高一数学必修1第一章集合全章教案

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第一章 集合与函数概念
§1．1集合
教学目标：
(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
1.1.1集合的含义与表示
（一）集合的有关概念:
⒈定义：一般地，把一些能够确定的 不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构
成的集合（或集），构成集合的每个对象 叫做这个集合的元素（或成员）。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，
而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于
?
”及“不属于
?
两 种)
⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a
?
A；
⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a
?
A。
5.常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
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正整数集，记作N
*
或N
+
；N内排除0的集.
整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R；
6.关于集合的元素的特征
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”
（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大
的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.
如:方程 (x-2)(x-1)
2
=0的解集表示为
?
1,-2
?
, 而不是
?
1,1,-2
?

⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
⑶ 大于3小于11的偶数； ⑵我国的小河流；
⑶非负奇数； ⑷某校2011级新生； ⑸ 血压很高的人；
7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于
?
”及“ 不属于
?
”两种)
⑴若
a
是集合A中的元素，则称
a属于集合A，记作
a
?
A；
⑵若
a
不是集合A的元素 ，则称
a
不属于集合A，记作
a
?
A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4
?
A，等等。 < br>练：A={2，4，8，16}，则4
?
A，8
?
A，32
?
A.
8.空集：是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
空 集不是无；它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，
但 袋子本身确实是存在的。
用符号?或者{ }表示。
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注意：{?}是有一个?元素的集合，而不是空集。
举例
当两圆相离时，它们的公共点所组成的集合就是空集；
当一元二次方程的根的判别式值△<0时，它的实数根所组成的集合也是空集。
8.
集合的分类

观察下列三个集合的元素个数
1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};
2. {x
?
R∣0 3. {x
?
R∣x
2
+1=0}
由此可以得到
?
有限集:含有有限个元素的集合
集合的分类
?
?
无限集:含有无限个元素的集合

?
?空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)
（二）例题讲解：
例1．用“∈”或“
?
”符号填空：
⑴8 N； ⑵0 N； ⑶-3 Z； ⑷
2
Q；
例2．已知集合P的元素为
1,m,m
2
?m?3
, 若2∈P且-1
?
P，求实数m的值。
练：⑴
给出下面四个关系:
3
?
R,0.7
?
Q,0
?
{0},0
?
N,其中正确的个数是:(
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
（2）求集合{2
a
,
a
2
+
a
}中元素应满足的条件?
（3）若
1?t
1?t
?
{t},求t的值.
1.1.2
一、集合的表示方法
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)

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⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“
??
”括起来表示集合的方 法叫列举法。如：{1，
2，3，4，5}，{x
2
，3x+2，5y
3-x，x
2
+y
2
}，…；
说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；
⑵一般不必考虑元素之间的顺序；
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
⑷
集合中的元素可以为数，点，代数式等；
⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限 集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中
的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发 生误解的情况下，也可以用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间 的规律显示清楚后方能用省略号，
象自然数集Ｎ用列举法表示为
?
1,2,3,4,5 ,......
?

例1．用列举法表示下列集合：
(1) 小于5的正奇数组成的集合；
(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；
(3) 从51到100的所有整数的集合；
(4) 小于10的所有自然数组成的集合；
(5) 方程
x?x
的所有实数根组成的集合；
⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。
方法：在花括号内先 写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素 所具有的共同特征。
一般格式：
?
x?Ap(x)
2
?

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x
2
+1}

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x
2
+3x+2}与 {y|y= x
2
+3x+2}是不同的两个集
合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
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辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。
例2．用描述法表示下列集合：
(1) 由适合x
2
-x-2>0的所有解组成的集合;
(2) 到定点距离等于定长的点的集合;
(3) 方程
x?2?0
的所有实数根组成的集合
(4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，
一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
练： 1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
2．集合A＝{x|
2
4
∈Z，x∈N}，则它的元素是 。
x?3
3.判断下列两组集合是否相等？
（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}
课后作业：


教学目的：
（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集；
1.2.1集合间的基本关系
⒈子集：对于两个集合A ，B，如果集合
A
的任何一个元素都是集合
B
的元素，我们说这 两个集合有包含
§1.2.1 集合间的基本关系
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关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
A?B(或B?A)
读作：A包含于B，或B包含A
当集合A不包含于集合B时，记作A?B(或B?A)
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

B
A
表示：
A?B

2.真子集定义：若集合
A?B
，但存在 元素
x?B,且x?A
，则称集合
A
是集合
B
的真子集。
记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）
3.集合相等 定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B
中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若
A?B且B?A
，则
A?B
。
如：A={x|x=2m+1，m
?
Z}，B={x|x=2n-1，n< br>?
Z}，此时有A=B。
4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：
?

用适当的符号填空：
?

?
0
?
； 0
?
；
?
{
?
}；
?
0
?
{
?
}
5.几个重要的结论：
⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有
?
?
A。
⑵空集是任何非空集合的真子集；
⑶任何一个集合是它本身的子集；
⑷对于集合A ，B，C，如果
A?B
，且
B?C
，那么
A?C
。
练习 ⑴2 N；
{2}
N；
?
A;
⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则
A B； A C； {2} C； 2 C
说明：
⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；
⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则 其子集数为2
n
个，其真子集数为2
n
-1个，
特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
2
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1.2.2 集合间的基本运算
考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：
（1）
A?{1,3,5}< br>，
B?{2,4,6},C?
?
1,2,3,4,5,6
?
；
C?
?
xx是实数
?
； （2）
A?{xx是有理数}，
B?{xx是无理数},
1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成 的集合，称为集合A与集合B
的并集，即A与B的所有部分，
记作A∪B， 读作：A并B 即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
Venn图表示：


2.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作 集合A、B的交集（intersection
set），记作：A∩B 读作：A交B 即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

Venn图表示：

常见的五种交集的情况：

B A


说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.
3. 全集、补集概念及性质：
全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么
就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集
A(B)
A
B
A B
A
B
（阴影部分即为A与B的交集）
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合A相对于全集U的补集,
记作：
CU
A
，读作：A在U中的补集，即
C
U
A?
?
xx?U,且x?A
?

Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）
U
A

C
U
A

说明：补集的概念必须要有全集的限制
课后作业：
§1．2函数及其表示
教学目标:
1、 掌握函数的三种表示方法：列表法、图 像法、解析法，体会三种表示方法的特点。
2、 掌握函数图像的画法及解析式的求法。了解区间的概念。
3、 理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用
教学重点：通过实例领悟构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域、值域。
教学难点：了解映射概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射。理解映射与函数的关系。
知识点一、函数的定义
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B
中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值
的 集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
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①构成函数的三个要素 是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如
果两个函数的定义域和对 应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示．
区间表示：



规律方法指导
1.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时， 其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地
讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的 被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面
学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义，注意 定义
域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
2.函数值域的求法
观 察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的最高点
和最低点 ，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值 范围的情况下，利用求二次
函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数等；
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
；
.
；
-可编辑修改- < /p>

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此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函
数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常 用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，
求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意 定义域对值域的制约.
经典例题
类型一、函数概念

(1)
1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(2)
(3)
(4)

思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成
立.
总结：函数概念含有三个要素，只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使 定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不
能唯一地确 定函数的对应法则.
【变式1】判断下列命题的真假
-可编辑修改-