高中数学必修一(全套教案+配套练习+高考真题)

目录
第一讲集合概念及其基本运算
第二讲 函数的概念及解析式
第三讲 函数的定义域及值域
第四讲 函数的值域
第五讲 函数的单调性
第六讲 函数的奇偶性与周期性
第七讲 函数的最值
第八讲 指数运算及指数函数
第九讲 对数运算及对数函数
第十讲 幂函数及函数性质综合运用

第一讲集合的概念及其基本运算

【考纲解读】
1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.集合的概念与运算是历年来必考内容之一, 题型主要以选择填空题为主,单纯的集合问题
以解答题的形式出现的机率不大,多数与函数的定义域、值 域、不等式的解法相联系，解题
时要注意利用韦恩图、数轴、函数图象相结合.另外,集合新定义信息题 是近几年命题的热点,
注意此种类型.
2.高考将会继续保持稳定,坚持考查集合运算,命题形式会更加灵活、新颖.
【重点知识梳理】
一、集合有关概念
1、集合的含义：
2、集合中元素的三个特性：



3、元素与集合之间只能用“”或“”符号连接。
4、集合的表示：常见的有四种方法。

5、常见的特殊集合：


6、集合的分类：



二、集合间的基本关系
1、子集


2、真子集


3、空集

4、集合之间只能用“”“”“=”等连接，不能用“”或“”符号连接。
三、集合的运算
1．交集的定义：
2、并集的定义：
3、交集与并集的性质：
A∩A = A A∩Φ= Φ A∩B = B∩A，A∪A = A A∪Φ= A A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）全集：
（2）补集：
知识点一 元素与集合的关系
1.已 知A＝{a＋2，(a＋1)
2
，a
2
＋3a＋3}，若1∈A，则实数a构 成的集合B的元素个数是(
A．0 B．1 C．2 D．3
)

知识点二 集合与集合的关系
2
1.已知集合A＝{x|x－ 3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x<5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集
合C的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式探究】 (1)数集X＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈Z}与Y＝{y|y＝(4k±1)π ，k∈Z}之间的
关系是( )
A．X
?
Y B．Y
?
XC．X＝Y D．X≠Y
(2)设U＝{1，2，3，4 }，M＝{x∈U|x－5x＋p＝0}，若?
U
M＝{2，3}，则实数p的值是( )
A．－4 B．4 C．－6 D．6
知识点三 集合的运算
1.若全集U＝{x∈R|x≤4}，则集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集C
U
A
为( )
2
2
A．{x∈R|02. 已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2 ，
4，5，6，8}，则(
C
U
A
)∩(
C
UB
)＝( )
A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}
【变式探究1】若全集U＝{a，b，c，d ，e，f}，A＝{b，d}，B＝{a，c}，则集合{e，f}＝( )
A．A∪B B．A∩B C．(
C
U
A
)∩(
C
U
B
) D．(
C
U
A
)∪(
C
U
B
)
典型例题：
例1：
满足M?{a
1
,a
2
,a< br>3
,a
4
},且M∩{a
1
,a
2
, a
3
}={a
1
,a
2
}的集合M的个数是 ( )
A.1B.2C.3D.4
例2：设A={x|1
变式练习：
1.
设集合M=｛x｜－1 ≤x＜2｝，N=｛x｜x－k≤0｝，若M∩N≠，则k的取值范
围是
2.已知全集
I
(
C
I
A
)?
B?
?{xx?R}
， 集合
A?{xx?1或x?3}
，集合
B?{xk?x?k?1}
，且
，则实数k的取值范围是
3.若集合
M?{xax
2
?2x?1?0,x ?R}
只有一个元素，则实数的范围是
4.集合A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，
（1）若A∩B =
?
，求a的取值范围；
（2）若A∪B = {x | x＜1}，求a的取值范围.

例3：设A = {x | x
2
– 8x + 15 = 0}，B = {x | ax– 1 = 0}，若
B?A
，求实
数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.
例4 ：定义集合
A、B
的一种运算：
A*B?{x|x?x
1
?x
2
，x
1
?A，x
2
?B}
，若
A?{1，2， 3}2}
，则
A*B
中所有元素的和为． ，
B?{1，
例5：设A 为实数集，满足
a?A
?
（1）若
2?A
,求A;
1
?A
,
1?A
,
1?a
（2）A能否为单元素集？若能把它求出来，若不能，说明理由；
1
（3）求证：若
a?A
,则
1??A
a

基础练习：
1. 由实数x,－x,｜x｜,
x
2
,?
3
x
3
所组成的集合，最多含（）
（A）2个元素（B）3个元素（C）4个元素（D）5个元素
2. 下列结论中，不正确的是( )
A.若a∈N，则-a
?
N B.若a∈Z，则a
2
∈Z
C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则
3
a?R

