高中数学排列组合及二项式定理知识点-高中数学排列组合知识点

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高中数学之排列组合二项式定理
一、分类计数原理和分步计数原理：
分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方 法间是彼此独立的，任选其中一种
方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法 种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤
中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各
步，才能达到完 成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一 种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类
与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有 当
n
个步骤都做完，这件事才能
完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存 的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：
（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出
n
个元素的问题；
区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数：
排列数的公式：
A
n
?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)?
n
注意：①全排列：< br>A
n
?n!
；
m
n!
(m?n)

(n?m)!
②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120， 6！=720；
排列数的性质：
mm?1
①
A
n
?nA
n?1
（将从
n
个不同的元素中取出
m(m?n)
个元素， 分两步完成：
第一步从
n
个元素中选出1个排在指定的一个位置上；
第二 步从余下
n?1
个元素中选出
m?1
个排在余下的
m?1
个 位置
上）
mm?1m
②
A
n
?mA
n?1
?A
n?1
（将从
n
个不同的元素中取出
m(m?n)
个 元素，分两类完成：
第一类：
m
个元素中含有
a
，分两步完成：
第一步将
a
排在某一位置上，有
m
不同的方法。
第二步从 余下
n?1
个元素中选出
m?1
个排在余下的
m?1
个位置
上）
即有
mA
n?1
种不同的方法。
第二类：
m
个元素中不含有
a
，从
n?1
个元素中取出
m
个 元素排在
m
个
位置上，有
A
n?1
种方法。
m< br>A
n
n(n?1)(n?2)
?
(n?m?1)n!
组合数的 公式：
C?
m
??(m?n)

m!m!(n?m)!
A< br>m
m
n
m
m?1
组合数的性质：
mn?m
①
C
n
?C
n
（从
n
个不同的元素中取出
m
个元素后，剩下
n?m
个元素，也就是说，

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从
n
个不同的元素中取出
m
个元素的每一个组合，都对 应于从
n
个不
同的元素中取出
n?m
个元素的唯一的一个组合。）
mmm?1m?1
②
C
n
?C
n?1
?C
n?1
（分两类完成：第一类：含
a
，有
C
n?1
种方法； 第二类：不含
a
，
有
C
n?1
种方法；）
m③
C
n
?
m
n
m?1
先选出1个元素，第二步 ：再从余下
n?1
个元素中选出
m?1
C
n?1
（第一步：
m
个，但有重复，如先选出
a
1
，再选出
a
2,a
3
,
?
,a
m
组成一个组合，与
先选出< br>a
2
，再选出
a
1
,a
3
,
?,a
m
组成一个组合是相同的，且重复了
m
次）
mm?1m? 1m?1m?1
④
C
n
?C
n?1
?C
n?2?C
n?3
?
?
?C
m?1
(m?n)
（分< br>n?m?1
类：第一类：含
a
1
，
为
C
n? 1
；第二类：不含
a
1
，含
a
2
，为
C< br>n?2
；第三类：不含
a
1
，不含
m?1m?1
a< br>2
，含
a
3
，为
C
n
m
?
?
3
1
；……）
mm0m?111m?1m
⑤
C
n
?C
r
C
n?r
?C
r
C
n?r
?
?
?C
r
C
n?r
?C
n?r
（将< br>n
元素分成分成两个部分，第
一部分含
r(r?m)
个元素，第二部分 含
n?r(n?r?m)
个元素：
m0
在第一部分中取
m
个元素，在第二部分不取元素，有
C
r
C
n?r
；
在第一 部分中取
m?1
个元素，在第二部分取1个元素，有
1
C
r
m?1
C
n?r
；……）
（3）排列、组合的应用：
解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还
是需要分步
切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确
排列组合应用问题主要有三类：不带 限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或
组合题；排列组合综合题；
解排列组合的应用题，通常有以下途径：
①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素——特殊元素法
②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置——特殊位置法
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数——
间接法
（4）对解组合问题，应注意以下三点：
①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。
②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。
③命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。

