高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2．具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．


典例分析


直接法
（
优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）
【例1】 从
5
名外语系大学生中选派
4
名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义 工活动，要求翻
译有
2
人参加，交通和礼仪各有
1
人参加，则不同的 选派方法共有 ．




【例2】 北京《财富 》全球论坛期间，某高校有
14
名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，
每 班
4
人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
44
C12
443
14
C
12
C
8
A．
CC C
B．
CAA
C． D．
C
12
1 4
C
12
C
8
A
3

3
A
3
12
14
4
12
4
8
12
14
4
12
4
8





【例3】 在平面直角坐标系中，
x
轴正半轴上有
5
个点，
y
轴正半轴有
3
个点，将
x
轴上这
5
个点和
y
轴
上这
3
个点连成
15
条线段，这
15
条线段在第一象限内的交点最多有（ ）
A．
30
个 B．
35
个 C．
20
个 D．
15
个





3 20

【例4】 一个口袋内有
4
个不同的红球，
6
个不同的白球，
⑴从中任取
4
个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
⑵若取一个红 球记
2
分，取一个白球记
1
分，从中任取
5
个球，使总分不 少于
7
分的取法有多
少种？








【例5】 一个口袋内装有大小相同的
7
个白球和
1
个黑球．
⑴从口袋内取出
3
个球，共有多少种取法？
⑵从口袋内取出
3
个球，使其中含有
1
个黑球，有多少种取法？
⑶从口袋内取出
3
个球，使其中不含黑球，有多少种取法？









【例6】 有
1 2
名划船运动员，其中
3
人只会划左舷，
4
人只会划右舷，其余5
人既会划左舷也会划右
舷．从这
12
名运动员中选出
6
人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？

1
11
【例7】 若
x?A
，则
?A
，就称
A
是伙伴关系集合，集合
M?{?1，0，，，，12，3，4}
的所有非空
32
x
子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．
15
B．
16
C．
2
8
D．
2
5








【例8】 从
6
名 女生，
4
名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取
5
名学生组成课外小组， 则不同的
抽取方法种数为______．
2
A．
C
3
6
?C
4

2
?C
3
B．
C
64

5
C．
C
10

2
D．
A
3
6
?A
4










【例9】 某 城市街道呈棋盘形，南北向大街
3
条，东西向大街
4
条，一人欲从西南角走到 东北角，路程
最短的走法有多少种．







【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共
11
级，上楼可以一步上一级， 也可以一步上两级，若规定从二
楼到三楼用
7
步走完，则上楼梯的方法有______ 种．











5 20

【例11】 亚、欧 乒乓球对抗赛，各队均有
5
名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由
1
号队员
比赛，负者淘汰，胜者再与负方
2
号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一 方获胜，形成一
种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？












T
【例12】 设含有
10
个元素的集合的全部子集数为
S
，其中由
3
个元素组成的子集数为
T
，则的值为
S
（ ）
20151621
A． B． C． D．
8












【例13】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿
x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经
0)
过
5
次跳动质点落 在点
(1，
（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为 ．
















【例14】 从
10
名男同学 ，
6
名女同学中选
3
名参加体能测试，则选到的
3
名同学中 既有男同学又有女同

学的不同选法共有________种（用数字作答）







A
2
，A
3
，A
4
四点，
OB
边上有
B
1
，B2
，B
3
，B
4
，B
5
共
9
个点，【例15】 在
?AOB
的边
OA
上有
A
1
，
连结线段
A
i
B
j
(1≤i≤4，≤1j≤5)
，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对
数共有：（ ）
A．
60
B．
80
C．
120
D．
160








【例16】 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？
⑴
A
、
B
必须当选；
⑵
A
、
B
都不当选；
⑶
A
、
B
不全当选；
⑷ 至少有2名女生当选；
⑸ 选出 5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生
担任，文娱委员由女 生担任．


















【例17】 甲组有
5
名男同学，
3
名女同学；乙组有
6< br>名男同学、
2
名女同学．若从甲、乙两组中各选出
2
7 20

名同学，则选出的
4
人中恰有
1
名女同学的不同选法共有 （ ）
A．
150
种 B．
180
种 C．
300
种 D．
345
种




【例18】 从
10
名大学毕业生中选
3
人担任村长助理 ，则甲、乙至少有
1
人入选，而丙没有入选的不同选
法的种数为（ ）
A．
85
B．
56
C．
49
D．
28





【例19】 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果 要求至少有1名女生，那
么不同的选派方案种数为（ ）
A．
14
B．
24
C．
28
D．
48





【例20】 要从
10
个人中选出
4
个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有
多少种不同的选法？