3. 已知A，B均为集合U={1,3,5, 7,9}子集，且A∩B={3},C
U
B∩A={9},则A=（ ）
（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
4. 设集合A={1, 3, a}, B={1, a
2
-a+1}，若B
?
A, 则A∪B=__________
5. 满足
?
0,1,2
?
A?{0,1,2,3,4,5}
的集合A的个数是_____个。
k1k1
?,k?Z},N?{x?x??k?Z}
，则正确的是（ ）
2442
6. 设集合
M?{x?x?
A.M=N B.
M?N
C.
N?M
D.
M?N?
?1，2
?
且
C
U
A?
?
2
?
，则集合A的真子集共有（7. 已知全集
U?
?
0，
）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2
8. 已知集合
A?< br>?
x?x?1?0
?
,
B?
?
x??x?2?X?0
?
,R是全集。

①
A?B?B
②
A?B?A
③
?
C
R
A
?
?B?R
④
?
C
R
A
?
?
?
C
R
B
?
? R

其中成立的是（ ）
A ①② B ③④ C ①②③ D ①②③④
9. 已知A = {x | －3≤x<2}，B = {x | x≤1}，则A∪B等于（ ）
A．[－3，1] B．[－3，2) C．(－∞，1] D．(－∞，2)
10. 下列命题中正确的有（ ）
⑴
A?B?B?C? A?C
；⑵
A?B?B?A?B?A
；⑶
a?B?a?B?A

⑷
A?B?A?B?B
；⑸
a?A?a?A?B

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
提高练习：
1. 已知集合A=
?
x3?x?7
?
，B={x|2(1) 求A∪B，(C
R
A)∩B；(2) 如果A∩C≠，求a的取值范围。

2. 下列各题中的M与P表示同一个集合的是（ ）
A．M = {(1，
?
3)}，P = {(
?
3，1)} B．M = {1，
?
3}，P = {
?
3，1}
C．M = {
x|x?1
}，P = {
x|x?1
} D．M =
{x|x
2
?1?0,x?R}
，P = {
?1
}
3. 已知集合
A?xx
2
?3x?2?0
。
（1）若
B?A,B?{x?m?1?x?2m?1},
求实数m的取值范围.
（2）若
A?B,B?{x?m?6?x?2m?1},
求实数m的取值范围
（3）若
A?B,B?{x?m?6?x?2m?1},
求实数m的取值范围.
4. 已知全集
U?R
，集合
A?{x|x
2
?x?6}< br>，集合
B?{x|
C?{x|(x?a)(x?3a)?0}
，
x?4
?0}
，集合
x?2
??
（1）求
A?B
； （2）若
(A?B)?< br>U
C?
?
，求实数
a
的取值范围．
5. 某班有3 6名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加
两个小组，已知参加数学、物理、化学 小组的人数分别为26，15，13，同时参
加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有 4人，则同时参加数

学和化学小组的有人。
6. 已知集合
A?{x |x
2
?3x?2?0}
，
B?{x|x
2
?2(a?1) x?(a
2
?5)?0}
，
（1）若
A?B?{2}
，求 实数a的值；（2）若
A?B?A
，求实数a的取值范围；
7. 若集合
A ?xx
2
?2ax?a?0,x?R
，
B?xx
2
?4x? a?5?0,x?R
；
（1）若
A?B??
，求
a
的取值 范围；（2）若
A
和
B
中至少有一个是
?
，求
a< br>的
取值范围；
（3）若
A
和中
B
有且仅有一个是< br>?
，求
a
的取值范围。
8. 已知全集U=R，集合A=
x x
2
?px?2?0,B?xx
2
?5x?q?0,
若
?? ??
????
C
U
A
?
B?
?
2
?
,试用列举法表示集合A。
9. 已知集合
A?{x|x
2
?x ?2?0}
，B={x|2C?{x|x
2
?bx? c?0}
，且满足
(A?B)?C?
?
，
(A?B)?C?R
，求b、c的
值。
10. 已知方程
x
2
?px?q?0
的两个不相等实根为
?
,
?
。集合
A?{
?
,< br>?
}
，
B?
{2，
4，5，6}，
C?
{1 ，2，3，4}，A∩C＝A，A∩B＝
?
，求
p,q
的值？
高考真题：
1（2017北京文）已知U =R ，集合A ={x |x <-2或x >2}，则
C
U
A
=
??)
（A）(-2, 2) （B）
?
??,?2
?
?
?
2，??
?
（ C）[-2,2] （D）
(??,?2]?[2，
2.（2017 新课标Ⅱ理）设集合A?
?
1,2,4
?
，
B?xx?4x?m?0
，若< br>A?B?
??
1
，
2
??
则B=
1,?3
?
B.
?
1,0
?
C.
?
1,3
?
D.
?
1,5
?
A.
?
3.（2017新课标Ⅲ理）设集合
A?（x，y）
则
A?B
x?y?1
，
B?（x，y）y?x
，
中元素的个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
?
22
?
??
（A?B）?C?
4.（2017天津理） 设集合
A?
?
则
1,2,6
?
，
B?
?< br>2，4
?
,
C?x?R?1?x?5
，
??

