高中数学第十章-排列组合

高三数学总复习
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高考复习科目：数学 高中数学总复习（九）
复习内容：
高中数学第十章-排列组合
复习范围：第十章
编写时间：2004-7
修订时间：总计第三次 2005-4
一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重复元素的排列.
．．．．．．．从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……
第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m =
m
n
.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：
m
种）
二、排列.
1. ⑴对排列定义的理解.
定义：从n个不同的元素中任取m(m≤ n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m
．．．．．．
个元素的一个 排列.
⑵相同排列.
如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.
⑶排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示.
⑷排列数公式：
m
n
A
m
?n(n?1)?(n? m?1)?
n!
(m?n,n,m?N)

(n?m)!
注意：
n?n!?(n?1)!?n!
规定0! = 1
mmmm?1mm?1
mm?1
0

A
n
规定
C
n
?C
n
A
n?
?nA
n
n
?1

1
?A
n
?A
m
?C
n
?A
n
?mA
n
?1
2. 含有可重元素的排列问题. < br>．．．．．．
对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a
1
，a
2
,…...a
n
其中限重复数为n
1
、n
2
……n
k
，
且n = n
1
+n
2
+……n
k
, 则S的排列个数等于
n?
n!
.
n
1
!n2
!...n
k
!
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数
n ?
数
n?
3!
?1
.
3!
三、组合. (1?2)!
?3
又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个
1!2!< br>1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个
组合.

m
⑵组合数公式：
C
m
?
A
n
?
n(n?1)?(n?m?1)
n
m
Am
m!
C
m
n
?
n!

m!(n?m )!
mn?mm?1mm
⑶两个公式：①
C
n
?C
n
;
②
C
n
?C
n
?C
n?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法
是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n- m个元素的唯一的一个组合.
（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同 小球其不同选法，分二类，一类是
含红球选法有
C
m?1
n
m?1m
?C
1
1
?C
n
一类是不含红球的选法有
C
n
）
②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某 一元素，只存在取与
不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以 有C
一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C
⑷排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
⑸①几个常用组合数公式
012n

C
n
?C
n
?C
n
???
n
n
?2
m?1
n
，如果不取这
m
n
种，依分类原理有
C
m?1mm
n
?C
n
?C
n?1
.
024135
C
n?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
???2
n?1
mmmm?1
C
m
n
? C
m?1
?C
m?2
?C
m?n
?C
m?n?1< br>kC?nC
k
n
k?1
n?1

11
?1< br>C
k
?C
k
nn?1
k?1n?1
②常用的证明组合 等式方法例.
i. 裂项求和法. 如：
123n1n?111
（利用
?????1???
）
2!3!4!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!n!
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法（即用
C
n
?C< br>mm?1
n
m33334
?C
n?1
递推）如：
C< br>3
?C
4
?C
5
??C
n
?C
n? 1
.
02122n
vi. 构造二项式. 如：
(C
n
) ?(C
n
)???(C
n
n
)?C
2n

nn2n
证明：这里构造二项式
(x?1)(1?x)?(1?x)
其中
x
n
的系数，左边为
01n?12n?2n00212n2
，而右边
?C
2n

C
n
?C
n
n
?C
n
?C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?(C
n
)?(C
n
)???(C
n
)
n
四、排列、组 合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局 部”
的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某< br>m(m?n)
个
n?m?1mn?m?1m
元素必相邻的排列有
An?m?1
?A
m
个.其中
A
n?m?1
是一个“整体 排列”，而
A
m
则是“局部排列”.
2
2
又例如①有n个 不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为
A
n
.
?
A
n?
1
1
?A
2

?12
. ② 有n件不同商品，若其中A、B排在一起有
A
n
n?1
?A
2
2?1
③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有
A
n
.
? A
n
n?1
注：①③区别在于①是确定的座位，有
A
2
种； 而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不
2
确定性.
④插空法：先 把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不
相邻问题” .
?mm
例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？
A
n
（插空法），当n
n?m
?A
n?m?1
– m+1≥m, 即m≤
n?1
时有意义.
2
⑤占位法：从元素的特殊性上讲 ，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特
殊性上讲，对问题中的特殊位置 应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次 序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有
A
n
种，
m( m?n)
个元素的全排列有
A
m
种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取 其中的某一种排法，可以利用除法起
m
n
到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其 中m个元素次序一定，共有
A
n
n
A
m
m
种排列方 法.
例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！ m！；解法二：（比例分配法）
m
A
n
n
A
m
.
⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有
nn
C
kn< br>?C
(k?1)
n
n
?C
n
A
k
k
.
C
2
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分 法？有
4
?3
（平均分组就用不着管组
2!
与组之间的顺序问题了） 又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？
（
P?< br>82
C
18
C
2
10
C
20
2!< br>）
注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共 有多少种排法？
?mmm
有
A
n
，当n – m+1 ≥m, 即m≤
n?1
时有意义.
n?m
?A
n?m?1
A
m
2
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：
x
1?x
2
?x
3
?x
4
?12
的正整数解的组数 就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之
间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板 ，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
显然
x
1
?x
2
?x< br>3
?x
4
?12
，故（
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解
(y
1
,y
2
,y
3
,y
4
)
， 对
应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的
3
解的组数等于插隔板的方法数
C
11
.
x1
x
2
x
3
x
4
注意：若为非负数解的x个数 ，即用
a
1
,a
2
,...a
n
中
ai
等于
x
i
?1
，有
x
1
?x
2
?x
3
...?x
n
?A?a
1
?1?a2
?1?...a
n
?1?A
，
进而转化为求a的正整数解的个 数为
C
A?n
.
⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作 排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r
n?1

