】先确定

数值中选出
3
个作为

故答案为：
A.


【分析】先从
10
个数中取三个，有

种选法，再从剩余的
7
个数值中选出
3
个作为

的个数
.
，共有

，相当于从
10
个数值中选取
3
个，共有

，共有

种选法，所以符合条件的数列

种选法，再从剩余的
7
个
的个数是

，

种，

种选法，结合乘法原理，即可确定数列

20.
【答案】
B
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】解
:
第一期培训派
1
人时，有

故学校不同的选派方法有

故答案为：
B.

，

种方法
,
第一期培训派
2
人时，有

种方法
,

【分析】先考虑第一期培训派
1
人时，根据 乘法原理，结合组合求出方法数；再考虑第一期培训派
2
人
时，不同方法数，根据加法 原理，即可求出学校不同的选派方法
.
21.
【答案】
A
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词排列全排列共有

种排法，满足《将进酒》
排在《望岳》的前面的排法共有

，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在

个空里（最后
一个空不排），有

种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、 《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》
不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有

种，


- 10 -

故答案为：
A.


【分析】利用实际问题的已知条件结合排列数公式，用分步乘法计数原理求出后 六场的排法种数。

22.
【答案】
C
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】求出
6
人站成一排，有

捆绑在一起，再跟剩下的
3
人排列，有

甲、乙、丙
3
个人不能都站在一起的排法种数为

故答案为：
C.


【分析】采用间接法，根据排列组合，结合 乘法原理，即可求出甲、乙、丙
3
个人不能都站在一起的排
法种数
.
23.
【答案】
B
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】先考虑安排

人到三个地方工作，先将

人分为三组，分组有

到三个地方工作，则安排

人到三个地方工作的安排方法数为

种，再将这三组安排
，

种排法，把甲、乙、丙
3
个人
种排法，因此

种，

当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、 乙两名志愿者安排在同一
个地方工作的安排方法数为

因此，所求的不同安排方法数为

故答案为：
B
。



【分析】采用间接的方法，结合排列组合及乘法原理，即可确定不同的安排方法数
.
24.
【答案】
C
【考点】排列、组合的实际应用

【解析】【解答】记事件

以，事件

记事件

的排法种数为

位男生连着出场，即将

位男生捆绑，与其他

位女生形成

个元素，所
，

的排法种数为

，

种，

女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件

，

事件

女生甲排在第一位，且

位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将

位男生与其他

个
的排法种数为

种，


种，

女生形成三个元素，所以，事件

因此，出场顺序的排法种数

故答案为：
C
。


- 11 -

【分析】采用间接的方法，求出
5
为选手的全 排列，再去掉
2
为男生连着出场和女生甲排在第一个的情
况，即可得到不同的出场排法
.
25.
【答案】
B
【考点】排列及排列数公式

【解析】【解答】

故答案为：



【分析】根据排列数的计算，即可确定相应的表示
.
26.
【答案】
B
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】由题意，有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中的一个小组，

则这两位同学不在同一个兴趣小组共有

故答案为：
B
．



【分析】根据排列组合，结合乘法原理即可确定不同情况种类
.
27.
【答案】
C
【考点】排列及排列数公式

【解析】【解答】从
2,3,5,7
四个数中任选两个数分别相除
,
所得结果有

故答案为：
C


【分析】利用排列数公式列式，即可求出结果
.
28.
【答案】
C
【考点】排列及排列数公式

【解析】【解答】因为其中两本书不 能发给甲同学，所以甲只能从剩下的
4
本中分一本，然后再选
3
本分
给
3
个同学，故有

故答案为：
C.


【分析】由已知利用排列数公式列式，即可求出不同分配方法
.
29.
【答案】
D
【考点】排列、组合的实际应用

【解析】【解答】两名女生站一起有

们的中间有

故答案为：
D.

＝
24
种站法
.
种站法，她们与两个男生站一起共有

种站法，老师站在他
．

=4×3=12
个
.
种，

．

，


- 12 -

【 分析】由已知得到两名女生与两个男生站一起的站法排列，再结合老师不站在两端，即可求出不同站
法的 种数
.
30.
【答案】
B
【考点】组合及组合数公式

【解析】【解答】根据题意，从
5名男生和
4
名女生共
9
人中选出
4
人去参加辩论比赛， 有
C
9
4
＝
126
种选
法，

其中只有男生没有女生的选法有
C
5
4
＝
5
种，只有女生没 有男生的选法有
C
4
4
＝
1
种，

则4
人中既有男生又有女生的不同选法共有
126
﹣
5
﹣
1
＝
120
种；

故答案为：
B
．



【分析】由已知分别求出总的选法种数，再求出只有男生没有女生与只有女生没 有男生的选法种数，即
可得结果
.
31.
【答案】
C
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】由题意可得