< br>A.
?
2
?
B.
?
1,2,4
?
C.
?
1,2,4,6
?
D.
x?R?1?x?5

5.(2017山东理）设函数
y?
函数
y?ln(1?x)
的定义 域为B，则
A?B
4?x
2
的定义域A，
??
=
A.(1，2) B.(1，2] C.(-2，1) D.[-2，1)
6.(2017新课标Ⅰ理）已知集合
A?xx?1
，
B?x3
x
?1
，则
A.
A?B?xx?0
B.
A?B?R
C.
A?B?xx?1
D.
A?B?
?

7.（201 7北京理）若集合
A?x-2?x?1
，
B?xx?-1或x?3
，则
A?B?

A.
x-2?x??1
B.
x-2?x?3
C.
x-1?x?1
D.
x1?x?3

8.(2017新课标Ⅲ文）已知集合
A?
?< br>1,2,3,4
?
，
B?
?
2,4,6,8
?
，则
A?B
中元素的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2017新课标Ⅰ文）已知集合
A?xx?2
，
B?x3-2x?0< br>，则
A.
A?B?
?
xx?
??
??
?? ??
????
????????
????
?
?
3
?
3
??
?
B.
A?B?
?
C.
A?B?
?
xx?
?
D.
A?B?R
< br>2
?
2
??
10.(2017山东文）设集合
M?xx?1? 1
，
N?xx?2
，则
M?N?

A.（-1,1） B.（-1,2） C.（0,2） D.（1,2）



????
第二讲 函数的概念及解析式
【考纲解读】
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
2.在实际 情景中，会根据不同的需呀选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函
数。
3.了解简单的分段函数，并能简单应用。
【重点知识梳理】
一.对应关系定义


二.映射定义

三.函数定义



四．函数的三要素



五.分段函数和复合函数定义


知识点一：映射及函数的概念
例1、(1)给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－3＋2－x是函数；< br>x
③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．其 中正确的
x
有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)下列对应法则f为A上的函数的个数是( )
①A＝Z，B＝N
＋
，f：x→y＝x；
②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；
③A＝[－1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
变式练习：
在下列图像，表示y是x的函数图象的是________．
2
2

已知函数y=f(x)，集合A={(x，y)∣y=f(x)}，B={(x，y)∣x=a，y∈R}，其 中a为

常数，
则集合A∩B的元素有 （ C ）
A．0个 B．1个 C．至多1个 D．至少1个
例5：集合A ={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，
从B到 A的映射个数是__________.

知识点二：分段函数的基本运用
?
1，x＞0，
?
?
?
1，x为有理数，
1.设 f(x)＝
?
0，x＝0，
g(x)＝
?
则f(g(π))的值为( )
?
0，x为无理数，
?
?
?
－1，x＜0，
A．1 B．0 C．－1 D．π
知识点三：函数解析式求法（待定系数法、方程组法、换元法、拼凑法）
1、已知f（
x
+1）= x+2
x
，求f（x）的解析式.
2、已知 2f(x)+f(-x)=10
x
, 求 f(x).
3、已知f{f[f(x)]}=27x+13, 且f(x)是一次函数, 求f(x). 4、已知函数
f(x-)?x
2
?
1
x
1
,< br>则
f(x)
=.
2
x

变式练习：
1. 已知
f
?
x?1
?
?x?2x?1
，求f(x)

2. 已知
f(x)
是一次函数，且
f(f(x)) ?9x?8
，求
f(x)

3. 已知
4f(x)?3f()?x
，求
f(x)



基础练习：
1
x
1. 下列对应能构成映射的是 （ ）
A．A=N，B=N
+
，f：x→∣x∣B．A=N，B=N
+< br>，f：x→∣x-3∣
C．A={x∣x≥2，x∈N }，B={y∣y≥0，y∈Z}，f：x→y=x
2
-2x+2
D．A={x∣x＞0，x∈R }，B=R，f：x→y=±x
2.
M?
?
x0?x?2
?
,N?
?
y0?y?2
?
给出 的四个图形，其中能表示集合M到N

的函数关系的有

11
3. 给定映射
f:(x,y)?(2x?y,xy)
，点
(,?)
的原象是．
66
?
x?3,(x?10)
4. 设函数
f(x)?
?
，则
f(5)
＝．
f(f(x?5)),(x?10)
?
5. 已知映射f：A→B中，A=B={(x，y)∣x∈R，y∈R }，f：(x，y) →(x+2y+2，< br>4x+y)．（1）求A中元素（5，5）的象；（2）求B中元素（5，5）的原象；
（3）是否存在这样的元素(a，b)，使它的象仍是自己？若有，求出这个元素．
6. 已知f(x)＋2f(－x)＝3x－2，则f(x)的解析式是( )
2222
A．f(x)＝3x－B．f(x)＝－3x＋C．f(x)＝3x＋ D．f(x)＝－3x－
3333
7. 设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0 )＝1，且对任意实数a，b都有f(a)－f(a
－b)＝b(2a－b＋1)，则f(x)的解析式 可以是( )
A．f(x)＝x＋x＋1 B．f(x)＝x＋2x＋1C．f(x)＝x－x＋1 D．f(x)＝x－2x＋1
8. 若函 数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f
()
·x－1，则f(x)＝____ ______.
2222
1
x
9. 若
f(x)
是定义在 R上的函数，且满足
f(x)?x-2f(?x)
，求
f(x)
。
10. 已知
f(x)
是二次函数，设 f(2x)+f(3x+1)=13x
2
+6x-1, 求 f(x).
提高练习：
1. 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2x y(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－
3)等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
2. 已知集合
A?
?
1,2,3,k
?< br>,B?4,7,a,a?3a,a?N,k?N,x?A,y?B,

42??
??
f:y?3x?1
是从定义域A到值域B的一个函数,求
a,k,A,B.