个指定位置则有
A
r
A
n?r
.
例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的 排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置
上，共有多少种排法？
m1m?1< br>m?1
m
?1
；固定在某一位置上：不在某一位置上：
A
m< br>或
A
n?
（一类是不取出特殊元素a，有
A
n?
，< br>A
m
1
?A
m?1
?A
n?1
n
? A
n?1
1
n?1
rk?r
一类是取特殊元素a，有从m-1个位置 取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一
样的）
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。先C后A
策略，排列
C
r
C
n?r
A
k
；组合
C< br>r
C
n?r
.
ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排 列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A
策略，排列
C
n?r
A
k
；组合
C
n?r
.
iii 从n个不同元素中每次取 出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个
元素中的s个元素。先C后 A策略，排列
C
r
C
n?r
A
k
；组合
C
r
C
n?r
.
II. 排列组合常见解题策略：
①特 殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排
列组 合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥ 不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问
题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
① 均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其
分 法种数为
AA
r
（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再 除以
A
k
.
r
k
244
例：10人分成三组，各 组元素个数为2、4、4，其分法种数为
C
10
.若分成六组，各组人
C8
C
4
A
2
2
?1575
rk?rkrk?r
kkk
sk?sksk?s
22224
数分别为1、1、2、2、2、2，其 分法种数为
C
10
1
C
9
1
C
8

C
6
C
4
C
2
A
2
2
? A
4
②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序， 其分法种数为
A?A
m

m
233
例：10人分成三组，各 组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：
C
10
种.
?C
8
?C
5
5
?A
3
234
若从10人 中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有
C
10
种
C
8
C
5
?A
3
3
③均匀编号分组：n个 不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为
m
.
AA
r
r
?A
m
例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加 三种不同劳动，分法种数为
C
10
C
8
C
4
?A< br>3

3
2
244
A
2
④非均匀不编号分组 ：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，
m
不管是 否分尽，其分法种数为
A?C
n
1
C
n-
2
m1
…
C
n-
k
(m
1
?m
2
?...?m
k-1
)

235
例：10人分成三组，每组人数分别 为2、3、5，其分法种数为
C
10
C
8
C
5
?2 520
若从10人中选出6人分成三
123
组，各组人数分别为1、2、3，其分法种 数为
C
10
C
9
C
7
?12600
.
m
m

五、二项式定理.
n0n01n?1rn?rrn0n
1. ⑴二项式定理：
(a?b)?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab???C
n
ab< br>.
展开式具有以下特点：
① 项数：共有
n?1
项；
012rn
② 系数：依次为组合数
C
n
,C
n
, C
n
,?,C
n
,?,C
n
;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.
⑵二项展开式的通项.
rn?rr
（a?b)
n
展开式中的第r?1
项为：
T
r?1
?C
n
ab(0?r?n,r? Z)
.
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
②二项展开式的中间项二项式系数最大.
．．．．．
n
n
I. 当 n是偶数时，中间项是第
?1
项，它的二项式系数
C
2
n
最 大；
2
n?1n?1
?1
项，它们的二项式系数
C
II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第
2
2
③系数和：
01n
C
n
?C
n
???C
n
n
?2
024C
n
?C
n
?C
n
??
13
?Cn
?C
n
??
n?1n?1
2
?C
2
nn
最大.
?2
n?1

n
附：一般来说
(ax?by)(a,b
为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当．．．．．．．．．．．
?
A
k
?A
k?1
,
?
A
k
?A
k?1
a?1或b?1
时，一般采用解不等式组
?
或
?
(A
k
为T
k?1
的系数或系数的 绝对值）的
A?AA?A
kk?1kk?1
??
办法来求解.
n< br>⑷如何来求
(a?b?c)
展开式中含
a
p
b
qc
r
的系数呢？其中
p,q,r?N,
且
p?q?r?n
把
r
(a?b?c)
n
?[(a?b)?c]
n
视为二项 式，先找出含有
C
r
的项
C
n
(a?b)
n?r< br>C
r
，另一方面在
(a?b)
n?r
中
n
q n?r?qqqpq
含有
b
q
的项为
C
n?r
故在
(a?b?c)
中含
a
p
b
q
c
r
的项为
C
n
C
n?r
abc
.其系数为
ab?C
n?r
ab
，
r
C
n
C
n?
q< br>r
?
rqpqr
(n?r)!
n!n!
pqr
??? C
n
C
n?p
C
r
.
r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!
2. 近似计算的处理方法.
n
当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式
(1?a)?1?na
，因为 这时展开式的后面部分
2233nn
C
n
a?C
n
a??? C
n
a
很小，可以忽略不计。类似地，有
(1?a)
n
?1 ?na
但使用这两个公式时应注意a
的条件，以及对计算精确度的要求.