高中数学经典高考难题集锦(解析版)

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷


一．选择题（共11小题）
1．（2014?湖南）若0＜x
1
＜x
2
＜1，则（ ）
A．
C．x
2

2．（2005?天津）若函数f（x）=log
a
（x﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间
增，则a的取值范围是（ ）
A．

3．（2009?上海）函数的反函数图象是（ ）
B． C． D．
3
﹣
＞x
1
＞lnx
2
﹣lnx1
B．
D．x
2
﹣
＜x
1
＜lnx
2
﹣lnx
1


内单调递
A． B． C．


D．
2
4．（2008?天津）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2 a]，都有y∈[a，a
]满足方程log
a
x+log
a
y=3，
这时a的取值集合为（ ）
A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}

5．（2005?山东）0＜a＜1，下列不等式一定成立的是（ ）
A．|log
（
1+a
）
（1﹣a）|+|log
（
1
﹣
a< br>）
（1+a）|＞2；
B．|log
（
1+a
）
（ 1﹣a）|＜|log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|；
C．|log
（
1+a
）
（1﹣a）+log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|＜|log
（
1+a
）
（1 ﹣a）|+|log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|；
D．|log
（
1+a
）
（1﹣a）﹣log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|＞|log
（
1+a
）
（1﹣ a）|﹣|log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|

6．（2005?天津）设f（x）是函数f（x）=（a﹣a）（a＞1） 的反函数，则使f（x）
＞1成立的x的取值范围为（ ）
A．（

7．（2004?天津）函数
A．
C．
（﹣1≤x＜0）的反函数是（ ）
B．
D．


，+∞） B．（﹣∞，） C．（，a） D．[a，+∞）
﹣
1x
﹣
x
﹣
1

8．（2004?江苏）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标系xOy中，函数y= f
（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f（x）的图象与y轴交于B点，并且这两个
函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（ ）
A．3
9．（2006?天津）已知函数y=f（x）的图象与函数y=a（a＞0且a≠1）的图象关于直线y= x
对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间
实数a的 取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B．（0，1）∪（1，2） C． D．
上是增函数，则
x
﹣
1
B． C． D．

1 0．（2011?湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减
少，这 种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太
贝克）与时间t（单 位：年）满足函数关系：M（t）=M
0
，其中M
0
为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克年），则M（60）=（ ）
A．5太贝克 B．75In2太贝克 C．150In2太贝克 D．150太贝克
< br>11．（2014?湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率
为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．﹣1


二．填空题（共12小题）
12．（2013?北京）函数的值域为 ．

13．（2011?湖北）里氏震级M的计算公式为：M= lgA﹣lgA
0
，其中A是测震仪记录的地震
曲线的最大振幅，A
0
是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振
幅是1000，此时标准地震的振 幅A
0
为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地
震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍．

14．（2007?上海）函数 的反函数是 ．

15．（2006?江苏）不等式

16．（2005?北京）设函数f（x）=2 ，对于任意的x
1
，x
2
（x
1
≠x
2
） ，有下列命题
①f（x
1
+x
2
）=f（x
1
） ?f（x
2
）；②f（x
1
?x
2
）=f（x
1< br>）+f（x
2
）；③；
x
的解集为 ．
④
．

17．（2004?广东）函数

．其中正确的命题序号是
的反函数f（x）= ．
﹣
118．（2011秋?岳阳楼区校级期末）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果
x的取值范围为 ．

19．（2005?天津）设

，则
＜1，那么
的定义域为 ．
20．（2008?天津）设a ＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a
]
满足方程lo g
a
x+log
a
y=c，这时a的取值的集合为 ．

21．（2002?上海）已知函数y=f（x）（定义域为D，值域为A）有反函数y=f（x），则 方
﹣
1
程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是y=f（ x）满足 ．

22．（2013?上海）对区间I上有定义的函数g（x）， 记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义
域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y =f（x），且f（[0，1））=[1，2），f（（2，4]）
=[0，1）．若方程f（x）﹣x =0有解x
0
，则x
0
= ．