3.
?
x
2
?1(x?0)
f(x)?
?< br>，若
f(f(a))?5
，则
a?
。
?
?x?1(x?0)

4. 设函数
f(x)?
?
5. 设
f(x)?
x?800
?x?8
，求
f(801)
的值.
?
f
?
f< br>?
x?10
?
?
x?800.
x?1
,
记< br>f
n
(x)?f
?
f
?
?f
?
x< br>?
?
??
（
n
表示
f
个数）,则
f
2008
(x)
是( )
x?1
x?1
1x?1
（Ａ）
?
（Ｂ） （Ｃ）
x
（Ｄ）
?

x?1
xx?1
x
2
,
求下列式子的值。 6. 已知函数
f(x)?
1?x
2
f(1)?f(2)?f(3)???f(2008)?
f(
7. 已知函数
f(x)?
111
)?f()???f()

200820 072
x
(a,b
为常数,且
a?0)
满足
f(2)?1, f(x)?x
有唯一解,求
ax?b
f(x)
的解析式和
f
?
f(?3)
?
的值.
8. 已知函数f(x?
11
)?x
2
?
2
,
则
f( x)
=.
xx
9. 已知对于任意的
x
具有
f(x)? 2f(1?x)?3x?1
，求
f(x)
的解析式。
10. 已知对于任意 的x都有
f(x?2)?f(x)
，
f(?x)??f(x)
。且当
x?
?
0,2
?
时，
f(x)?x(x?2)
，求当
x?
?
3,5
?
时函数解析式。
高考真题：
?
x
2
?1x?1
?
1.
（高考（江西文））< br>设函数
f(x)?
?
2
,则
f(f(3))?
（ ）
x?1
?
?
x
A．
1

5
B．3 C．
2

3
D．
13

9
2.
（高考（湖北文））
已知定义在区间
(0,2)
上 的函数
y?f(x)
的图像如图所示,则
y??f(2?x)
的图像为

?
1,
x?0
?
?
?
1 ,
(x为有理数)
?
3.
（高考（福建文））
设
f(x) ?
?
0,
(x?0)
,
g(x)?
?
,则
f(g(
?
))
的值
?
?
?
0,
(x为无 理数)
?
?
?1,
(x?0)
为 （ ）
A．1 B．0 C．
?1
D．
?

4.
（高考（重庆文））
函数
f(x)?(x?a)(x?4)
为偶函数,则实数
a?
________
5.
（高考（浙江文））
设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]
时,f(x)=x+1,则f（）
=_______________.
6.
（高考（广东文））
(函数)函数
y?
3
2
x?1
的定义域为__________.
x
7.
（高考（安徽文））
若函数
f(x)?|2x?a|
的单调递增区间是
[3,??)
,则
a?_____





第三讲 函数的定义域及值域
【考纲解读】
1.了解函数的定义域、值域是构成函数的要素；
2.会求一些简单函数的定义域和值域，掌握一些基本的求定义域和值域的方法；
3.体会定义域、值域在函数中的作用。
【重点知识梳理】
一.函数定义域求解一般方法



二.函数解析式求解一般方法

三.函数值域求解一般方法




知识点一：有解析式类求定义域（不含参数）
例1. 求下列函数的定义域
(1)
y?

(3)
y?
6
(2)
f(x)?3x?1?1?2x

2
x?3x?2
4?x
2
(x?1)
0
(4)
f(x)?

x?1
x?x
知识点二：抽象函数定义域
例2.


2
（2）已知函数
f(x?1 )
的定义域是
?
?1,2
?
,求
f(x?2)
的定 义域.
(1) 已知函数
f(x?1)
的定义域是
?
?2,3?
,求
f(2x?1)
的定义域.
1. 若
y?f(x)的定义域为
(a,b)
且
b?a?2
,求
F(x)?f(3x? 1)?f(3x?1)
的定义域.