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（3）解排列、组合题的基本策略与方法：
①去杂法：对有限制条件的问题，先 从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这
是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 ②分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
这是解排列 组合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏。即：每
两类的交集为空集，所有各类的并集为全 集。
③分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步
计 数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则
是先分类，后分步。
④插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，
然后再将有限制 条件的元素按要求插入排好的元素之间。
⑤“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“ 捆绑”为一个大元素，然
后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。
⑥穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。 ⑦消序处理：对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，
若是“无 序分组”，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。
三、二项式定理：
0n1n?1 rn?rrnn
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab ?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b(n?N< br>*
)

（1）通项：
T
r?1
?C
n
r
a
n?r
b
r
(0?r?n)

（2）二项式系数的性质：
mn?m
①二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项 的二项式系数相等，即：
C
n
?C
n

②二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，
n
即当
n
为偶数时，第
?1
项的二项式系数最大，为
C
n
2
；
2
n?1n?1
当
n
为奇数时，第项及
?1
项 的二项式系数最大，为
C
n
2
?C
n
2
；
22
01nn
n
③二项展开式中所有项的二项式系数之和等于
2
， 即
C
n
?C
n
???C
n
?2
；
n
n?1n?1
④二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等， 即
024135
C
n
?C
n
?C
n
??? C
n
?C
n
?C
n
???2
n?1
； < br>123nn?1
⑤
C
n
?2C
n
?3C
n< br>???nC
n
?n?2

pqr
（3）、
(a?b? c)
展开式中
abc
的系数求法（
p,q,r?0
的整数且
p?q?r?n
）
rrqn?r?qqr
(a?b?c)
n
?[( a?b)?c]
n
?C
n
(a?b)
n?r
c
r< br>?C
n
C
n
bc

?r
a
n

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325< br>如：
(a?b?c)
展开式中含
a
3
b
2
c
5
的系数为
C
10
C
7
C
5
?< br>10
10!

3!?2!?5!
（4）二项式定理的应用：
①求展开式中的指定的项或特定项：
如：①若
(2x
2
?
②求
(|x|?
1
n

)
(n?N)
，展开式中含有常数项，则
n
的最小值是 ；
3
x
1
?2)
3
的展开式中的常数项。
|x|
注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。
②求展开式中的某一项的系数：
10
如：在
(x?3)
的展开式中，
x
6
的系数是 ；
③求展开式中的系数和：
2n2n
如：
(1?x)?(1?x)??? (1?x)?a
0
?a
1
x?a
2
x???a
n< br>x
的所有各项的系数
和是
2
n?1
?2
（赋值法：令
x?1
）；
a
0
?a
2
?a
4
? ??
f(1)?f(?1)
；
2
a
1
?a
3
?a
5
???
f(1)?f(?1)
2n
；（令
f(x) ?a
0
?a
1
x?a
2
x???a
n
x< br>）
2
④求二项式展开式的系数最大项的问题：
求
(a?bx)展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为
A
1
,A
2
,?,A
n?1
；
n
?
A
r?1
?A
r
设第
r?1
项系数最大，则
?
；然后求出不等式组的整数解。 A?A
r?2
?
r?1
如：求
(2?x)
展开式中系数 最大的项。
⑤利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
如：求证：
3
2n?2
?8n?9
能被64整除（
n?N
*
）
⑥证明有关的不等式问题：
有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开 式中的某些正项适当
删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等 式的传
递性进行证明。①
(1?x)?1?nx
；②
(1?x)
n< br>?1?nx?
如：求证：
2?(1?
n
10
n(n?1)2
（
x?0
）
x
；
2
1
n
)

n
⑦进行近似计算：
求数的
n
次幂的近似值时，把底数化为最靠近 它的那个整数加一个小数(或减一个小数)
的形式。
当
|x|
充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

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①
(1?x)?1?nx
； ②
(1?x)
n
?1?nx?
n
n(n?1)
2
x
；
2
如：求
1.05
6
的近似值，使结果精确到0.01；