﹣
1
﹣
1
﹣
1
﹣
1
2

23．（2004?湖南）若直线y=2a与函数y=|a﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点， 则a
的取值范围是 ．


三．解答题（共7小题）
24．（2014秋?沙河口区校级期中）21、设
的大小，并证明你的结论．

25．解不等式

26．（2006?重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．

x
（Ⅰ）求a，b的值；
22
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式 f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

27．如果正实数a，b满足a=b．且a＜1，证明a=b．

28．（201 1?上海模拟）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式
ba
．

29．（2010?荔湾区校级模拟）f（x）=lg
是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

30．（2010?四川）设，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
，其中a是实数，n
（Ⅰ）设关于x的方程求
求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：
在区间[2，6]上有实数解，
；

（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较|


|与4的大小，并说明理由．

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析


一．选择题（共11小题）
1．（2014?湖南）若0＜x
1
＜x
2
＜1，则（ ） A．
C．x
2
﹣
＞x
1
＞lnx
2
﹣ lnx
1
B．
D．x
2
﹣
＜x
1
＜l nx
2
﹣lnx
1


考点： 对数的运算性质．
专题： 导数的综合应用．
分析：
x
分别设出两个辅助函数f（x）=e +lnx，g（x）=
调性，结合已知条件0＜x
1
＜x
2
＜1得答 案．
x
解答：
解：令f（x）=e﹣lnx，
则f′（x）=， xx
，由导数判断其在（0，1）上的单
当x趋近于0时，xe﹣1＜0，当x=1时，x e﹣1＞0，
因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0，
因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误；
令g（x）=，
，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）上为减函数，
∵0＜x
1
＜x
2
＜1，
∴，
即．
∴选项C正确而D不正确．
故选：C．
点评： 本题考查利用导数研究函数的单调 性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到
构造两个函数，是中档题．

2 ．（2005?天津）若函数f（x）=log
a
（x﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间增，则a的取值范围是（ ）
3
内单调递

A． B． C． D．
考点： 对数函数的单调性与特殊点．
专题： 计算题；压轴题．
3
分析：
将函数看作是复合函数，令g（x）=x﹣ax，且g（x）＞0，得x∈ （﹣，0）∪（，
+∞），因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，再由复合函数“同增异减 ”
求得结果．
3
解答：
解：设g（x）=x﹣ax，g（x）＞0，得x∈（﹣，0）∪（，+∞），
g′（x）=3x﹣a，x∈（﹣
x∈（﹣，﹣
2
，0）时，g（x）递减，
，+∞）时，g（x）递增．
，0），不合题意，
）或x∈（
∴当a＞1时，减区间为（﹣
当0＜a＜1时，（﹣
∴﹣≥﹣．
，0）为增区间．
∴a∈[，1）
故选B．
点评： 本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域．

3．（2009?上海）函数的反函数图象是（ ）
A． B． C．
D．
考点： 反函数；函数的图象．
专题： 常规题型；压轴题．
分析：
先画出条件中函数式
直线y=x对称的图象即得．
解答：
解：作出函数
的图象，再将其图象作关于
的图象，如图，

∵互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，
∴函数
故选C．
的反函数图象是：C．

点评： 本小题主要考查反函数、反函数的应用、函数的图 象等基础知识，考查数形结合思想、
化归与转化思想．属于基础题．

4．（20 08?天津）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a
]满足方程log
a
x+log
a
y=3，
这时a的取值集合为（ ）
A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2} C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}
考点： 幂函数的实际应用．
专题： 压轴题．
分析：
先由方程log
a
x+log
a
y=3解出y，转化为函数的值域问题求解．
解答：
解：易得，在[a，2a]上单调递减，
2
所以
故?a≥2
，
故选B．
点评： 本题考查对数 式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大．注意函
数和方程思想的应用．