知识点三：定义域为“R”（含参数）
例3. 若函数
y?(a
2
?1)x
2
?(a?1)x?< br>2
的定义域为
R
,求实数
a
的取值范围.
a?1
知识和点三：基本函数求值域（二次函数的分类讨论）
【例1】当
? 2?x?2
时，求函数
y?x
2
?2x?3
的最大值和最小值． < br>【例2】当
1?x?2
时，求函数
y??x
2
?x?1
的最大值和最小值．
【例3】当x?0时，求函数
y??x(2?x)
的取值范围．
【例4】当 t?x?t?1时，求函数
y?
1
2
5
x?x?
的最小值( 其中
t
为常数)．
22
1．已知关于
x
的函数
y ?x
2
?2ax?2
在
?5?x?5
上．
(1) 当
a??1
时，求函数的最大值和最小值；

(2) 当
a
为实数时，求函数的最大值．
基础练习：
1. 求函数f(x)＝
1-x
2
x?3x?4
2
的定义域；
2. 已知函数f(2x-1)的定义域是[－1,1]，求f(x)的定义域．
3. 求函数y＝x＋2x(x∈[0,3])的值域．
2
4. 设
a?0
，当< br>?1?x?1
时，函数
y??x
2
?ax?b?1
的最小值是
?4
，最大值是
0，求
a,b
的值．
5.
2< br>?
1
?
1?x,x?1,
设函数f（x）=
?
则f()
=___________.
2
f
?
2
??
?
x?x?2,x?1,
6. 函数y=
?x
2
?3x?4
x
的定义域为___________.
7. 若函数y=f（x）的定义域是［0,2］，则函数g(x)=
f(2x)
的定 义域是___________.
x?1
8.
x
2
函数y=2
的定义域是___________，值域是___________.
x?1
9. 已知函数
y?x
2
?2ax?1
在
? 1?x?2
上的最大值为4，求
a
的值．
10. 求关于
x
的二次函数
y?x
2
?2tx?1
在
?1?x?1
上的最 大值(
t
为常数)．



提高练习：
1. 已知函数f（x）=
3x?1
的定义域是R，求实数a的取值范围.
2
ax ?ax?3
2?
x?3
的定义域为A,g(x)=lg［(x－a－1)(2a－x) ］(a<1)的定义域为B.
x?1
3
2. 记函数f（x）=
(1) 求A；(2) 若B
?
A,求实数a的取值范围.
3.
4.
已知f（x）=
1
2
(x-1)
2
+1的定义域和值域均为[1,b](b>1),求b的值.
已知命题 p:f（x）=lg（x
2
+ax+1）的定义域为R，命题q：关于x的不等式x+|x-2 a|>1的解集为R.若“p
或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围.

5. 设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意
x?M( M?D)
,有
x?n?D
，且
f(x?n)?f(x)
，则称f(x )为M上的n高调函数。如果定义域是
[?1,??)
的
函数
f(x)?x< br>2
为
[?1,??)
上的m高调函数，那么m的取值范围是
6. 定 义映射
f:A?B
，其中
A?
?
m,n
?
m,n? R
，B=R，已知对所有的有序正整数对
（m，n）满足下述条件：①f（m，1）=1；②若 m（m，n）+f（m，n-1）]；则f（3 ，2）=
7. 已知
f
?
1,1
?
?1
，
f
?
m,n
?
?N*(m、n?N*)
，且对任意
m、n ?N*
都有①
??
f
?
m,n?1
?
?f(m,n )?2
②
f
?
m?1,1
?
?2f(m,1)
。给 出以下三个结论：⑴
f
?
1,5
?
?9
；⑵
f?
5,1
?
?16
；⑶
f
?
5,6
?
?26
。其中正确的个数为
8. 已知函数
f
?
x
?
?
1
，则函数
f
?
f
?
x
?
?
的定义域是（ ）
x?1
A.
xx??1
B.
xx??2
C.
xx??1且x??2
D.
xx??1或x??2

9. 函数
f
?
x
?
的定义域为R，且对任意
x、y?R
,
f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
恒成立 ，则下列
选项中不恒成立的是（）
A.
f
?
0
?
?0
B.
f
?
2
?
?2f
?
1
?
C.
f
??
?
????????
?
1
?
?
2
?
1
f
?
1
?
D.
f
?
-x
?
f
?
x
?
?0

2
10. 对定义在实数集的函数
f
?
x
?
，若存 在实数
x
0
，使得
f
?
x
0
?
? x
0
，那么称
x
0
为函数
f
?
x
?
（1,1）、（-3，-3）
的一个不动点，（1）已知函数
f
?
x
?
?ax?bx?b（a?0）
有不动点，
2
求a、b;（2）若 对于任意实数b，函数
f
?
x
?
?ax?bx?b（a?0）
总有两个相异的不动点，
2
求实数a的取值范围。

高考真题：
1. （2012广东）函数
f
?
x
?
?
x?1< br>的定义域是
x
1
6?x?x
2
2. （2011安徽）函数
f
?
x
?
?
的定义域是
3. （2008江西）若函数
y?f
?
x
?
的定义域是< br>?
0,2
?
，则函数
g
?
x
?
?< br>f
?
2x
?
的定义域是
x?1