种，五点共线的情况有
2
种，

所以从
13
个点中可以构成三角形的个数为

故答案为：
C
．



【分析】利用组合数公式 结合实际问题的已知条件，用所求问题的反面求出可以构成的三角形个数。

32.
【答案】
C
【考点】排列、组合的实际应用

【解析】【解答】将
10
个人排成一排，然后从中间形成的
9
个空中 选
3
个，分别放入一个隔板，即可将
10
个人分为
4
个部分 ，且每部分至少
1
个人，由此可得每班人数的不同情况有

故答案为：
C
．



【分析】利用实际问题的 已知条件结合组合数解决计数问题的方法求出每班人数的不同情况种数。

二、填空题

33.
【答案】
630
【考点】分步乘法计数原理

【解析】【解答】用
6
种不同的颜色给图中的
4
个格子涂色，

若第三个格子与第一个格子同色，

则有

种涂色方法；

种．

个．

表示的平面区域内 的整点共有
13
个，其中三点共线的情况有
10
若第三个格子与第一个格子不 同色，

则有

种涂色方法；


- 13 -

综上，共有

故答案为
630
种涂色方法
.
【分析】分别计算第三个格子与第一个格子同色，以及第三个格子与第 一个格子不同色，所对应的不同涂
色方法，即可求出结果
.
34.
【答案】
72
【考点】分步乘法计数原理，计数原理的应用

【解析】【解答】先排三个奇数，共有

入三个偶数，共有

故答案为：



【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法 计数原理，求出任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样
的六位数的个数。

35.
【答案】
72
【考点】计数原理的应用，排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】高 一年级的学生
3
名，高二年级的学生
5
名，高三年级的学生
4
名，从中任选一人参加
接待外宾的活动，有

种不同的选法，即

，

种不同的选法，即

，

．

种结果，然后再从形成的四个空中选择前三个或后三个空排
个．

种结果．由分步乘法计数原理可得这样的六位数共有

从三个年级的学生中各选
1
人参加接待外宾的活动，有

即

故答案为：
72
．



【分析】利用分类加法 计数原理结合组合数公式和已知条件求出
36.
【答案】
420
【考点】计数原理的应用

【解析】【解答】对于新疆有
5
种涂色的方法，

对于青海有
4
种涂色方法，

对于西藏有
3
种涂色方法，

，

的值。

对于四川：若与新疆颜色相同，则有
1
种涂色方法，此时甘肃有
3
种 涂色方法；

若四川与新疆颜色不相同，则四川只有
2
种涂色方法，此时甘肃 有
2
种涂色方法；

根据分步、分类计数原理，则共有
5×4×3×
（
2×2+1×3
）＝
420
种方法．

故答案为：
420.


【分析】利用实际问题的已知条件结合分步、分类计数原理求出涂色方法种数。

37.
【答案】
14
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】由题意，得必有

，

，则具体的排法列表如下：


- 14 -

由图可知，不同的
“
规范
01
数列
”
共有
14
个
.
故答案为：
14.


【分析】根据
“
规范
01
数列
”
的定义，列表格，写出所以可能情况即可
.
38.
【答案】
6
【考点】组合及组合数公式

【解析】【解答】在

个元素中选取

个元素共有

故答案为
6.


【分析】根据组合数的公式，解方程，求出
n
值即可
.
39.
【答案】
96
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】用
0
、
1
、
2
、
3、
4
组成一个无重复数字的五位数共有
4×4×3×2×1=96
种不同 情况
,
故答案为：
96
．



【 分析】根据
0
不能放在首位，先将
0
放在其余四个位置，结合乘法原理，求出 无重复数字五位数的个
数即可
.
40.
【答案】
72
【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】将除甲乙外的三名同学全排列，共有：

甲、乙插空排入，共有：

种排法

种排法

种排法

种，解
=20
得

，

根据分步乘法计数原理可得排法共有：

本题正确结果：




【分析】采用插空法，结合全排列和乘法原理即可求出甲乙两名学生不相邻的站法种类
.
41.
【答案】


- 15 -

【考点】概率的应用，排列、组合及简单计数问题

【解析】 【解答】
3
秒后，这只蚂蚁在
x=1
处的概率即求蚂蚁三次移动中，向右移动 两次，向左移动一次
的概率，所以


【分析】利用二项分布求概率公式结 合已知条件求出这只蚂蚁在
x=1
处的概率。

42.
【答案】
60
【考点】排列及排列数公式

【解析】【解答】第一步先把没有人坐的
4
把椅子排好，再将有人坐的
3把椅子插空，共

坐法
.
故答案为：
60


【分析】由已知利用排列数公式列式，即可求出任何两人不相邻的坐法种数
.
43.
【答案】
32

【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】假设偶数在奇数位
.
先讨论
2
假如
2
在个位

则
1
不在十位

排列就是


种，即
60
种
假如
2
在百位

则
1
不可以在十位

也不可以在千位，

则排列是

假如
2
在万位
..
和个位一样

是

所以有
8+4+4=16
种

偶数在偶数位和在奇数为一样

所以总共是
16×2=32
种
.



