高中数学-重复的排列组合

重复的排列组合
一. 有重复排列–––分步计数原理
例1. 4个同学争夺3项竞赛冠军，冠军获得者共有几种可能情况？
解：完成这件事情可分三步：（ 1）第一项冠军有4种可能；（2）第二项冠军有4种
可能；（3）第三项冠军有4种可能。所以可能情 况有：4×4×4＝64（种）。
一般地，从n个不同元素里取出允许重复的m个元素，按一 定顺序排成一列，那么，
第1、第2、…、第m个位置上选取元素的方法都有n种。由分步计数原理得每 次从n个不
同元素里取出允许重复的m个元素的排列数为：

相关练习：
用0，1，2，…，9这10个数字可组成多少个8位数字的电话号码？（10
8
）

二. 不尽相异元素的排列–––组合法
例2. 小麦、大麦品种各1种，种在5种不同土质的试验田里，3块种小麦，2块种大麦，
有多少种种法？
解：这5个不尽相异的元素有3个相同，另2个相同，所以共有：（种）
种法。
一般地，在n个不尽相异的元素里，如果有m
1
个元素相同，又有m
2
个元素相同，并
且m
1
＋m
2
＝n，那么这n个元素的不 同排列种数。

三. 相同元素分组––––隔板法
例3. 5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有多少种放法？
解法1：每盒先放入1球，剩下1球任选1盒，共有：（种）放法。
解法2：（第一隔板法）
5个小球可形成6个空隙，由于每盒至少放1个小球，所以除去两边空隙还剩4个空，
只要在这4个位置上隔进3个板，即可满足要求。所以有：（种）放法。

例4. 将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有多少种放法？
解法1：（分类法）
第一类：全部放入1个盒子里，有：
第二类：放入2个盒子里，有：
第三类：放入3个盒子里，有：
（种）放法；
（种）放法；
（种）放法；
第四类：放入4个盒子里，有4种放法。
所以，共有：4＋24＋24＋4＝56（种）放法。

解法2：（第二隔板法）
将4个盒子与5个小球看成9个相同元素，除去两边形成8个空隙，将这8个空隙隔
进 3个板，即有：（种）放法。
一般地，相同元素分组，可用隔板法。如果每组至少一个元素可 用第一隔板法，如果
没有要求可用第二隔板法。
相关练习：
1. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，每班至少1人，

不同的分配方案有几种？（
有几种？（）
）
2. 某校准备参加2006年全国数学联赛，把10个名额分给高三8个班，不同的分配方案

四. 平均分组问题––––平均分给几组，除以几的阶乘
例5. 将6个同学平均分成3组有多少种分法？
错解：分法有：（种）
分析：若 将6个同学编号，假如分组情况如下：1、2；3、4；5、6。先挑出1、2与后
挑出1、2是同一情 况，没有先后顺序差别，上面的解法产生了重复。
正解：分法有：（种）
一般地，把不同的元素平均分成几组，就除以几的阶乘。
相关练习：
将5个不同礼品分成3组，则有几种分法？