4. （2009福建）下列函数中，与函数
f
?
x
?
?
A.f
?
x
?
?log
2
x
B.
f
?
x
?
?
1
有相同定义域的是（ ）
x
1
C.
f
?
x
?
?x
D.
f
?
x
?
?2
x

x
5. （2013陕西）设全集为R，函数
f
?
x
?
?1-x
2< br>的定义域为M，则
C
R
M
为（ ）
??)
D.
(??,?1)?(1，??)
A.
?
?1，1
?
B.
?
?1，1
?
C.
(??,?1]?[1，
6. （2011?上海）设g（x） 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）
在区间[0，1]上的值域为[-2，5]，则f（x） 在区间[0，3]上的值域为__________________.
7. （2010重庆）函数
f
?
x
?
?16?4
x
的值域是
8. （2010江西）函数
f
?
x
?
?sin
2
x?s inx?1
的值域是
9. （2008重庆）已知函数
f
?
x?
?1?x?x?3
的最大值为M，最小值为m，则
m
=
M
10. （2013辽宁）已知函数
f
?
x
?
? x
2
?2(a?2)x?a
2
，
g
?
x
?
??x
2
?2(a?2)x?a
2
?8
，
设
H
1
?
x
?
?max
?
f
?
x
?
,g
?
x
??
，
H
2
?
x
?
?min
?
f
?
x
?
,g
?
x
??
，（
max
?
p,q
?
表示P、 q中的较大
值，
min
?
p,q
?
表示P、q中的较小值） ，记
H
1
?
x
?
的最小值为A，
H
2?
x
?
的最大值为B，则
A-B=（ ）
A.16 B.-16 C.
?16a?2a?16
D.
16a?2a?16





22
第四讲 函数的值域
【考纲解读】
1.了解函数的值域是构成函数的要素；
2.会求一些简单函数的值域，掌握一些基本值域的方法；
3.体会值域在函数中的作用。
【重点知识梳理】
函数值域求解一般方法

知识点一：基本函数求值域

例1：（1）
y?x
2
?2x?3
(x?R)
，（2）
y?x
2
?2x?3
（
x?[1,2]
），（3 ）
y?
（4）
y?
4
(x?4)

x-2
4
(x?4)

x
cx?d
（部分分式法或者反解法）
ax?b
3x?13x?1
(x?5)
（1）
y?
（2）
y?
x?1x?1
知识点二：一次分式形
f(x)?
变式练习：y?
2x?6
的值域
x?2
dx
2
?ex?f
知识点三：二次分式形
f(x)?
2
（判别式法）
ax?bx?c
5x
2
＋9x?42x
2
?7
（1）
y?
（2）
f(x)?
2
（观察后可裂项）
x
2
?1x?1
知识点四：含根号
f(x)?ax?bx?c
（换元法）
（1）
f(x)?x-x?4
（2）
f(x)?2x?x?4
（可使用观察法）
知识点五：含绝对值
f( x)?ax?b?cx?d
（去绝对值），注意重要形式的结论
（1）
y?x?3? x?1
（2）
f(x)?x?1-x-3
（3）
f(x)?2x?1?2x- 3
（4）
y?x2?x

变式巩固练习：（1）
f(x)?2x?1-2x-3
（2）
f(x)?2x?1?x-3

知识点六：部分根式类（可归为复合函数） < br>（1）
y??x
2
?4x?5
（2）
y?4??x
2
?4x?5

知识点七：复合函数求值域：
（1）
f(x)?2
x
2
?2x?5
（2）
f(x)?log
2
(x
2
?4x?8)
（3）
f(x)?2
2x
?2
x?1
?4

c
，（abc?0）

bx
49
）
（1）
f(x)?x?
（2）
f(x)?x?，（x?
?
1,8
?

xx
知识点八：对勾函数
f(x)?ax?
基础练习：
1. 已知
f(0)?1,f(n)?nf(n?1)(n?N
?
)
，则
f(4 )?
。

?
x?2 (x≤?1)
?
2. 设
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x?
。
?
2x (x≥2)
?
?x
?
?
3,x?0
3. 已知函数
f(x)?
?
2
，则
f[f(?2)]?

?
?
x?1.x?0
4. 求函数
y?
2x?1
的值域。
x
2
?2x?2
5. 求函数
y?x?1?2x
的值域。
6. 求函数
y?
3x
的值域。
2x?1
7. 求函数
f(x)?3x?1?2x-3
的值域
8. 求函数
f(x)?x?3?x-1
的值域
9. 求函数
f(x)?
1
x?4x?5
2
的值域
1
10. 求函数
f(x)?(log
2
x)
2
? log
2
x
2
?3
，
x?[,8]
的
4
提高练习：
2x
2
?ax?b
1. 已知函数
f(x)?
的值域为[1，3]，求
a,b
的值。
2
x?1
2. 求函数
f(x)?log
1
x?log1
x
，
x?
?
1,8
?
的值域
24
3. 求函数
f(x)?
x?5
的值域
x?1
4. 求函数
f(x)?2
x?5
?log
3
x?1
（2≤x≤10）的值域
ax
2
?8x?b
5. 已知函数
f(x)?log
3
的定义域为R，值域为[0，2]，求a,b的值。
x
2
?1
e
x
?1
6. 求函数
f(x)?
x
的值域
e?1
7. 已知函数y=
mx
2
?6mx?m?8
的定义域为R.
（1）求实 数m的取值范围；（2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数
f(m)的值域．

