高中数学经典高考难题集锦

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷


一．选择题（共15小题）
1．（2012?绵阳模拟）已知定义在[0，+∞）上的函数f （x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，
2）时，f（x）=﹣x+2x，设f（x）在[ 2n﹣2，2n）上的最大值为a
n
（n∈N）且{a
n
}的前n
项 和为S
n
，则=（ ）
A．3 B． C．2 D．

2． （2010?安徽）设{a
n
}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别 为X，
Y，Z，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X） C．Y=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）

3 ．（2005?广东）已知数列{x
n
}满足x
2
=，x
n
=（x
n﹣1
+x
n﹣2
），n=3，4，…．若=2，则x
1=（ ）
A． B．3 C．4 D．5

4．（2012?上海）设a
n
=sin，S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
，在S
1
，S
2
，…S
100
中，正数 的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100

5．（2007?陕西）给出如下三个命题：
①设a，b∈R，且ab≠0，若＞1，则＜1；
②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
③若f（x）=log
i
x，则f（|x|）是偶函数．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

6．（2006?北京）设f（n）=2+2+2+2+…+2（n∈N），则f（n）等于（ ）
A． B． C． D．

7．（2005?江西）将1，2，…，9这9个数平 均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数
列的概率为（ ）
A． B． C． D．

8．（2005?黑龙江）如果a
1
，a
2
，…，a< br>8
为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ）
A．a
1
a
8
＞a
4
a
5
B．a
1
a
8
＜a
4
a
5
C．a
1
+a
8
＞a
4
+a
5
D．a
1
a
8
=a
4
a
5


9．（2004?湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收< br>入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起< br>的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根
据以 上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）
A．4200元～4400元 B．4400元～4600元
C．4600元～4800元 D．4800元～5000元

47103n+10
2
2+

10．（2002?北京）若一个 等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为
390，则这个数列有（ ）
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项

11．（2000?北京） 设已知等差数列{a
n
}满足a
1
+a
2
+…+a
101
=0，则有（ ）
A．a
1
+a
101
＞0 B．a
2
+a
102
＜0 C．a
3
+a
99
=0 D．a
51
=51

12．（2013?上海）在数列（a
n
）中，a
n
=2﹣1，若一 个7行12列的矩阵的第i行第j列的元
素c
ij
=a
i
?a
j
+a
i
+a
j
（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12） ，则该矩阵元素能取到的不同数值的
个数为（ ）
A．18 B．28 C．48 D．63

13．（2013?上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ω
n
（n=1，2，…），当点（x，y）分别在
Ω
1
，Ω
2
，…上时 ，x+y的最大值分别是M
1
，M
2
，…，则M
n
=（ ）
A．0 B． C．2 D．2

14．（2005?上海）用n个不同的实 数a
1
，a
2
，…，a
n
可得到n!个不同的排列，每个排 列为一
n
行写成一个n!行的数阵，对第i行a
i1
，a
i2
，…，a
in
，记b
i
=﹣a
i1
+2a
i2< br>﹣3a
i3
++（﹣1）na
in
，
i=1，2，3，…，n !，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是
12，所以，b
1< br>+b
2
+…+b
6
=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在 用1，2，3，4，5形成的数阵
中，b
1
+b
2
+…+b
120
等于（ ）

A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣720

15．（2001?北京）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开 始的n个月内累积的需求
量S
n
（万件）近似地满足关系式S
n
=（ 21n﹣n﹣5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年
度内，需求量超过万件的月份是（ ）
A．5、6月 B．6、7月 C．7、8月 D．8、9月


二．填空题（共15小题）
16．（2009?江苏）设{a
n
}是公比为 q的等比数列，|q|＞1，令b
n
=a
n
+1（n=1，2，…），若数< br>列{b
n
}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ．

17．（2008?四川）设等差数列{a
n
}的前n项和为Sn
，若S
4
≥10，S
5
≤15，则a
4
的最 大值
为 ．

18．（2011?福建）商家通常依据“乐观系数准则 ”确定商品销售价格，及根据商品的最低销
售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜ 1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），
这里，x被称为乐观系数．
经验表明，最佳乐 观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，
最佳乐观系数x的值等 于 ．