5．（2005?山东）0＜a＜1，下列不等式一定成立的是（ ）
A．|log
（
1+a
）
（1﹣a）|+|log
（
1
﹣
a< br>）
（1+a）|＞2；
B．|log
（
1+a
）
（ 1﹣a）|＜|log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|；
C．|log
（
1+a
）
（1﹣a）+log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|＜|log
（
1+a
）
（1 ﹣a）|+|log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|；
D．|log
（
1+a
）
（1﹣a）﹣log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|＞|log
（
1+a
）
（1﹣ a）|﹣|log
（
1
﹣
a
）
（1+a）|
考点： 对数函数的单调性与特殊点．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 用特殊值法，来排除不成立的选项即可．
解答：
解：取满足题设的特殊数值a=，
log
（
1+a
）
（1﹣a）=＜=﹣1，

0＞log
（
1
﹣
a
）
（1+a）=＞2=﹣1，
检验不等式（B），（C），（D）均不成立，
故选A
点评： 本题主要考查客观 题的解法，可灵活选择方法，如特殊法，验证法，数形结合法等，
解题不但灵活，而且效率很高．

6．（2005?天津）设f（x）是函数f（x）=（a﹣a）（a＞1）的反函数，则 使f（x）
＞1成立的x的取值范围为（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，a） D．[a，+∞）
﹣
1x
﹣
x
﹣
1
考点： 反函数．
专题： 压轴题．
分析： 本题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有一定
的综合性；
首先由函数f（x）=（a﹣a）（a＞1）求其反函数，要用到解指数方程，整体换元
的思想，将a 看作整体解出，然后由f（x）＞1构建不等式解出即可．
解答：
﹣
xx2xx
解：由题意设y=（a﹣a）整理化简得a﹣2ya﹣1=0，
解得：
∵a＞0，∴
∴x=log
a
（y+
∴f（x）=log< br>a
（x+
﹣
1
﹣
1
x
﹣
x
x
﹣
1

，
）
）
）＞1
x
由使f（x）＞1得log
a
（x+
∵a＞1，∴x+＞a
由此解得：
故选A
点评： 本题虽为小题，看似简单，实际上综合性强，用到多方面的知识和方法，更需要一定
的运算能力；
x
尤其在求x时难度大些，不仅要用换元思想把a看作整体求解，还要根据范围舍去

7．（2004?天津）函数
A．
C．
（﹣1≤x＜0）的反函数是（ ）
B．
D．


考点： 反函数．
专题： 计算题；压轴题；方程思想．
分析：
解方程，根据x的范围，求出x的值，然后x，y 互换，求出函数的反函
数．
解答：
解：函数
2
，可得x﹣1=log
3
y

2
x=1+log
3
y，∵﹣1≤x＜0，∴
所以函数（﹣1≤x＜0） 的反函数是：
故选D．
点评： 本题考查反函数的求法，考查就是能力，是基础题．

8．（2004?江苏）设k＞1，f（x）=k（x﹣1）（x∈R）．在平面直角坐标 系xOy中，函数y=f
（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f（x）的图象与y轴交于B点 ，并且这两个
函数的图象交于P点．已知四边形OAPB的面积是3，则k等于（ ）
A．3 B．
﹣
1
C． D．
考点： 反函数．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 先根据题意画出图形，由于互为反函数的两个函数的图象 关于y=x对称，从而两个函
数的图象交于P点必在直线y=x上．且A，B两点关于y=x对称，利用 四边形OAPB
的面积=AB×OP，求得P（3，3）从而求得k值．
解答： 解：根据题意画出图形，如图．
由于互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称，
所以这两个函数的图象交于P点必在直线y=x上．
且A，B两点关于y=x对称，
∴AB⊥OP
∴四边形OAPB的面积=AB×OP=×
∴OP=3．
∴P（3，3）代入f（x）=k（x﹣1）得：
k=
故选B．
OP=3，

点评： 本题主要考查反函数，反函数是函 数知识中重要的一部分内容．对函数的反函数的研
究，我们应从函数的角度去理解反函数的概念，从中发 现反函数的本质，并能顺利地
应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题．