8. 已知函数
f(x)?log
2
(ax
2
?4x?3)
的值域为R，则a的范围是
9. 已知
x?2?x?3?a
恒成立，则a的范围是
10. 已知
x?2?x?3?a
成立，则a的范围是
11. 已知
x?2?x?3?a
无解，则a的范围是
高考真题：
1. 设a＞1 ，函数
f(x)?log
a
x
在区间[a,2a]的最大值与最小值之差为< br>1
，这a=
2
x
2
2. 函数
y?
2
（x∈R）的值域是
x?1
3. 函数
f(x)?x
2
?2x?2x
2
?5x?4
的最小值为
4. 设定义在R上的函数f（x）满足
f(x)?f(x?2)?13
，若f（1） =2，则f（99）=
5. 若函数y=f（x）的值域是
?
,3
?
，则函数
F(x)?f(x)?
的值域是
f(x)
2
??
6. 定义在R上的函数f（x）满足
f(x?y) ?f(x)?f(y)?2xy
,（x，y∈R），f（1）=2，
则f（-3）=
7. 已知函数
y?1?x?x?3
的最大值和最小值分别为M,m，则
8. 定义在R上的函数f（x）满足
f(x)?
?
?
1
?
1m
=
M
logx(1?x),x?0
，则f（2009）=
?
f(x?1)?f(x?2),x＞0
?
9. 已知函数
f(x) ?
4
?1
的定义域是[a,b]（a,b∈Z），值域是[0,1]，满足条件的整< br>x?2
数对（a,b）共有（ ）
A.2个 B.3个 C.5个 D.无数个

第五讲 函数的单调性
【考纲解读】
1．函数单调性的定义；
2．证明函数单调性；
3．求函数的单调区间
4．利用函数单调性解决一些问题；
5．抽象函数与函数单调性结合运用
【重点知识梳理】
一、函数的单调性





二、函数单调性的判断



三、求函数的单调区间的常用方法







四、单调性的应用

知识点一：函数单调性的判断及应用
1
例1、证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数．
x

ax
讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性
x－1
知识点二：求单调区间（参数值）
例2、求出下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝|x－4x＋3|；
(2) 若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________．
知识点三：抽象函数的单调性
例3 定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有
f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1；
(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
(3)证明：f(x)是R上的增函数；
(4)若f(x)·f(2x－x)>1，求x的取值范围．
知识点四：利用单调性求函数的最值
a
例4、函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．
x
(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；
(3)求函数y＝f(x)在(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值
【 变式探究】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),且当x＞0时,f (x)
2
＜0，f(1)＝－.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[ －3，3]上的最大值和最小
3
值．
知识点五：分段函数的单调性
例5、函数
f
?
x
?
?
?

< br>2
2
?
(3a?1)x?4a,x＜1
在R上的减函数，那么a的取值 范围是（ ）
?
log
a
x,x?1

知识点 六：复合函数单调性（同增异减）
例6：（1）求
f(x)?log
2
?< br>x
2
?4x?5
?
的单调区间
（2）已知函数
f( x)?log
2
(x
2
?mx?m)
的定义域是R，并且在(-∞, 1)
上单调递减，则实数m的取值范围
变式练习：
若函数
y??log2
(x
2
?ax?a)
在区间
(??,1?3)
上是增 函数，求
a
的取值范围


基础试题：
1. 定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b，总有
立，则必有( )
f?a?－f?b?
>0成
a－b
A．函数f(x)是先增后减函数 B．函数f(x)是先减后增函数
C．f(x)在R上是增函数 D．f(x)在R上是减函数
2
2. 若函数
y?f(x)
是定义在R上单 调递减函数，且
f(t)?f(t)
，则
t
的取值范围（ ）
A．
t?1或t?0
B．
0?t?1
C．
t?1
D．
t?0或t?1

3. 已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正
确的是（ ）
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b) B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
2
4. 函数
y?x?bx?c
(x?(??,1))
是单调函数时 ，
b
的取值范围 （）
A．
b??2
B．
b??2
C ．
b??2
D．
b??2

5. 已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实 数m的取值
范围．
6. 函数
f(x)??x
2
?2x?3
的单调递增区间是_______.
7. 若函数
f(x)?4x
2
?kx?8
在
[5,8]< br>是单调函数，求
k
的取值范围
8. 函数
f(x)?ax
2
?4x?2
在
?
?1,3
?
上为增函数，求a的取值范围
?
(a?2)x?1,x?1
9. 函数
f(x)?
?
在R上单调递增，则实数a的范围是
?
log
a
x,x＞1