【分析】根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，求出相应的六位数个数即可
.
44.
【答案】
96
【考点】排列、组合的实际应用

【解析】【解答】根据题意，从
5
名学生中选出
4
人分别参加竞赛， 分
2
种情况讨论：

①
选出的
4
人没有甲，即选出其他
4
人即可，有

种情况；

②
选出的
4
人有甲，由于甲不能参加生物竞赛， 则甲有
3
种选法，在剩余
4
人中任选
3
人，参加剩下的三< br>科竞赛，有

综上，总共有

故答案为：
D


【分析】由已知分
2
种情况讨论，利用排列与排列数公式，分别求出不同的 参赛方案，即可得结果
.
45.
【答案】
13
，则此时共有

种选法；

种不同的参赛方案；


- 16 -

【考点】排列、组合的实际应用

【解析】【解答】先从从物理和历史中选择一门学科有

学科作为一种组合有

故答案为：
13


【分析】利用组合与组合数公式列式，即可求出不同的选课种数
.
三、解答题

46.
【答案】

（
1
）解：分两步求解：

①
先排前排的
3
名女生，有

②
再排后排的
5
名男生，有

由分步乘法计数原理可得共有


（
2
）解：将
3
名女生分为两组，有

有

种方法，然后选择其中的一列将
1
名女生排在最前的一个位置上，
种方法；然 后再排另外一列，将
种方
种不同的方法；

种不同的方法．

种不同的站法．

种，所以共有

种，再从化学、生物、地理、政治中选择两门
种
.
种方法，然后再从5
名男生中选取
3
名排在该女生的后边，有

剩余的
2
名女生排再该列的前边有

法．

种方法，再将剩余的
2
名男生排在这
2
名女生的后边，有

由分步乘法计数原理可得不同的排列方法有

【考点】分步乘法计数原理，计数原理的应用

种．

【解 析】【分析】（
1
）利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，得出
3
名女生站前排，
5
名男生
站后排的站法种数。


（
2
）利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，得出站两纵列，每列
4
人，每 列都有女生且女生
站在男生前面的排列方法种数。

47.
【答案】

（
1
）解：根据题意，分
2
步进行分析：

①
要求
2
个歌曲节目
1
个在开头，另一个在最后，有

②
将剩下的
5
个节目全排列，安排在中间，有

则一共有


（
2
）解：根据题意，分
2
步进行分析：

①
要求
2
个歌曲节目
1
个在开头，另一个在最后，有

②
将剩下的
5
个节目全排列，安排在中间，有

则一共有

种安排方法

种安排方法，

种安排方法，

种安排方法

种安排方法，

种安排方法，


- 17 -

（
3
）解：根据题意，分
3
步进行分析：

①2
个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有

②
将这个整体与
3
个舞蹈节目全排列，有

③
在< br>5
个空位中任选
2
个，安排
2
个曲艺节目，有

则一共有


（
4
）解：根据题意，分
3
步进行分析：

①2
个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有

②
将这个整体与
3
个舞蹈节目全排列，有

③
在< br>5
个空位中任选
2
个，安排
2
个曲艺节目，有

则一共有

种安排方法．

【考点】分步乘法计数原理，计数原理的应用

【解析】【分析】（
1
）利用分步加法计数原理结合排列数公式和已知条件，求出一个歌曲节目开头，另
个歌曲节目 放在最后压台的安排方法种数。


（
2
）利用分步加法计数原理结 合排列数公式和已知条件，求出
2
个歌曲节目相邻且
2
个曲艺节目不相邻的方法种数。

48.
【答案】

（
1
）解：从口袋里的

个球中任取

个球
,
不同取法的种数是

（
2
）解：从口袋里的

个球中任取

个球
,
不同取法的种数是


种情况，

种情况，排好后有
5
个空位，

种情况，

种安排方法．

种情况，

种情况，排好后有
5
个空位，

种情况，

（
3
）解：从口袋里的

个球中任取

个球
,
其中恰有一个红球
,
可以分两步完成
:
第一步
,
从

个白球中任取

个白球
,
有

第二步
,
把

个红球取出
,
有

故不同取法的种数是
:

（
4
）解：从口袋里的

个球中任取

个球
,
其中恰有一个红球
,
可以分两步完成
:
第一步
,
从

个白球中任取

个白球
,
有

第二步
,
把

个红球取出
,
有

故不同取法的种数是
:

（
5
）解：从口袋里任取

个球
,
其中不含红球
,
只需从

个白球中任取

个白球即可
,
不同取法的种数是

种取法
.

