高中数学文化知识问卷-高中数学校本课程视频
课 题：函数的单调性（教案）
教材：人教版普通高中课程标准实验教科书 必修1第一章
【教学目标】
1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的升降，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体
函数值的大小比较
，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）
函数的定义，掌握用定义证明函数单调
性的基本方法与步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图型语言到数学语言，理解增
函数、减函数区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验
数学概念的形成
过程的真谛。
2、过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
3、情态与价值：渗透从直观
到抽象，从特殊到一般的数学思想，激发学生学习
兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，让学生感
受数学思想方法的魅力。
【教学重点】 形成增（减）函数的形式化定义
【教学难点】用定义证明函数的单调性
【教学方法与手段】
1、教法与学法：主要
采取的教学方法是教师启发引导，学生探究学习的教学方
法。从观察具体函数图象引入，直观认识增减函
数，利用定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：多媒体投影、几何画板.
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
由于天气的原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟
到8月8日，下图
是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲
线图.
1
提问：我们可以通过图象来捕捉到一些什么信息？
分析：学生可能会发现以下信息，当天的最高温度与最低温度以及达到的时刻，
在某个时刻的温
度，某些时段温度升高，某些时段温度降低，等等。
二、探索归纳，形成概念
1、借助图象，直观感知
问题1：下面分别是函数
y?x,y?x
2
的图象，观察函数图象的升降趋势。
y
5
4
3
2
1
O
1
2
x
-3
-2
-1
-1
6
5
4
3
2
1
y
-3
-2
-1
O
1
2
3
x
-1
分析：学生会观察到一次函数
y?x
的图象从左到右都是上升的，而二次函数
在
y
轴的右侧从左到右是上升的。
y?x
2
的图象在
y
轴
的左侧从左到右是下降的，
问题2：以函数
y?x
2
为例，完成下列表格，并
思考下列问题。
x
y?x
2
…
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
思考：（1）观察表格中，自变量
x
的值从0到
5变化时，函数值
y
如何变化？
2
（2）在
?
0,??
?
上，任意改变
x
1
,x
2
的值，当x
1
?x
2
时，都有
x
1
2
?x2
吗？
（3）对于函数
y?x
2
，在区间
?
0,??
?
上，随着
x
的增大，相应的
f(x)
如何
变化？
分析：教师引导学生完成表格，解决问题，并通过几何画板进行动画演示，帮助<
br>学生理解抽象的概念。
问题3：在数学上规定：函数
y?x
2在区间
?
0,??
?
上是增函数，谁能给增函数下
个定义？ <
br>分析：引导学生讨论、交流，说出各自的想法。学生在下定义的时候可能会出现
的情况：没有说明
x
1
、x
2
在哪个区间上，没有考虑到
x
1
、x
2
是任意取的两个数，
还有就是没有考虑到“当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
”是否也对。
2、抽象概括，形成概念
2
（1）增函数的定义：
一般地，设函数
f(x)
的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，
当x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x2
)
，
那么就说函数
f(x)
在区间D上是增函数。
分析：在学习增函数的定义时，学生会对“某个区间”“任意两个”等关键词不
够重视，教师需要引导
学生更好的理解这些关键词。
练习：判断下列说法是否正确
①函数
y?
x
2
在区间[-5，5]上满足
f(?1)?f(3)
，则函数
y?
x
2
在区间[-5，5]
上是增函数。
②定义在R上的函数
f(x
)
满足
数
f(x)
是R上的增函数。
分析：对于学生错误的回答，
教师要引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨
析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举
，从而引导学生在给定的
区间内任意取两个自变量
x
1
,x
2
．
思考：通过判断题，引导学生掌握增函数的定义中要注意的2点
①单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数局部的性质；
②研究函数在某个区间上的单调
性不能只取两个特殊值，或者无数多个特殊值，
必须要取该区间内的任意两个数。
（2）减函数的定义：
一般地，设函数
f(x)
的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的
任意两个变量的值
x
1
,x<
br>2
，当
x
1
?x
2
时，
都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
O
f(x)
在区间D上是减函数。
f(x
1
)f(x
2
)
x
2
y
y?f(x)
f(x
1
)
O
f(x
2
)
x
2
x
x
1
?f(
?2)?f(?1)?f(0)?f(1)?f(2)?
，则函
y
y?f(x)
x
1
x
分析：学生学习了增函数的定义后，通过类比的方法能概括出减函数的定义。
（3）单调区间的定义
3
如果函数
y?f(x)
在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数
y?f(x)
在这一
区间具有（严格的）单调性，区间D叫做
y?f(x)
的单调区间。
三、巩固基础，演练提升
1、例题
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数
y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，
以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
分析：教师提示利用函数单调性的几何意义，学生先思考或讨论后再回
答，教师
点拨、提示并及时评价学生。图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此
区间上
是减函数。另外，教师还要提醒学生注意单调区间的书写。
k
例2 物理学中的玻
意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，
V
当其体积V减少时，压强P将增
大。试用函数的单调性证明之。
分析：学生先思考或讨论，再到黑板上书写，当学生没有证
明思路时，教师再提
示，及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤。最后教师指出，已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性
的定义来解决。
2、练习
（1）画出下列函数的图象，并根据图象说出函数
y?f(x)
的单调区间，以及在
各单调区间上函数
y?f(x)
是增函数还是减函数。
①
y?x
2
?4x?4
②
y?3?x
2
（2）证明函数
f(x)??2x?1
在R上是减函数。
分析：在第1题的
教学中，教师让学生出黑板画出函数的图象，并且根据单调性
的几何意义写出单调区间。第2题可以让学
生先画出函数的图象，体会一下函数
的单调性，再用单调性的定义证明。让学生掌握判断函数单调性的两
种方法：图
象法与定义法。
4
四、归纳小结，提高认识
1、小结
（1）通过增（减）函数概念的形成，你学习到了什么？
（2）增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？
（3）怎样用定义证明函数的单调性？
分析：以问题的形式出现，引导学生回顾单调性定义的
探究过程，回顾用定义证
明函数单调性的步骤，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法
两方面总结．
2、作业
（必做题）
<1>根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是
减函数。
y
-1 O 2 4 5
x
<2>证明：
①
函数
f(x)?x
2
?1
在
(??,0)
上是减函数
1
②函数
f(x)?1?
在
(??,0)
上是增函数 x
（选做题）研究一次函数
y?mx?b(x?R)
的单调性，并证明你的结论。
板书设计
1、 增函数的定义
2、
减函数的定义
3、单调区间
例1、
例2、
练习1、
练习2、
5
课 题：函数的单调性（教案说明）
授课教师：
佛山市高明纪念中学 陈丽华
教材：人教版普通高中课程标准实验教科书 必修1第一章
“函数单调性”是一个重要的数学概念，本设计致力于展示概念是如何生成
的，在概念的发生、
发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养学生的
思维能力，体现教师是如何活用教材。 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号
语言刻画图象的上升与
下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一
的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学
生在函数内容中首次接触到的代数
论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上
的分析和
教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．
围绕本节课的重点和难点，并根据学
生现有的认知水平和心理特征，教师在
教学的过程中注意到以下几个方面：
（1）在探索概念阶段,
让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性
到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入．
（2）注重课堂问题的设计．通过让学生思考、讨论并解决问题，使得学生
对函数的单调性有更
加深刻的理解。
（3）在应用概念阶段,
通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明
函数单调性的方法和步骤．
另外，根据本节
课的特点，本节课使用多媒体投影和教具来辅助教学，为学
生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的
理解和认识．
6