【例21】 有四个停车位，停放四辆不同的车 ，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的
停车位上，共有多少种不同的停法？








【例22】 某班5位同 学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周
二，学生乙不能安排在周 五，则他们不同的值日安排有（ ）
A．288种 B．72种 C．42种 D．36种

【例23】 某班有
30
名男生，
30
名女生，现要从中选出
5
人组成一个宣传小组，其中男、女学生 均不少
于
2
人的选法为（ ）
21555
C
2A．
C
3020
C
46
B．
C
50
?C
30
?C
20

1441 3223
C．
C
5
50
?C
30
C
20< br>?C
30
C
20
D．
C
30
C
20
?C
30
C
20






【例24】
用1，2，3，4，5，6这6个数 字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有
多少个
⑴数字1不排在个位和千位
⑵数字1不在个位，数字6不在千位．





【例25】 甲、乙、丙、丁、戊
5
名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次 ，甲、乙两名参赛者
去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然 不会是最差
的”．从这个回答分析，
5
人的名次排列共有_______（用数字作答 ）种不同情况．





【例26】 某高校外语系有
8
名奥运会志愿者，其中有
5
名男生，
3
名女生，现从中选
3
人参加某项“好运
北京”测试赛的翻译工作，若要求这
3
人中既有 男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．
45
种 B．
56
种 C．
90
种 D．
120
种




【例27】 用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五 位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五
位数的个数为（ ）
A．
120
B．
72
C．
48
D．
36






【例28】
某电视台连续播放
5
个不同的广告，其中 有
3
个不同的商业广告和
2
个不同的奥运宣传广
告，要求最后播放的 必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的
播放方式有（ ）
9 20

A．
120
种 B．
48
种 C．
36
种 D．
18
种





【例29】
从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，
要求每个城市有一人游览， 每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，
则不同的选择方案共有_____种（用 数字作答）．






【例30】
从
4
名男生和
3
名女生中选出
3
人，分别从事三项不同的 工作，若这
3
人中至少有
1
名女生，
则选派方案共有（ ）
A．
108
种 B．
186
种 C．
216
种 D．
270
种






【例31】 甲组有
5
名男同学，
3
名女同学；乙组有
6< br>名男同学、
2
名女同学．若从甲、乙两组中各选出
2
名同学，则选出的
4
人中恰有
1
名女同学的不同选法共有（ ）
A．
150
种 B．
180
种 C．
300
种 D．
345
种





【例32】
将
4
名大学生分配到
3
个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
_______种（用数字作答）．







【例33】 用数字1,2,3,4,5
可以组成没有重复数字，并且比
20000
大的五位偶数共有 （ ）
A．
48
个 B．
36
个 C．
24
个 D．
18
个

【例34】 一生产过程有
4
道工序 ，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等
6
名工人中安排
4
人
分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排
1
人，第四道工序只能从甲、丙两
工人中安排
1
人，则不同的安排方案共有（ ）
A．
24
种 B．
36
种 C．
48
种 D．
72
种





【例35】 2 位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生
相邻，则不同 排法的种数为 （ ）
A．36 B．42 C． 48 D．60







【例36】 从
6
名女生，
4
名男生中，按性别采用分层 抽样的方法抽取
5
名学生组成课外小组，则不同的
抽取方法种数为______．
2
A．
C
3
6
?C
4

2
?C
3
B．
C
64

5
C．
C
10

2
D．
A
3
6
?A
4







7
名志愿者中安排
6
人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排
3
人，则不同的安排【例37】
方案共有 种（用数字作答）．










【例38】 给定集合
A< br>n
?{1,2,3,,n}
，映射
f:A
n
?A
n< br>满足：
①当
i,j?A
n
,i?j
时，
f(i)? f(j)
；
②任取
m?A
n
，若
m≥2
，则有< br>m?{f(1),f(2),,f(m)}
．
则称映射
f
：
A
n
?A
n
是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射
f
：
A
3
?A
3
是一个“优映射”．
11 20

表1

表2

1 2 3
i


f(i)

2 3 1

⑴

1 2 3 4
i


f(i)

3


已知表2表示的映射
f
：
A
4
?A
4
是一个优映 射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件
的映射）；
⑵若映射
f
：< br>A
10
?A
10
是“优映射”，且方程
f(i)?i
的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数
是_____．




i

1

2

3

4

f(i)

2

3

1

4






【例39】 将
7
个不同的小球全部放入编号为
2
和
3
的两个小盒子里，使得每个盒 子里的球的个数不小于
盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．






【例40】 将4个颜色互不相同的球全部放入 编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的
个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 （ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种