种取法
;
种取法
.

种取法
;

- 18 -

（
6
）解：从口袋里任取

个球
,
其中不含红球
,
只需从

个白球中任取

个白球即可
,
不同取法的种数是

【考点】排列、组合及简单计数问题

【解析】【分析】（
1
）根据组合的特点，即可求出从口袋里的

个球中任取

个球
,
不同取法的种数；


（
2
）根据分步乘法计数原理，分两步求出从口袋里的

个球中任取

个球
,
其中恰有一个红球的取法即
可；


（
3
）根据组合的特点，即可求出从口袋里任取

个球
,
其中不含红球的种类数
.
49.
【答案】

（
1
）证明：因为

，

所以

则


（
2
）解：设

，因为

，

，

成立
.
.
，又因为

所以
.
令

，所以

，

则

反之，当

所以

（等号不成立），所以

时，

时，

成立
.
成立，

最大，即展开式最中间一项的二项式系数最大；

，其最中间有两项且

，

，显然

，

当

为奇数时，设

由（
1
）知

，令

，当

所以

由对称性可知：当

又


（
3
）解：设

，因为

，故当

为奇数时，

时，

时，

，可得

，

，且这两项为二项展开式最中间两项的系数，

成立；

时，

成立，

的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大
.
，

，


- 19 -

所以
.
令

，所以

，

则

反之，当

所以

（等号不成立），所以

时，

时，

成立
.
成立，

最大，即展开式最中间一项的二项式系数最大；

，其最中间有两项且

，

，显然

，

当

为奇数时，设

由（
1
）知

，令

，当

所以

由对称性可知：当

又

，故当

为奇数时，

时，

时，

，可得

，

，且这两项为二项展开式最中间两项的系数，

成立；

时，

成立，

的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大
.
【考点】组合及组合数公式，二项式系数的性质，二项式定理的应用

【解析】【分析】（
1
）由已知


（
2
）

分两种情况讨论
n
，

当

为偶数时，设

，得到

到

，

令

，利用组合数公式整理化简，即可证明结论；

，由（
1
）得到

，令

，由（
1
）得，

即可证明结论；当

为奇数时，

设

，可得

，

利用对称性，即可证明结论
.
种分配方法；
50.
【答案】

（
1
）解：先从
6
本书中选
1
本，有

再从剩余
5
本书中选择
2
本，有

剩余的就是
2
本书，有

所以总共有


（
2
）解：先从
6
本书中选
1
本，有

再从剩余
5
本书中选择
2
本，有

剩余的就是
2
本书，有

所以总共有

种分配方法

种分配方法

种分配方法。

种分配方法；

种分配方法

种分配方法

种分配方法。


- 20 -

（3
）解：由（
1
）可知分组后共有
60
种方法，分别分给甲乙丙 后的方法有



（
4
）解：由（
1
）可知分组后共有
60
种方法，分别分给甲乙丙后的方法有



（
5
）解：从
6
本书中选择
2
本书，有

再从剩余
4
本书中选择
2
本书，有

剩余的就是
2
本书，有

所以有

种分配方法；

种分配方法；

种。

种。

种分配方法
;
种分配方法。

但是，该过 程有重复。假如
6
本书分别为
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
，若三个步骤分别选出的是

。则所有情况为

，

所以分配方式共有


（
6
）解：从
6
本书中选择
2
本书，有

再从剩余
4
本书中选择
2
本书，有

剩余的就是
2
本书，有

所以有

种分配方法；

种分配方法；

，

种

，

。

，

，

种分配方法
;
种分配方法。

但是，该过程有重复。假如
6
本书分别为
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
，若三个步骤分别选出的是

。则所有情况为

，

所以分配方式共有

（
7
）解：由（
3
）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配 方法为


种

，

种

，

。

，

，


- 21 -

（
8
）解：由（
3
）可知，将 三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为



（
9
）解：从
6
本书中选
4
本书的方法有

从剩余
2
本书中选
1
本书有

种


种

种

因为在最后两本书选择中发生重复了

所以总共有


种

（
10
）解：从
6
本书中选
4
本书的方法有

从剩余
2
本书中选
1
本书有

种


种

因为在最后两本书选择中发生重复了

所以总共有


种

（
11
）解：由（
5
）可知，将三种分配情况 分别分给甲乙丙三人即可，即



（
12
）解：由 （
5
）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即


种

种

【考点】排列、组合及简单计数问题
< br>【解析】【分析】（
1
）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配 方法；


（
2
）根据排列组合，采用消序法，求出相应的方法数即可；


（
3
）根据加法原理和乘法原理，结合排列组合，即可求出相应的分配方式；


（
4
）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法；


（
5
）采用消序法，结合排列组合进行运算即可；


（
6
）采用消序法，结合排列问题，即可求出分配方法
.

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