2
n

19．（2011?江苏）设 1=a
1
≤a
2
≤…≤a
7
，其中a
1
， a
3
，a
5
，a
7
成公比为q的等比数列，a
2
，
a
4
，a
6
成公差为1的等差数列，则q的最小值是 ．

20．（2009?北京）{a
n
}满足：a
4n﹣3=1，a
4n﹣1
=0，a
2n
=a
n
，n∈N则a< br>2009
= ；
a
2014
= ．

21．（2009?宁夏）等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已 知2a
m
﹣a
m
=0，s
2m﹣1
=38，则m= ．

22．（2008?四川）设数列{a
n
}中，a
1
=2，a
n+1
=a
n
+n+1，则通项a
n
= ．

23．（2007?海南）已知{a
n
}是等差数列，a
4
+a
6
=6，其前5项和S
5
=10，则其公差d= ．

24．（2006?广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样 的乒乓球
堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最< br>底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一
层之上 ，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）
= ；f（n）= （答案用n表示）．


25．（2005?广东）设 平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三
条直线不过同一点，若用f（n ）表示这n条直线交点个数，则f（4）= ，当n
＞4时f（n）= （用n表示）

26．（2004?上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“ 基本量”．设{a
n
}是公比
为q的无穷等比数列，下列{a
n
}的 四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第
组．（写出所有符合要求的组号）
①S
1
与S
2
；②a
2
与S
3
；③a< br>1
与a
n
；④q与a
n
．（其中n为大于1的整数，S
n
为{a
n
}的前n项和．）

27．（2002?上海）若 数列{a
n
}中，a
1
=3，且a
n+1
=a
n< br>（n∈N），则数列的通项a
n
= ．

28．（20 11?上海）已知点O（0，0）、Q
0
（0，1）和点R
0
（3，1），记 Q
0
R
0
的中点为P
1
，取Q
0
P
1
和P
1
R
0
中的一条，记其端点为Q
1
、R< br>1
，使之满足（|OQ
1
|﹣2）（|OR
1
|﹣2）＜0， 记Q
1
R
1
的中
点为P
2
，取Q
1
P
2
和P
2
R
1
中的一条，记其端点为Q
2、R
2
，使之满足（|OQ
2
|﹣2）（|OR
2
|﹣ 2）＜
0．依次下去，得到P
1
，P
2
，…，P
n
，…，则= ．

29．（2009?湖北）已知数列{a
n
}满足：a
1
=m（m为正整数），a
n+1
=若a
6
=1 ，则m所有可能的取
值为 ．

30．（2004?北京）定义“等和 数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同
一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这 个常数叫做该数列的公和．已知数列{a
n
}是等和
数列，且a
1
= 2，公和为5，那么a
18
的值为
，这个数列的前n项和S
n
的计算公式为
．

2*
2
*

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析


一．选择题（共15小题）
1．（2012?绵阳模拟）已知定义在[0，+∞ ）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，
2）时，f（x）=﹣x+2x，设 f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a
n
（n∈N）且{a
n
}的前 n
项和为S
n
，则=（ ）
A．3 B． C．2 D．
考点：数列的求和；数列的极限．
专题：计算题；压轴题．
分析：
由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a
1
，公
2+
比，推出a
n
，然后求出S
n
，即可求出极限．
解答：解：因为f（x）=3f（x+2） ，所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单 位，最
大值变为原来的，a
1
=f（1）=1，q=，
所以a
n
=，S
n
=，==
故选D
点评：本题是中档题， 考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，
改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．

2 ．（2010?安徽）设{a
n
}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分 别为X，
Y，Z，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X） C．Y=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）
考点：等比数列．
专题：压轴题．
分析：取一个具体的等比数列验证即可．
解答：解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．
故选D
点评：对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除
3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续
排除．

2
3．（2005?广东）已知数列{x
n
}满足x
2
=，x
n
=（x
n﹣1
+x
n﹣2
），n=3，4 ，…．若=2，则x
1
=（ ）
A． B．3 C．4 D．5
考点：数列的求和；数列的函数特性．
专题：压轴题．
分析：要求极限， 先求通项，而条件只是一个递推关系且复杂，故宜采用归纳法猜测通项．并
注意无穷递缩等比数列的极限
解答：解：∵令n=3，
得，令n=4，
得，
∴，…，，
于是x
n
=x
1
+（x
2
﹣x
1
）+…+ （x
n
﹣x
n﹣1
）=