9 ．（2006?天津）已知函数y=f（x）的图象与函数y=a（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间
实数a的取值范 围是（ ）
A．[2，+∞） B．（0，1）∪（1，2） C．
x
上是增函数，则
D．
考点： 指数式与对数式的互化；反函数．
专题： 压轴题．
分析： 先表述出函数f（x）的解析式然后代入将函数g（x）表述出来 ，然后对底数a进行讨
论即可得到答案．
x
解答：
解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=a（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称， 2
则f（x）=log
a
x，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1] =（log
a
x）+（log
a
2﹣1）log
a
x．
当a＞1时，
若y=g（x）在区间上是增函数，y=log
a
x为增函数，
令t=log
a
x，t∈[，log
a
2]，要求对称轴，矛盾；
当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间上是增函数，y=log
a
x为减函数，
令t=log
a
x，t∈[log
a
2，
解得，
]，要求对称轴，
所以实数a的取值范围是，
故选D．
点评： 本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减

性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．
< br>10．（2011?湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减
少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太
贝克）与时 间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M
0
，其中M
0
为t=0时铯1 37
的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克年），则M（60）=（ ）
A．5太贝克 B．75In2太贝克 C．150In2太贝克 D．150太贝克
考点： 有理数指数幂的运算性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由t=3 0时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克年），先求出M'（t）
=M
0×
，再由M'（30）=M
0×
=﹣10ln2，求
出M
0
，然后能 求出M（60）的值．
解答：
解：M'（t）=M
0
×
M'（3 0）=M
0
×
∴M
0
=600．
∴．
，
=﹣10ln2，
故选D．
点评： 本题考查有理数指数幂的运算法则，解题时要注意导数的合理运用．

11．（2014? 湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率
为q，则该市这两年生产 总值的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．﹣1
考点： 有理数指数幂的化简求值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论．
解答： 解：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，
2
则a（1+p）（1+q）=a（1+x），
解得1+x=
即x=
，
﹣1，
故选：D．
点评： 本题主要考查指数幂的计算，根据条件建立条件关系是解决本题的关键，比较基础．

二．填空题（共12小题）

12．（2013?北京）函数的值域为 （﹣∞，2） ．

考点： 对数函数的值域与最值；函数的值域．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数
的值域．
解答： 解：当x≥1时，f（x）=；
当x＜1时，0＜f（x）=2＜2=2．
x1
所以函数的值域为（﹣∞，2）．
故答案为（﹣∞，2）．
点评： 本题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集．是基础题．

13． （2011?湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA
0
，其中A是测震仪记录的 地震
曲线的最大振幅，A
0
是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录 的最大振
幅是1000，此时标准地震的振幅A
0
为0.001，则此次地震的震级为 6 级；9级地震的最
大的振幅是5级地震最大振幅的 10000 倍．

考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析：
根据题意 中的假设，可得M=lgA﹣lgA
0
=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最 大的振
幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振 幅是
5级地震最大振幅的10000倍．
解答： 解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪 记录的最大振幅是1000，此时标准地震的
振幅为0.001，
则M=lgA﹣lgA
0
=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．
设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，
9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=10，y=10，
∴．
62
故答案为：6，10000．
点评： 本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．

14．（2007?上海）函数 的反函数是 ．

考点： 反函数．
专题： 压轴题；函数的性质及应用．
分析： 由原函数的分段解析式分别解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函
数的定义域（即原函数的值域），最后再写成分段函数的形式即可．
2
解答：
解：∵y=x+1（x≥0），
∴x=
2
，y≥1，
（x≥1）， 故y=x+1（x≥0）的反函数为 y=
同样地，y=（x＜0）的反函数为 y=（x＜0），
∴函数 的反函数是 ．
故答案为：．
点评： 本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函
数的值域．

