高中数学排列组合例题

排列组合

一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
C
1
3

然后排首位共有
C
1
4

最后排其它位置共有
A
3
4

由分步计数原理得
C< br>113
4
C
3
A
4
?288


C
1
4
A
3
4
C
1
3

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多 少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素
内部进行自排。由分 步计数原理可得共有
A
522
5
A
2
A
2
?480
种不同的排法
甲乙
丙丁



要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并

为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱 共有
A
5
5
种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个 空位共有种
A
4
6
不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
A
54
5
A
6
种


元 素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
练习题：某班新年联欢会原 定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个
新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元 素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元
素之 间的全排列数,则共有不同排法种数是：
A
7
A
3
73

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
4
7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有
A
4
7
种
方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有

方法


定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？


C
5
10

五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配
到车 间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
7
6
种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素

的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
n
种


练习题：
1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前 又增加了两个新节目.如
果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
7
8

六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与 坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
4
4
并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即
7
！
C
D
B
EA
AB
C
DEFGHA
F
G
H


一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个 不同元素中取出m个元素作圆

形排列共有
1
n
A
m
n



练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排 前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
A
2
4
种,再排后4个位置上的特殊元素丙有
A
1
4
种,其余的5人在5个位置上 任意排列
有
A
5
215
5
种,则共有
A
4
A
4
A
5
种
前 排
后 排



一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研

练习题 ：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间
的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装
法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
2
种方法.再把 4个元素(包含一个
复合元素)装入4个不同的盒内有
A
4
根据分步计数原理 装球的方法共有
4
种方法，
C
5
2
A
4
4


练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任 务,
每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其 中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之
间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当 作一个小集团与３排队共有
A
2
2
种排法，再排小集团内部共有
22
2
A
2
A
2
2
A
2
A
2
种排法.
2
A
2
种排法，由分步计数原理共有
练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C
9
4

3
2 .
x?y?z?w?100
求这个方程组的自然数解的组数
C
103

十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,
不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中< br>有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有
C
5
3
,只 含有1个偶数的取
12
123
法有
C
5
。再淘汰和小于10 的偶数共9种，符合条
C
5
,和为偶数的取法共有
C
5
C< br>5
?C
5
123
件的取法共有
C
5
C
5
?C
5
?9


有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出

它的反面,再从整体中淘汰.


1524
3

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
内的

抽法有多少种?
练习题：
十二.平均分组问题除法策略
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数
解: 分三步取书得
C
6
2
C
4
2
C
2
2
种方法,但这 里出现重复计数的现象,不妨记6本书为
54
为
A
2
2
A< br>5
A
4

ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取E F该分法记为(AB,CD,EF),则
255
22
2. 5男生和５女生站成一排照 像,男生相邻,女生也相邻的排法有
A
2
A
5
A
5
种
C
6
2
C
4
C
2
中还有(AB,EF ,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共十.元素相同问题隔板策略
C
2
C
2
C
2
A
3
有
A
3
3
种分法。
3
种取法 ,而这 些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有
642
例10.有10个运动员名额，分给 7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它 们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所 以分组后要一定要除以
A
n
n
(
n
为均分的

组数)避免重复计数。
个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每

一种插板方法对应一种分法共有
C
9
6
种分法。


练习题：
542
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（
C
13
）
C
8
4
C
4
A
2
2.10名学生分成3组 ,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少
一二三四五六七
种不同的
班班班班班班班

分组方法 （1540）

将n个相同的元素分 成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，
3.某校高二年级共有六个班级 ，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级

m?1
插入n个元素排成 一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
n
且每班安
?1


2
排2名，则不同的安排方案种数为______（
C
4
2
C
2
2
A
6
A
2
2
?90）

十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共 10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标
准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
22
3
C
3
种,只会唱的5人中只有1人选
上唱歌人员
C
1
5
C< br>12
,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
C
2
C
23
C
4
种
55
种，由分类
计数原理共有
< br>C
21
3
C
2
3
?C
5
C
12
3
C
4
?C
2
5
C
2
5种。
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又
有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,
他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
（27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能
关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少
种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
C
3
5
种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒

模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法
有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例 15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这
五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,
有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有
C
2
5
种还剩下3球3盒序号不能对 应，利用实
际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有
只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数
原理有2C
2
5
种

534

3号盒 4号盒 5号盒


对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公 式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收
到意想不到的结果


练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡， 则四张
贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72
种
1
3
2
4
5


十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
所有的偶因数为：
C
1
?C
23
C
45
55
?C
5
?
5
?C
5

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线 解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
C
4
8
?12? 58
,每个四面体
有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成
3?58?174
对异面直线
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的
选法有多少种？ < br>解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也
不在同一列, 有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这
人所在的行列都划掉，如此继续下去. 从3×3方队中选3人的方法有
C
1
C
11
32
C
1
种。
再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有
C
3
5
C
3
5

→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → →
1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7
选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在
同一列的3人有
C
31
5
C
3
5
C
3
C
1
C
1
21
选法。



练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组 成其中实线表示马路，从A走到B的最短
路径有多少种？(
C
3
7
? 35
)
B
A
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 解:
N?2A
5
5
?2A
43
4
?A
3
?A
2
2
?A
1
1
?297

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列
起来, 第71个数是 3140
十九.树图策略
例19．
3
人相互传球,由甲 开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求后,球仍回到甲的
手中,则不同的传球方 式有______
N?10

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与 椅，其中
i
号人不坐
i
号椅（
i?1,2,3,4,5
）的
不同坐法有多少种？
N?44

二十.复杂分类问题表格策略
例2 0．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,
要求各字母均 有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1

兰 3 2 1 2 1 1

取法
C
11
1213212231
二十一：住店法策略
5
C
4

C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
C
3

C
5
C
3

C
5
C
2



解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能 重复，
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数
有 .

分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7
5
种.
22.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素 的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，
留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有
A
5
种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数
A
2
5
2
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为

A
5
5

A
2
?5?4?3?A
3
5

2
解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有
A
3
种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A
3
5
?1?A
3< br>55
变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路 线?

B
A


B
解: 如图所示
A




将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:

也可以看作 是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有
A
11
11其中必有四个↑和七个→组成!
A
4

?A
7
种排法.
47
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,

所以从A到B共有
C
5?14
(5?1)?(8
?C
条不同的路径.

?1)11