【例41】 一个口袋内有
4
个不同的红球，
6
个不同的白球，
⑴从中任取
4
个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
⑵若取一个红 球记
2
分，取一个白球记
1
分，从中任取
5
个球，使总分不 少于
7
分的取法有多
少种？

【例42】 正整数
a
1
a
2
a
n
?
a
2n?2
a
2n?1
(n?N， n?1)
称为凹数，如果
a
1
?a
2
??a
n，且
a
2n?1
?a
?n2
?
2
a
n
a
i
?{0，，12，，9}(i?1，2，)
，请回答三位凹数
a
1
a
2
a
3
(a
1
?a
3
)
共，其中
有 个（用数字作答）．





2010
年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派 四人分
【例43】
别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事 前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．
36
种 B．
12
种 C．
18
种 D．
48
种



【例44】
某地奥运火炬接 力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬
手只能从甲、乙、丙三人中产生 ，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传
递方案共有_______种．（用数字作答）




【例45】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色 的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，
每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同 的出牌方法？





【例46】
从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有
（ ）
555555555
A
10
A
5
C
10
P
5
5
种 C．
C
10
C
7
A
10

A．
C
7
种 B．
A
7
种 D．
C
7




【例47】
12名同 学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方
案共有（ ）
444
C
12
C
8
C
4
A．
CCC种 B．3
CCC
种 C．
CCA
种 D．种
A3
3
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
3
3


【例48】
袋中装有分别编号为
1,2,3,4
的
4
个白球和
4
个黑球，从中取出
3
个球，则取出球的编号互
不相同的取法有（ ）
13 20

A．
24
种 B．
28
种 C．
32
种 D．
36
种．




【例49】
现有男、女学生共
8
人，从男生中选2
人，从女生中选
1
人分别参加数学、物理、化学三
科竞赛，共有
90
种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A．男生
2
人，女生
6
人 B．男生
3
人，女生
5
人
C．男生
5
人，女生
3
人 D．男生
6
人，女生
2
人．




【例50】
将
4
个小球任意放入
3
个不同的盒子中，
⑴若
4
个小球各不相同，共有多少种放法？
⑵若要求每个盒子都不空，且
4
个小球完全相同，共有多少种不同的放法？
⑶若要求每个盒子都不空，且
4
个小球互不相同，共有多少种不同的放法？




【例51】
将
7
个小球任意放入
4
个不同的盒子中，每个盒子都不空，
⑴若
7
个小球完全相同，共有多少种不同的放法？
⑵若
7
个小球互不相同，共有多少种不同的放法？













【例52】
四个不同的小球，每球放入编号为
1
、
2
、< br>3
、
4
的四个盒子中．
⑴ 随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？
⑵ 四个盒都不空的放法有多少种？
⑶ 恰有一个空盒的放法有多少种？
⑷ 恰有两个空盒的放法有多少种？
⑸ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？

【例53】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿
x
轴 跳动，每次向正方向或负方向跳
1
个单位，若经
0
?
处（允许重复过 此点）过
5
次跳动质点落在点
?
3，
，则质点不同的运动方法共__ _________
0
?
处（允许重复过此点）种；若经过
m
次跳动 质点落在点
?
n，
，其中
m≥n
，且
m?n
为偶数 ，
则质点不同的运动方法共有_______种．






2，3，4，5}
，【例54】 设集合
I?{1，
选 择
I
的两个非空子集
A
和
B
，要使
B
中最 小的数大于
A
中最大的
数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种







2，3，4}
到集合
N?{1，2，3}
的 映射，
g
是集合
N
到集合
M
的映射，则不同【例55】 < br>f
是集合
M?{1，
的映射
f
的个数是多少？
g有多少？满足
f(a)?f(b)?f(c)?f(d)?8
的映射
f
有 多少？满足
g)
有多少？
f[g(x)]?x
的映射对
(f，











【例56】
排 球单循坏赛，胜者得
1
分，负者
0
分，南方球队比北方球队多
9支，南方球队总得分是
北方球队的
9
倍，
设北方的球队数为
x
．
⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；
⑵证明：
x?6
或
x?8
；
⑶证明：冠军是一支南方球队．





15 20

【例57】 已知集合
A?
?
1,2,3,4
?
，函数
f(x)
的定义域、值域都是< br>A
，且对于任意
i?A,f(i)?i
．设
a
2
a< br>3
a
4
??
a
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
是
1,2,3,4
的任意的一个排列，定义数 表
?
1
?
，若两个数表的
f(a)f(a)f(a)f(a)
1234
??
对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同 的数表的张
数为（ ）
A．
216
B．
108
C．
48
D．
24