∴，x
1
=3．故选B
点评：求出前几项后，从什么角度求通项呢，一般是看差和商，采用叠加或累乘法．
< br>4．（2012?上海）设a
n
=sin，S
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
，在S
1
，S
2
，… S
100
中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题；压轴题．
分析：
由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a
1
，a
2
，…，a
24
＞0，a
26
，a
27
，…，
a49＜0，f（n）=单调递减，a
25=0
，a
26
… a
50
都为负数，但是|a
26
|＜a
1
，|a
2 7
|＜a
2
，…，
|a
49
|＜a
24
， 从而可判断
解答：解：由于f（n）=sin的周期T=50
由正弦函数性质可知，a< br>1
，a
2
，…，a
24
＞0，a
25
=0， a
26
，a
27
，…，a
49
＜0，a
50
=0
且sin，sin…但是f（n）=单调递减
a
26
…a
49
都为负数，但是|a
26
|＜a
1
，|a
27
|＜a
2
，…，|a
49
|＜a
24

∴S
1
，S
2
，…，S
25
中都为正，而S
26
，S
27
，…，S
50
都为正
同理S
1
，S
2
，…，s
75
都为正，S
1
，S
2
，…，s75
，…，s
100
都为正，
故选D
点评：本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性
质的灵活应用．

5．（2007?陕西）给出如下三个命题：
①设a，b∈R，且ab≠0，若＞1，则＜1；
②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
③若f（x）=log
i
x，则f（|x|）是偶函数．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
考点：等比数列；不等关系与不等式．
专题：压轴题．
分析：要明确等比数列和偶函数的定义，明白什么是“充要条件”．
解答：解：①，所以＜1成立；
②ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=﹣1，b=c=1；
③由偶函数定义可得．
故选C．
点评：做这类题要细心，读清题干，对基本概念要掌握牢固．

6．（2006?北京）设f（n）=2+2+2+2+…+2（n∈N），则f（n）等于（ ）
A． B． C． D．
考点：等比数列的前n项和．
专题：压轴题．
分析：首先根据题意分析出f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，然后由
等比数列前n项和公式求之即可．
解答：解：由题意知，f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，
所以f（n）==．
故选D．
47103n+10

点评：本题考查等比数列的定义及前n项和公式．

7．（2005?江西）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以 成等差数
列的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点：等差关系的确定；等可能事件的概率．
专题：计算题；压轴题．
分析：先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等
差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．
解答：解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有{（1，2，3） ，（4，
5，6），（7，8，9）}、{（1，2，3），（4，6，8），（5，7，9）}、{（1，3， 5），（2，
4，6），（7，8，9）}、{（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9）}、 {（1，5，9），（2，
3，4），（6，7，8）}，共5组．
∴所求概率为．
故选A
点评：本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质．对于数量比较小的问题中，可以用枚
举的方法解决问题直接．

8．（2005?黑龙江）如果a
1
，a
2
，…，a
8
为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（ ）
A．a
1
a
8
＞a
4
a
5
B．a
1
a
8
＜a
4
a
5
C．a
1
+a
8
＞a
4
+a
5
D．a
1
a
8
=a
4
a
5

考点：等差数列的性质．
专题：压轴题；分析法．
分析：
先根据等 差中项的性质可排除C；然后可令a
n
=n一个具体的数列进而可验证D、A不
对，得 到答案．
解答：
解：∵1+8=4+5∴a
1
+a
8
= a
4
+a
5
∴排除C；
若令a
n
=n，则a1
a
8
=1?8＜20=4?5=a
4
a
5
∴ 排除D，A．
故选B
点评：本题主要考查等差数列的性质．属基础题．
< br>9．（2004?湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根
据以上 数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）
A．4200元～4400元 B．4400元～4600元
C．4600元～4800元 D．4800元～5000元
考点：数列的应用．
专题：应用题；压轴题．
分析：根据题意算出2004年农民收入；算出2005年农民收入；根据数列的特点总结出规律
得到2008年的农民收入，估算出范围即可．
解答：解：由题知：2004年农民收入=1800×（1+6%）+（1350+160） ；
2005年农民收入=1800×（1+6%）+（1350+2×160）；…
5
所以2008年农民收入=1800×（1+6%）+（1350+5×160）≈4559
故选B
点评：考查学生利用数列解决数学问题的能力， 以及会根据条件归纳总结出一般性规律的能
2

