高中数学解排列组合问题的常用技巧

解排列组合问题的常用技巧

排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进 一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且 解题过程极易出现“重复”
和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积 累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。
解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问 题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行 分析解答，
同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍 几种常用的解题技巧。
一、特殊元素“优先安排法”
对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，在考虑其他元素。
例⒈ 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
Ａ．２４个 Ｂ．３０个 Ｃ．４０个 Ｄ．６０个
分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又 因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类：①０排在 末尾时，有
A
4
个，
1112111
②0不排在末尾时，则有
A
2
A
3
A
3
个，由分类计数原理，共有偶数
A
4
?A
2
A
3
A
3
?30
个，选 B．
2
例. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市 有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A. 300种 B. 240种 C. 144种 D. 96种
种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案（种），故选（B）。 解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有
二、总体淘汰法
对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。
例⒉ 100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？
33
3
分析：从100件产品中选3件产品的选法有
C
100
种，选好后 发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有
C
100
?C< br>97
?14260
种。
例 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 （ ）
A．120种 B．96种 C．78种 D．72种
31143 11
4
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有< br>A
4
种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有
A
3
A3
A
3
种排法，由分类计数原理，排法共有
A
4
?A< br>3
A
3
A
3
?78
第 1 页 共 8 页

种，选C。
例、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A． 24个 B。30个 C。40个 D。60个
332211
五个数字组成三为数的全排列有A
5
个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故 有
A
5
?A
4
?A
2
A
3
A3
?30
个偶数。
三、合理分类与准确分布法
解含有约束条件的排列 组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清晰，不重不漏 。
例⒊ 将5列火车停放在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b不停在第二条轨道上 ，那么不同的停放方法有多少种？
分析：由题意，可先安排a列车，并按其进行分类讨论：⑴若a列车 在第二轨道上，则剩下4辆列车可自由停放，有
A
4
种方法，⑵若a列车停第三或第四 或第五轨道上，则根据分布计数
1134113
原理有
A
3
A
3
A
3
种停法，再用分类计数原理，不同的停放方法共有
A
4?A
3
A
3
A
3
?78
种。
4
例⒋ 某帆船上有10名水手，他们分别在船左、右两侧，每侧4人，其中有2名水手只会划 左侧浆，1名只会划右侧浆，问这些水手不同的安排方法共有的种数为多少？
34
分析：根据 题意，可根据选的水手中含有这三名特殊水手的情况分类：⑴若被选出的4名水手中仅有1名只会右手侧的水手， 有
C
7
种选法；⑵若被选出的4名水手中有只会右手侧的
C
4
133
32
水手和只会左手侧的水手各1名，有
C
2
种选法；⑷若 被选出的4名水手中仅有只会左手侧
C
7
C
4
种选法；⑶若被选出的 4名水手中有只会右手侧的水手1名和只会左手侧的水手2名，有
C
7
C
4< br>24
34133321324
13
的水手1名，有
C
2
种选法；⑸若被选出的4名水手中有只会左手侧的水手2名，有
C
7
种选法，根据分 类计数原理，不同的选法有
C
7
C
5
C
4
?C2
C
7
C
4
?C
7
C
4
?C
2
C
7
?C
7
C
5
?700
种。
C
7
例. 从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8 ，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母P、Q和数字0至多只出现一个的不同 排法种数是____________
（用数字作答）。（05年浙江卷）
解析：（1）每排 中只有数字0的排法有
（2）每排中只有字母P或Q的排法都有
（3）每排中无数字0，字母P 、Q的排法有

四、相邻问题“捆绑法”
；
；
。所以不同的排法种数共有：
第 2 页 共 8 页

对于某几个 元素要求相邻的排列问题，可以先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大的元素与其他的元素排列，然后再对相 邻的元素内部之间在进行排列。
例⒌ ７人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？
分析：把甲，乙，丙三人“ 捆绑”起来看成一个元素，与其他的4人共5个元素作全排列，有
A
5
种排法，而甲， 乙，丙三人之间又有
A
3
种排法，根据分步计数原理，共有
A
3A
5
=7200种排
法。
例. 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产 品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一 仓库是安全的，现打算用编号
为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同放 法种数为（ ）
A. 96 B. 48 C. 24
中
D. 0
5335
解析：在四棱锥
（1）先把安全的产品捆绑在一起有2种方法
①
②
（2）四组产品放在4个编号不同的仓库里有
（种）。故选（B）。
五、不相邻问题“插空法”
对某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再 将不相邻的元素已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可。
例⒍ 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种不同的排法？
4
343
A
4
分析：先让其余4人站好有种排法，再在这4人之间及两端的5个“间隙”中选3个位置 让甲，乙，丙插入，则有
A
5
种方法，这样共有
A
4
?A< br>5
?1440
种不同的排法。
；
。
种，所以安全存放的方法共有：
例. 用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字 的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_________ _______个（用数字作答）。（05年
辽宁卷）
解析：此题是捆绑法和插空法的综合应 用问题。把相邻的两个数捆成一捆，分成四个空，然后再将7与8插进空中有
方法。故这样的八位数共有 ：（个）
种插法；而相邻的三捆都有种排法，再它们之间又有种排序
第 3 页 共 8 页