10. 若函数
f( x)?ax?b?2
在
?
0，??
?
上为增函数，则实数a、b的范 围是



提高练习：
1. 函数
f(x)?ax2
?4x?2
在
?
?1,3
?
上为增函数，求a的取值 范围
x
2
?2x?a
1
2. 已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］ （1）当a=时，求函数f(x)
x
2
的最小值；
（2）若对任意x∈[1，＋∞
)
，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
ax?1
在区间
?
-2，??
?
上单调递增，则实数a的取 值范围是
x?2
x?b
4.
若函数
f(x)?
在区间< br>?
-?，4
?
上是增函数，则有（）
x-a
3. 函数
f(x)?
A.a>b≥4 B.a≥4>b C.b>a≥4 D.b>4≥a

5. 是否存在实数a，使函数
f(x)?log
a
(ax
2
?x)
在区间[2,4]上是增函数？若存在则a
的范围是，不存 在，请说明理由。
6. 定义在
(0,??)
上的函数对任意的
x,y?( 0,??)
，都有
f(x)?f(y)?f(xy)
，且
当
0?x? 1
时，有
f(x)?0
，判断
f(x)
在
(0,??)上的单调性
7. 已知函数
y?f(x)
的定义域为
R
，且对 任意
a,b?R
，都有
f(a?b)?f(a)?f(b)
，
且当< br>x?0
时，
f(x)?0
恒成立，证明：（1）函数
y?f(x)是
R
上的减函数；（2）函
数
y?f(x)
是奇函数。
8. 函数
y?
x?5
??
?
上单调递增，则a的取值范围是 在
?
-1，
x?a?2
x
2
?a
9. 已知函数< br>f(x)?
（a＞0）在
?
2，??
?
上递增，则实数a的取 值范围
x
10. 已知
a?R
，讨论关于
x
的方程
x
2
?6x?8?a?0
的根的情况。

第六讲 函数的奇偶性与周期性
【考纲解读】
1．函数单调性的定义；
2．证明函数单调性；
3．求函数的单调区间
4．利用函数单调性解决一些问题；
5．抽象函数与函数单调性结合运用
【重点知识梳理】
一、函数的单调性





二、函数单调性的判断



三、求函数的单调区间的常用方法







四、单调性的应用


【高频考点突破】

考点一 函数单调性的判断及应用
1
证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数．
x

ax
讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性
x－1


考点二 求函数的单调区间
例2、求出下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝|x－4x＋3|；
(2) 若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________．
2
若函数
f(x)?4x
2
?kx?8
在
[5,8]
是单调 函数，求
k
的取值范围

函数
f(x)?ax
2
? 4x?2
在
?
?1,3
?
上为增函数，求a的取值范围


考点三 抽象函数的单调性
例3 定义在R上的函数y＝f(x)，f(0) ≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有
f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1；
(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
(3)证明：f(x)是R上的增函数；
(4)若f(x)·f(2x－x)>1，求x的取值范围．

考点四 利用单调性求函数的最值
a
例4、函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．
x
(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；
(3)求函数y＝f(x)在(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．


【变式探究】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y ),且当x＞0时,f(x)
2

2
＜0，f(1)＝－.(1)求证： f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小
3
值．
考点五：复合函数单调性
例2：（1）求
f(x)?log
2
?< br>x
2
?4x?5
?
的单调区间
（2）已知函数
f( x)?log
2
(x
2
?mx?m)
的定义域是R，并且在(-∞, 1)
上单调递减，则实数m的取值范围
练习：（1）求函数
y?2log
1
(x
2
?3x?2)
的单调区间
3
（2）已知函数
f(x)?x
2
?2ax?2,x?
?
?5,5
?
，在定 义域范围内是单调函数，
求实数
a
的取值范围
函数
f（x）?lo g
a
(ax
2
?x)
在区间
?
2,4
?< br>上是增函数，则a的取值范围是
基础试题：
1、若函数y=f(x)是R上的增函数，且f(a)
?
f(b)则a与b的关系是（ ）
（A）
a?b
(B)
a?b
(C)
a?0,b?0
(D)
a?0,b?0

2、定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b，总有
立，则必有( )
f?a?－f?b?
>0成
a－b
A．函数f(x)是先增后减函数 B．函数f(x)是先减后增函数
C．f(x)在R上是增函数 D．f(x)在R上是减函数
2
3、 若函数
y?f(x)
是定义在R上单 调递减函数，且
f(t)?f(t)
，则
t
的取值范围（ ）
A．
t?1或t?0
B．
0?t?1
C．
t?1
D．
t?0或t?1

4、已知f(x)在区间(－∞ ，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正
确的是（ ）


A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b) B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
（）
A．
b??2
B．
b??2
C ．
b??2
D．
b??2

2
2
9、.函数< br>y?x?bx?c
(x?(??,1))
是单调函数时，
b
的取值范围

12、函数
f(x)?2x?mx?3
，当
x?[?2,??)< br>时是增函数，当
x?(??,?2]
时是减函数，

则
f (1)
等于（）
A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数
1. 若函数
f(x)?(k
2
?3k?2)x?b< br>在
R
上是减函数，则
k
的取值范围为__________。



第七讲 函数的最值
第八讲 指数运算及指数函数
第九讲 对数运算及对数函数
第十讲 幂函数及函数性质综合运用