力．

10 ．（2002?北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为
39 0，则这个数列有（ ）
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：
先根据题 意求出a
1
+a
n
的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．
解答：
解：依题意a
1
+a
2
+a
3
= 34，a
n
+a
n﹣1
+a
n﹣2
=146
∴a
1
+a
2
+a
3
+a
n
+a
n﹣ 1
+a
n﹣2
=34+146=180
又∵a
1
+an
=a
2
+a
n﹣1
=a
3
+a
n﹣ 2

∴a
1
+a
n
==60
∴S
n
===390
∴n=13
故选A
点评： 本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═和Sn=a
1
?n+这两个公 式的
灵活运用．

11．（2000?北京）设已知等差数列{a
n}满足a
1
+a
2
+…+a
101
=0，则有（ ）
A．a
1
+a
101
＞0 B．a
2
+a
102
＜0 C．a
3
+a
99
=0 D．a
51
=51
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：
根据特殊 数列a
n
=0可直接得到a
3
+a
99
=0，进而看得到答 案．
解答：
解：取满足题意的特殊数列a
n
=0，即可得到a
3
+a
99
=0
选C．
点评：本题主要考查等差数列的性质．做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时
间．

12．（2013?上海）在数列（a
n
）中，a
n
= 2﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元
素c
ij
=a
i
?a
j
+a
i
+a
j
（i=1，2，…，7；j=1，2 ，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的
个数为（ ）
A．18 B．28 C．48 D．63
考点：数列的函数特性．
专题：压轴题．
ijiji+j
分析：
于该矩阵的第i行第j列的元素c
ij
=a
i
?a
j
+a
i
+a
j
=由（2﹣1）（ 2﹣1）+2﹣1+2﹣1=2
n
﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使 a
ij
=a
mn
（i，m=1，2，…，7；j，n=1，
2，…， 12）．
则满足2﹣1=2﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n 时，
a
ij
≠a
mn
，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的 所有不同和，即可得出．
ijiji+j
解答：
解：该矩阵的第i行第j列的元素 c
ij
=a
i
?a
j
+a
i
+a
j
=（2﹣1）（2﹣1）+2﹣1+2﹣1=2
﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，… ，12），
当且仅当：i+j=m+n时，a
ij
=a
mn
（i， m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所 有不同和，其和为2，3，…，19，共
18个不同数值．
i+jm+n

故选A．
点评：
题意得出：当且仅当i+j =m+n时，a
ij
=a
mn
（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2， …，12）由
是解题的关键．

13．（2013?上海）记椭圆围成的区域（含 边界）为Ω
n
（n=1，2，…），当点（x，y）分别在
Ω
1
，Ω
2
，…上时，x+y的最大值分别是M
1
，M
2
，…，则M
n
=（ ）
A．0 B． C．2 D．2
考点：数列的极限；椭圆的简单性质．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为： （θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大
值，从而求出极限的值．
解答：解：把椭圆得，
椭圆的参数方程为：（θ为参数），
∴x+y=2cosθ+sinθ，
∴（x+y）
max
==．
∴M
n
==2．
故选D．
点评：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三
角函数知识的灵活运用．

14．（2005?上海）用n个不同的实数a
1
，a
2
，…，a
n
可得到n!个不同的排列，每个排列为一n
行写成一个n!行的数阵，对第i行a
i1
，a
i2
，…，a
in
，记b
i
=﹣a
i1
+2a
i2
﹣3 a
i3
++（﹣1）na
in
，
i=1，2，3，…，n!，例如： 用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是
12，所以，b
1
+b
2
+…+b
6
=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2， 3，4，5形成的数阵
中，b
1
+b
2
+…+b
120等于（ ）