15．（2006?江苏）不等式的解集为
．

考点： 对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．
专题： 计算题；压轴题．
分析：
由不等式=log
2
8知0＜，由此可得到所求的解集．
解答：
解：，0＜，
∴．
解得
故答案：．
点评： 本题考查对数函 数单调性和不等式的解法，解题时要注意公式的灵活运用．在数的比
较大小过程中，要遵循这样的规律， 异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部
分，再去比较它们剩余部分，就会很轻易啦．一般在数的 比较大小中有如下几种方法：
（1）作差比较法和作商比较法，前者和零比较，后者和1比较大小；（2 ）找中间量，
往往是1，在这些数中，有的比1大，有的比1小；，（3）计算所有数的值；（4）选用

数形结合的方法，画出相应的图形；（5）利用函数的单调性等等．

16．（2005?北京）设函数f（x）=2，对于任意的x
1
，x< br>2
（x
1
≠x
2
），有下列命题
①f（x
1
+x
2
）=f（x
1
）?f（x
2
）；②f（x
1
?x
2
）=f（x
1
）+f（x
2
）； ③；
x
④．其中正确的命题序号是
①③④ ．

考点： 指数函数的图像与性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹凸性对①②③④进行逐一进行判
定即可．
解答：
解：=，所以对于①成立，
+≠
x
，所以对于②不成立，
函数f（x）=2，在R上是单调递增函数，
若x
1
＞x
2
则f（x
1
）＞f（x
2
），则，
若x
1
＜x
2
则f（x
1
）＜f（x
2
），则，故③正确
说明函数是凹函数，而函数f（x）=2是凹函
数，故④正确
故答案为：①③④
点评： 本题考查指数函数的性质，指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主
要 帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质．

17．（2004?广东）函数
（x∈R） ．

考点： 反函数．
专题： 计算题；压轴题．
分析：
欲求原函数的反函数，即从原函数式
x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
解答：
解：∵，
2yy
∴x=e+2e，
x
的反函数f（x）= e+2e
﹣
12xx
中反解出

∴x，y互换，得y=e+2e（x∈R）．
2xx
故填：e+2e（x∈R）．
点评： 本题考查反函数的求法，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象
间的关系．

18．（2011秋?岳阳楼区校级期末）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，那么
2xx
x的取值范围为 （3，4） ．

考点： 指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．
专题： 计算题；压轴题；转化思想．
分析： 根据条件0＜a＜1，0＜b＜1，以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点，把不等式进行等价转化，从而得到x的取值范围．
解答：
（
x
﹣
3< br>）
解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，∴log
b
＞0，
∴0＜x﹣3＜1，∴3＜x＜4，
故答案为：（3，4）．
点评： 本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，体现了等价转化的数学思想．

19．（2005?天津）设
（1，4） ．

考点： 对数函数的定义域．
专题： 计算题；压轴题．
分析：
对数的真数大于0，求出定义域，然后使
，则的定义域为 （﹣4，﹣1）∪
有意义建立方程组，解答
即可．
解答：
解：要使函数有意义，则解得x∈（﹣2，2）
要确保两个式子都要有意义，则?x∈（﹣4，﹣1）
∪（1，4）
故答案为：（﹣4，﹣1）∪（1，4）
点评： 本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．

20．（2 008?天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a
]< br>满足方程log
a
x+log
a
y=c，这时a的取值的集合为 {2} ．

考点： 对数的运算性质；函数单调性的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析：
由log
a
x+log
a
y= c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．
2

解答：
解：∵log
a
x+log
a
y=c，
∴
∴xy=a
得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，
c
=c
所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以
2+log
a
2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．
故答案为：{2}
点评： 本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．

21．（2002?上海）已 知函数y=f（x）（定义域为D，值域为A）有反函数y=f（x），则方
﹣
1
﹣﹣
1
程f（x）=0有解x=a，且f（x）＞x（x∈D）的充要条件是y=f（x）满足 f （0）=a，
﹣﹣
1
﹣﹣
1
且f（x）＜x（x∈A）y=f（x） 的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为（0，a）… ．