间接法（直接求解类别比较大时）
【例58】
有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它 们任意三张
并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？








【例59】
从
0,2,4< br>中取一个数字，从
1,3,5
中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不
同的三位数的个数是（ ）
A．
36
B．
48
C．
52
D．
54








【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．

【例61】 设集合
S?
?
1,2,3,,9
?
，集合
A?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
是
S
的子集，且
a
1
,a
2
,a
3
满足
a
1
?a
2
?a
3
，
a
3
?a
2
≤6
，那么满足条件的子集
A
的个数为（ ）
A．
78
B．
76
C．
84
D．
83






【例62】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名
学生不能分 到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．
18
B．
24
C．
30
D．
36





3
名女生，
【例63】
某高校外语系有< br>8
名奥运会志愿者，其中有
5
名男生，现从中选
3
人参加某 项“好
运北京”测试赛的翻译工作，若要求这
3
人中既有男生，又有女生，则不同的选 法共有（ ）
A．
45
种 B．
56
种 C．
90
种 D．
120
种





【例64】 对于各数互不相等的正数数组
?
i
1
,i< br>2
,???,i
n
?
（
n
是不小于
2
的正整数），如果在
p?q
时有
i
p
?i
q
，则 称“
i
p
与
i
q
”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所 有“顺序”的个数称为此数
组的“顺序数”．例如，数组
?
2,4,3,1
?
中有顺序“
2,4
”，“
2,3
”，其“顺序数”等于
2< br>．若
各数互不相等的正数数组
?
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
?
的“顺序数”是
4
，则
?
a
5
,a
4
,a
3
,a< br>2
,a
1
序数”是_________．
“顺
?
的






3，4}
，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角
2}
，
C?{1，【例65】
已知集合
A?{5}
，
B?{1，
坐标系中点的坐 标，则确定的不同点的个数为（ ）
17 20

A．
33
B．
34
C．
35
D．
36







【例66】
甲、乙、丙
3
人站 到共有
7
级的台阶上，若每级台阶最多站
2
人，同一级台阶上的人不区
分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．





【例67】
设有编号为
1
，
2
，
3< br>，
4
，
5
的五个球和编号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
的五个盒子，现将这五
个球放入5
个盒子内，
⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方
法？










【例68】
在排成
4?4
的方阵的
16
个点中，中心4
个点在某一个圆内，其余
12
个点在圆外，在
16
个
点中任选
3
个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（ ）
A．
312
个 B．
328
个 C．
340
个 D．
264
个



【例69】 从甲、乙等
10
名同学中挑选
4
名参加某项 公益活动，要求甲、乙中至少有
1
人参加，则不同的
挑选方法共有（ ）
A．
70
种 B．
112
种 C．
140
种 D．
168
种

?
ax?by?1
b)
的数目为【例70】 若关于
x，
有解，且所有解都是整数，则有序数对
(a，
（ ） y
的方程组
?
22
x?y?17
?
A．
36< br> B．
16
C．
24
D．
32






【例71】 从< br>5
名男医生、
4
名女医生中选
3
名医生组成一个医疗小分队， 要求其中男、女医生都有，则
不同的组队方案共有（ ）
A．
70
种 B．
80
种 C．
100
种 D．
140
种





【例72】 甲、乙两人从
4
门课程中各选修
2
门，则甲、乙所选的课程中至少有
1
门不相同的选法共有（ ）
A．
6
种 B．
12
种 C．
30
种 D．
36
种



2，，9
?
，则含有 五个元素，且其中至少有两个偶数的
A
的子集个数为_____． 【例73】
A?
?
1，





【例74】
在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的 数共有_______
个．




【例75】 在?AOB
的
OA
边上取
4
个点，在
OB
边上取
5
个点（均除
O
点外），连同
O
点共
10
个点，现
任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？




a，b，c，d，e
共
5
个人，从中选
1名组长
1
名副组长，但
a
不能当副组长，不同的选法总数是【例76】
（ ）
A．
20
B．
16
C．
10
D．
6



19 20

【例77】
将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的 班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名
学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．
18
B．
24
C．
30
D．
36





【例78】 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成___ _个三角形．





【例79】
从
5
名奥运志愿者中选出
3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一
项，其中甲不能从事翻译工作，则不同 的选派方案共有（ ）
A．
24
种 B．
36
种 C．
48
种 D．
60
种



【例80】
某校从
8
名教师中选派
4
名教师同时去
4
个边远地区支教（每地
1
人），其中甲和乙不同去，
则不同的选派方案共 有种（ ）
A．
1320
B．
288
C．
1530
D．
670




【例81】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各
一台，则不同的选法有_____种（用数字作答）