A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣720
考点：数列的求和；高阶矩阵．
专题：计算题；压轴题．
分析：先根据题意算出数阵的行数5！和每一列数字之和5!÷5×（1+2+3+4+5） ，再根据
b
1
+b
2
+…+b
120
=360×（﹣1+2 ﹣3+4﹣5）求得答案．
解答：解：由题意可知数阵中行数5！=120，
在用1，2，3，4，5形成的数阵中，
每一列各数字之和都是5!÷5×（1+2+3+4+5）=360，
∴b
1
+b
2
+…+b
120
=360×（﹣1+2﹣3+4﹣5）=360×（ ﹣3）=﹣1080．
故选C
点评：本题主要考查了数列的求和问题．本题给学生创设了一个很好的发现、研究型学习的
平台．

15．（2001?北京）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初 开始的n个月内累积的需求
量S
n
（万件）近似地满足关系式S
n
= （21n﹣n﹣5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年
度内，需求量超过万件的月份是（ ）
A．5、6月 B．6、7月 C．7、8月 D．8、9月
考点：数列的应用．
2

专题：应用题；压轴题．
分析：本题考查了数列的前n项和知识和二次不等式的求解问题． 既可以直接求解二次不等
式得到n的范围，再根据n∈Z找到满足题意的n；即可得到答案．
2
解答：
解：由S
n
解出a
n
=（﹣n+15n﹣9），
再解不等式（﹣n+15n﹣9）＞，
得6＜n＜9．
答案：C
点评：本题考查了数列前n项和的知识，二次不等式的知识．解答时要充分体会二次不等式
在解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用．

二．填空题（共15小题）
16．（2009?江苏）设{a
n
}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn
=a
n
+1（n=1，2，…），若数
列{b
n
}有 连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ﹣9 ．

考点：等比数列的性质；数列的应用．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
根据B
n
=A
n
+1可知 A
n
=B
n< br>﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，
2
则可推 知则{A
n
}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上
述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A
n
}中连续的四项 ，求得q，
进而求得6q．
解答：解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中
B
n
=A
n
+1 A
n
=B
n
﹣1
则{A
n
}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中
{A
n
}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项
等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值
18，﹣24，36，﹣54，81
相邻两项相除
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A
n
}中连续的四项
q=﹣或 q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）
∴q=﹣
∴6q=﹣9
故答案为：﹣9
点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．

17．（2008?四川 ）设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
4
≥10， S
5
≤15，则a
4
的最大值为 4 ．

考点：等差数列的前n项和；等差数列．
专题：压轴题．
分析：
利 用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a
1
的范围，a
4
用d或a
1
表示，再用不等式的性质求得其范围．

解答：
解：∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
4
≥10，S
5
≤15，
∴，
即
∴
∴，5+3d≤6+2d，d≤1
∴a
4
≤3+d≤3+1=4故a
4
的最大值为4，
故答案为：4．
点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；

18．（2011?福建）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），
这里，x被称为乐观系数．
经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（ b﹣a）的等比中项，据此可得，
最佳乐观系数x的值等于 ．

考点：数列的应用．
专题：计算题；压轴题．
2
分析：
根 据题设条件，由（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，知[x（b﹣a）]=（b
﹣a）﹣ x（b﹣a），由此能求出最佳乐观系数x的值．
解答：解：∵c﹣a=x（b﹣a） ，b﹣c=（b﹣a）﹣x（b﹣a），
（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，
∴[x（b﹣a）]=（b﹣a）﹣x（b﹣a），
2
∴x+x﹣1=0，
解得，
∵0＜x＜1，
∴．
故答案为：．
点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．

19．（2011?江苏）设 1=a
1
≤a
2
≤…≤a
7
，其中a
1
，a
3
，a
5
，a
7
成公比为q的等比数列，a
2
，
a
4
，a
6
成公差 为1的等差数列，则q的最小值是 ．

考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
利用等差数列的通项公式将a
6< br>用a
2
表示，求出a
6
的最小值进一步求出a
7
的最 小值，
利用等比数列的通项求出公比的范围．
解答：
解：方法1：∵1=a
1
≤a
2
≤…≤a
7
； a
2
，a
4
，a
6
成公差为1的等差数列，
22
222
∴a
6
=a
2
+2≥3，
∴a
6
的最小值为3，
∴a
7
的最小值也为3，
此时a
1
=1且a
1
，a
3
，a
5
，a
7
成公比为q的等比数列，必有q＞0，
3
∴a
7
=a
1
q≥3，
3
∴q≥3，q≥，
方法2：