考点： 反函数；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 综合题；压轴题．
﹣﹣
1
分析：
利用函数与反函数图象关于直线y=x对称，由f（a）=0 可得f（0）=a；由f（x）
﹣
1
＞x（x∈D）可得 f（x）＜x，x∈A．
﹣﹣
1
解答：
解：因为函数与反函数图象关于直线y=x对称，f（x）=0有解x=a，故f（0）=a．
﹣﹣
1
∵f（x）＞x（x∈D），∴f（x）＜x，x∈A．
﹣﹣
1
即 y=f（x）的图象在直线y=x的下方，且与y轴交与点（0，a），
﹣﹣
1
﹣﹣
1
﹣﹣
1
故答案为：f（0）=a，f （x）＜x，x∈A．或 y=f（x）的图象在直线y=x的
下方，且与y轴交与点（0，a）．
点评： 本题考查函数与反函数的图象间的关系，反函数的定义．

22．（20 13?上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义
域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f（x），且f（[0，1））=[1，2），f（（2，4 ]）
=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x
0
，则x
0
= 2 ．

考点： 反函数；函数的零点．
专题： 压轴题；函数的性质及应用．
分析： 根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f
（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域[0，3]上存在反函
﹣﹣
1
﹣
1
﹣
1
﹣
1
数可知：x∈[2， 3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x
0
的
值．
﹣
1
﹣
1
解答：
解：因为g（I）={y|y=g（x） ，x∈I}，f（[0，1））=[1，2），f（2，4]）=[0，1），
所以对于函数f（x），
当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；
当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；

所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，
又因为方程f（x）﹣x=0有解x
0
，且定义域为[0，3]，
故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x
0
）=x
0
，只有x
0
=2，
故答案为：2．
点评： 本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．

23．（20 04?湖南）若直线y=2a与函数y=|a﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a
的取 值范围是 0＜a＜ ．

考点： 指数函数的图像与性质；指数函数综合题．
专题： 作图题；压轴题；数形结合．
x
分析：
先分：①0＜a＜1和a ＞1时两种情况，作出函数y=|a﹣1|图象，再由直线y=2a与函
x
数y=|a﹣1|（ a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合
求解．
x
解答：
解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|a﹣1|图象：
x
若直线y=2a与函数y=|a﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点
由图象可知0＜2a＜1，
x
∴0＜a＜．
②：当a＞1时，作出函数y=|a﹣1|图象：
x
若直线y=2a与函数y=|a﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点
由图象可知0＜2a＜1，
此时无解．
综上：a的取值范围是0＜a＜．
故答案为：0＜a＜
x

点评： 本 题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，
同时，还考查了数形结 合的思想方法．

三．解答题（共7小题）
24．（2014秋?沙河口区校级期中）21、设
的大小，并证明你的结论．

考点： 对数的运算性质；对数值大小的比较．
专题： 压轴题．
分析：
先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．
解答：
解：当t＞0时，由基本不等式可得
∴
t≠1时，
，当且仅当t=1时取“=”号

当0＜a＜1时，y=log
a
x是单调减函数，∴

当a＞1时，y=log
a
x是单调增函数，∴＞，即
，即
＞
点评： 本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1时函数单调递增，当底数大于0小
于 1时函数单调递减．

25．解不等式

考点： 对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．
专题： 计算题；压轴题．
分析：
等式可以转化为根据指数函数的单调性进

一步可转化为但为了保证式 子有意义，对数式的真数部分必须大于0，即
故原不等式可转化为不等式组．
解答：
解：原不等式等价于
当x＞0时，上述不等式组变成
解得：
当x＜0时，上述不等式组变成
解得
所以原不等式解集为


点评： 对数不等式，其解法是将不等号两边化为同底的指数式，然后根据相应的指数函数的
性 质解答，但在解答过程中要注意，要始终保证真数部分的式子大于0，即让真数式
有意义．

26．（2006?重庆）已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
22
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围 ．