由题意知1=a
1
≤a
2
≤…≤a
7
；中a
1
，a
3
，a
5
，a
7
成公比为q的等比数列，a
2
，a
4
，a
6
成
33
公差为1的等差数列，得，所以，即q﹣2≥1，所以q≥3，解得q≥，
故q的最小值是：．
故答案为：．
点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，
解方程组求解．即基本量法．

20．（2009?北京）{a
n
}满足：a
4n﹣3
=1，a
4n﹣1
=0，a
2n
=a
n
，n∈N则a
2009
= 1 ；a
2014
= 0 ．

考点：数列的概念及简单表示法．
专题：压轴题．
分析：
由a
4n﹣3
=1，a
4n﹣1
=0，a
2n
=a
n
，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的
2009可写为503×4﹣ 3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4
﹣1，所以第201 4项是0．
解答：解：∵2009=503×4﹣3，
*
∴a
2009
=1，
∵a
2014
=a
1007
，
1007=252×4﹣1，
∴a
2014
=0，
故答案为：1，0．
点评：培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函
数 的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性
的思维方法．

21．（2009?宁夏）等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知2a
m
﹣a
m
=0，s
2m﹣1
=38，则 m= 10 ．

考点：等差数列的前n项和．
专题：计算题；压轴题．
分析：
根据题意先解出a
m
，再利用等差数列的前n项和与特殊项之间的关 系S
2m﹣1
=（2m﹣1）
2
a
m
，建立方程，求解即可 ．
2
解答：
解：∵2a
m
﹣a
m
=0，
解得a
m
=2或a
m
=0，
∵S
2m﹣1
=38≠0，
∴a
m
=2；
∵S
2m﹣1
=×（2m﹣1）=a
m
×（2m﹣1）=2×（2m﹣1）=38 ，
解得m=10．
故答案为10．
点评：本题主要考查了等差数列前n项和公式与等差数列性质的综合应用， 熟练掌握公式是
解题的关键．

22．（2008?四川）设数列{a
n
}中，a
1
=2，a
n+1
=a
n
+n+1，则通 项a
n
= ．

考点：数列递推式．
专题：计算题；压轴题．

分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2， 3…n的数列相邻两项的关系，进而各式相加
即可求得答案．
解答：
解：∵a
1
=2，a
n+1
=a
n
+n+1 ∴a
n
=a
n﹣1
+（n﹣1）+1，a
n﹣1
=a< br>n﹣2
+（n﹣2）+1，a
n﹣2
=a
n﹣3
+（n﹣3） +1，…，a
3
=a
2
+2+1，
a
2
=a
1
+1+1，a
1
=2=1+1
将以上各式相加得：a
n
=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2+1]+n+1
=
故答案为；
点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式． 重视递推公式的特征与解法的选
择 ；抓住a
n+1
=a
n
+n+1中a
n+1
，a
n
系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭
代法等；

23．（ 2007?海南）已知{a
n
}是等差数列，a
4
+a
6
= 6，其前5项和S
5
=10，则其公差d= ．

考点：等差数列的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：
先根据a
4
+a
6
=2a
5
=求得a
5
的值，再根 据，进而求得a
1
，进而根据求得d．
解答：
解：a
4
+a
6
=2a
5
=6
∴a
5
=3，
∴
故答案为
点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质和通项公式的运用．

24 ．（2006?广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球
堆成若干 堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最
底层（第一层）分别 按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一
层之上，第n堆第n层就放一个乒 乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=
10 ；f（n）= n（n+1）（n+2） （答案用n表示）．


考点：数列的求和．
专题：压轴题；规律型．
分析：由题意知第一堆乒乓球只有1层，个数为1，第二堆乒乓球有两层，个数分别为1，
1 +2，第三堆乒乓球有三层，个数分别为1，1+2，1+2+3，第四堆乒乓球有四层，个数
分别为1 ，1+2，1+2+3，1+2+3+4，因此可以推知第n堆乒乓球有n层，个数分别为1，
1+2， 1+2+3，…，1+2+3+…+n，据此解答．
解答：解：由题意知，f（1）=1，f（2）= 1+1+2，f（3）=1+1+2+1+2+3，…，f（n）
=1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…+n，
分析可得：f（n）﹣f（n﹣1）=1+2+3+…+n==+；
f（n）=[f（n）﹣ f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+[f（n﹣2）﹣f（n﹣3）]+…+f
（2） ﹣f（1）+f（1）
==n（n+1）（2n+1）+n（n+1）=n（n+1）（n+2）．
故答案为：10；n（n+1）（n+2）．
点评：本题主要考查数列求和在实际中的应用，解决问题的关键是先由f（1） 、f（2）、f（3）

的值通过归纳推理得到f（n）的表达式，在求和时注意累加法的运用．

25．（2005?广东）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三< br>条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点个数，则f（4）= 5 ，当n＞4时f
（n）= （用n表示）

考点：等差数列的前n项和；数列的应用．
专题：压轴题；规律型．
分析：要想求出f（4）的值，我们画图分析即可得到答案，但要求出n＞4时f（n）的值，
我们要逐一给出f（3），f（4），…，f（n﹣1），f（n）然后分析项与项之间的关系，
然后 利用数列求和的办法进行求解．
解答：解：如图，4条直线有5个交点，
故f（4）=5，
由f（3）=2，
f（4）=f（3）+3
…
f（n﹣1）=f（n﹣2）+n﹣2
f（n）=f（n﹣1）+n﹣1
累加可得f（n）=2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）
=
=
故答案为5，

点评：本题考查的知识点是归纳推理与数列求和，根据f（3） ， f（4），…，f（n﹣1），f（n）
然后分析项与项之间的关系，找出项与项之间的变化趋势是解决 问题的关键．

26．（2004?上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“ 基本量”．设{a
n
}是公比
为q的无穷等比数列，下列{a
n
}的 四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 ①④
组．（写出所有符合要求的组号）
① S
1
与S
2
；②a
2
与S
3
；③a
1
与a
n
；④q与a
n
．（其中n为大于1的整数，S
n
为{a
n
}的前n项和．）

考点：等比数列．
专题：计算题；压轴题．
分析：
由根据等差数列性质可知，利用S
1< br>和S
2
，可知a
1
和a
2
．由可得公比q，故能确定 数列
是该数列的“基本量”；
由a
2
与S
3
，设其公比为 q，首项为a
1
，可得把a
1
和S
3
代入整理得a
2
q+（a
2
﹣S
3
q）+a
2
=0
q不能确定，不一定是数列 的基本量；
由a
1
与a
n
， 可得a
n
=a
1
q，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列；
根据等比数列通项公式，数列{a
n
} 能够确定，是数列{a
n
} 的一个基本量．
解答：
解：（1）由S
1
和S
2
，可知 a
1
和a
2
．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”，
故①对；
（2）由a
2
与S
3
，设其公比为q，首项为a
1
，可得a
2
=a
1
q，a
1
=，S
3< br>=a
1
+a
1
q+a
1
q，
2
∴ S
3
=+a
2
+a
2
q，∴a
2
q+（a
2
﹣S
3
q）+a
2
=0；
满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列 的
2
n﹣1
2

基本量，②不对；
（3）由a
1
与a
n
，可得a
n
=a
1
q，当n为奇数时， q可能有两个值，故不一定能确定
数列，所以也不一定是数列的一个基本量．
（4）由q与a
n
由a
n
=a
1
q，故数列{a
n
} 能够确定，是数列{a
n
} 的一个基本量；
故答案为：①④．
点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

27．（2002?上海）若数列{a
n
}中，a
1
=3，且a
n +1
=a
n
（n∈N），则数列的通项a
n
= 3

考点：数列递推式．
专题：计算题；压轴题．
2242n﹣1
分析：
递推公式a
n+1
=a
n
多次运用迭代可求出数列a
n=a
n﹣1
=a
n﹣2
=…=a
1
由
解答：
解：因为a
1
=3
n﹣1
n﹣1
2*2n﹣1
．
多次运用迭代，可得a
n
=a
n﹣1
=a
n﹣2
=…=a
1
=3，
故答案为：
点评：本题主要考查利用迭代法求数列的通项公式，迭代中要注意规律，灵活运用公式，熟
练变形是解题的关键