考点： 指数函数单调性的应用；奇函数．
专题： 压轴题．
分析： （Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；
2
（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t﹣2t）+f
2
（2t﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k
的取值 范围．
解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即

又由f（1）=﹣f（﹣1）知
所以a=2，b=1．
经检验a=2，b=1时，
．
是奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
，
所以f（t﹣2t）+f（2t﹣k）＜0
222
等价于f（t﹣2t）＜﹣f（2t﹣k）=f（k﹣2t），
22
因为f（x）为减函数，由上式可得：t﹣2t＞k﹣2t．
2
即对一切t∈R有：3t﹣2t﹣k＞0，
从而判别式
所以k的取值范围是k＜﹣．
点评： 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题
的解决策略．

27．如果正实数a，b满足a=b．且a＜1，证明a=b．

考点： 对数函数图象与性质的综合应用．
专题： 证明题；压轴题．
ba
分析：
这道题可以有三种不同的证明方法．证法一的思路：由a=b，得bln a=alnb，从而
22
．
ba
，考虑函数
函数的单调性用反证法进行证明．
，它的导数是然后根据< br>证法二的思路是因为0＜a＜1，a=b，所以blog
a
a=alog
ab，即
ba
．然后根据
对数函数的性质用反证法进行证明．
证法三的思 路是假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0由于0＜a＜1，ε＞0，根据幂函
数或指数函数的性 质用反证法进行证明．
解答：
ba
证一：由a=b，得blna=alnb，从而
考虑函数，它的导数是
因为在（0，1）内f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数
baba
由于0＜a＜1，b＞0，所以a＜1，从而b=a＜1．由b＜1及a＞0，

可推出b＜1．
由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，
则根据f（x）在（0，1）内是增函数，
得f（a）≠f（b），即
从而a≠b这与a=b矛盾
所以a=b
ba
证二：因为0＜a＜1，a=b，
所以blog
a
a=alo g
a
b，即
假如a＜b，则

baba
，
，但因a＜1，
根据对数函数的性质，
得
所以a不能小于b
假如a＞b，则，而log
a
b＞1，这也与矛盾
矛盾
所以a不能大于b，因此a=b
证三：假如a＜b，则可设b=a+ε，其中ε＞0
由于0＜a＜1，ε＞0，
根据幂函数或指数函数的性质，得a＜1和
所以
baba
ε
，
，
即a＜b．这与a=b矛盾，所以a不能小于b
ba
假如b＜a，则b＜a＜1，可设a=b+ε，其中ε＞0，同上可证得a＜b．
ba
这于a=b矛盾，所以a不能大于b
因此a=b
点评： 反证法是证明的一种重要方法，一题多证、举一反三能够有效地提高我们的证明能力．

28．（2011?上海模拟）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式
．

考点： 对数的运算性质；换底公式的应用；其他不等式的解法．
专题： 计算题；压轴题；分类讨论．
分析： 利用对数换底公式，原不等式左端化简，对n是偶数，奇数分类解不等式，即可．
解答： 解：利用对数换底公式，原不等式左端化为
log
a
x﹣4?+12?++n（﹣2 ）
n
﹣
1
?

=[1﹣2+4++（﹣2 ）
=
n
﹣
1
]log
a
x
log
a
x
故原不等式可化为log
a
x＞log
a
（x﹣a）．①
2
当n为奇数时，
log
a
x＞log
a
（x﹣a）．②
因为a＞1，②式等价于
2
＞0，不等式①等价于

因为＜0，＞
＜x＜
=，
}． 所以，不等式②的解集为{x|
当 n为偶数时，
log
a
x＞log
a
（x﹣a）．③
2
＜0，不等式①等价于
因为a＞1，③式等价于或

因为
所以，不等式③的解集为{x|x＞
，
}．
}；
}
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|
当n为偶数时，原不等式的解集 是{x|
点评： 本题考查换底公式，对数的运算性质，对数不等式的解法，考查分类讨论思想，是中
档题．

29．（2010?荔湾区校级模拟）f（x）=lg
是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

，其中a是实数，n
考点： 对数函数图象与性质的综合应用．
专题： 计算题；压轴题．
xxx
分析：
（Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的 条件是1+2+…+（n﹣1）+na＞0，x∈（﹣
∞，1]，n≥2，即，
然后由函数的单 调性求实数a的取值范围．
（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0 时成立，只需证明n≥2时，
xxx22x2x2x
[1+2+…+（n﹣1）+na]＜n[ 1+2+…+（n﹣1）+na]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．
xxx
解答： 解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2+…+（n﹣1）+na＞0，x∈
（﹣∞，1]，n≥2，
即，
∵上都是增函数，
∴
从而它在x=1时取得最大值
在（﹣∞，1]上也是增函数，
．
所以，
∵
故a的取值范围是{a|a＞﹣}．
等价于，
（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2+…+（n﹣1）+na]
2x2x2x
＜n[1+2+…+（n﹣1）+na]，a∈（0，1]，x≠0．
2222
∵（a
1
+a
2
+…+a
n
）=（a1
+a
2
+…a
n
）+2（a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
﹣
1
a< br>n
）
222222222
≤（a
1
+a
2
+…a
n
）+[（a
1
+a
2
）+…+（a
1+a
n
）]+[（a
2
+a
3
）
22222 222
+…+（a
2
+a
n
）]+…+[（a
n
﹣
2
+a
n
﹣
1
）+（a
n
﹣
2< br>+a
n
）]+（a
n
﹣
1
+a
n
）
222
=n（a
1
+a
2
+…+a
n
）．
2222
于是（a
1
+a
2
+…+a
n
） ≤n（a
1
+a
2
+…+a
n
）当a
1
= a
2
=…=a
n
时成立．
xxx2

利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2，
xxx22x2x2x
所以有[ 1+2+…+（n﹣1）+na]＜n[1+2+…+（n﹣1）+na]，a∈（0，1]，
2
当0＜a＜1，x≠0时，因a＜a，
xxx22x2x2x
所以有[1 +2+…+（n﹣1）+na]＜n[1+2+…+（n﹣1）+na]，
即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．
点评： 本题是比较难的对数函数的 综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，
并且细心运算，避免不必要的错误．

30．（2010?四川）设，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
x
（Ⅰ）设关于x的方程求
求t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e，e为自然对数的底数）时，证明：
在区间[2，6]上有实数解，
；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较||与4的大小，并说明理由．

考点： 反函数；函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的极值；不等式．
专题： 计算题；综合题；压轴题；转化思想．
分析：
（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有实数解，求
出t的表达式，利用导数确定t 的范围；
（Ⅱ）a=e求出，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明
；
（Ⅲ）利用放缩法，求出|
解答：
x
解：（1）由题意，得a=
故 g（x）=
|的取值范围，最后推出小于4即可．
＞0
，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
2
由得t=（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，6]

则t′=﹣3x+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5）
列表如下：
x 2 6
（2，5）
5
（5，6）
t' +
﹣
t 5 25
递增

递减
极大值32
所以t
最小值
=5，t
最大值
=32
所以t的取值范围为[5，32]（5分）

（Ⅱ）
2
=ln（
=﹣ln
2
）
令u（z）=﹣lnz﹣
则u′（z）=﹣
=﹣2lnz+z﹣，z＞0
=（1﹣）≥0
2
所以u（z）在（0，+∞）上是增函数
又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）=0
即ln＞0
即

（3）设a=
（9分）
，则p≥1，1＜f（1）=≤3，
当n=1时，|f（1）﹣1|=≤2＜4，
当n≥2时，
设k≥2，k∈N时，则f（k）=
*
，
=1+

所以1＜f（k）≤1+，
从而n﹣1＜≤n﹣1+=n+1﹣＜n+1，
所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，
综上所述，总有|﹣n|＜4．
点评： 本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分
类整合等数学思想方 法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．