28．（2011?上海）已知点O（0，0）、Q
0
（0，1）和点R
0
（3，1），记Q
0
R
0
的中点为P
1
，取Q
0
P
1
和P
1
R0
中的一条，记其端点为Q
1
、R
1
，使之满足（|OQ
1
|﹣2）（|OR
1
|﹣2）＜0，记Q
1
R
1
的中
点为P
2
，取Q
1
P
2
和P
2R
1
中的一条，记其端点为Q
2
、R
2
，使之满足（| OQ
2
|﹣2）（|OR
2
|﹣2）＜
0．依次下去，得到P
1
，P
2
，…，P
n
，…，则= ．

考点：数列与解析几何的综合；数列的极限．
专题：综合题；压轴题．
分析：
由题意（|OQ
1
|﹣2）（|OR
1
|﹣2）＜0，（|OQ2
|﹣2）（|OR
2
|﹣2）＜0．依次下去，则Q
1
、242n﹣12n﹣1
R
1
；Q
2
、R
2
，… 中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，根据题意推出P
1
，P
2
，…，P< br>n
，…，
的极限为：（），然后求出．
解答：
解：由题意（|OQ
1
|﹣2）（|OR
1
|﹣2）＜0，所以第一次只能取P
1
R
0
一条，（|OQ
2
|﹣2）
（|OR
2
|﹣ 2）＜0．依次下去，则Q
1
、R
1
；Q
2
、R
2
，…中必有一点在（）的左侧，一点
在右侧，由于P
1
，P
2
，…，P
n
，…，是中点，根据题意推出P
1
，P
2
，… ，P
n
，…，的极
限为：（），所以=|Q
0
P
1
|=，
故答案为：．
点评：本题是基础题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意
分析题意，P
n
的规律是本题解答的关键，考查逻辑推理能力．

29．（2009?湖北）已知数列{a
n
}满足：a
1
=m（m为正整数 ），a
n+1
=若a
6
=1，则m所有可能的取
值为 4，5，32 ．

考点：数列递推式．
专题：压轴题．
分析：
由题设 知a
5
=2，a
4
=4，有①②两种情况：①a
3
=1，a
2
=2，a
1
=4，即m=4；②a3=8，a
2
=16，
有③④两种情况：③a
1
=5，即m=5；④a
1
=32，即m=3 2．
解答：
解：∵数列{a
n
}满足：a
1
=m（m为正整数），

a
n+1
=，
a
6
=1，
∴a
5
=2，a
4
=4，有①②两种情况：
①a
3
=1，a
2
=2，a
1
=4，即m=4；
②a
3
=8，a
2
=16，有③④两种情况：
③a
1
=5，即m=5；
④a
1
=32，即m=32．
故答案为：4，5，32．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

30．（2004?北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a
n
}是 等和
数列，且a
1
=2，公和为5，那么a
18
的值为
3 ，这个数列的前n项和S
n
的计算公式为
当n为偶数时，；当n为奇数时， ．

考点：数列的求和；数列的应用．
专题：压轴题；创新题型．
分析：
由题意可知，a
n
+a
n+1
=5，且a
1
=2，
所以
，a
2=
3，a
3
=2，a
4
=3，进而找出这个数列的奇数项
为2，偶数项为3，所以a
18
的数值为 3．由于该数列为2，3，2，3，2，3…所以求和
时要看最后一项是2还是3，就需对n分奇数还是 偶数进行讨论，
解答：
：解由题意知，a
n
+a
n+1
=5，且a
1
=2，所以，a
1
+a
2
=5，得a
2=
3，a
3
=2，a
4
=3，…a
17
=2，a
18
=3，
当n为偶数时s
n=（
2+3）+（2+3）+（2+3）+…+（2+3）=5×=
当n为奇数时s
n=
（2+3）+（2+3）+…（2+3）+2=5×+2=
故答案为：3；当n为偶数时S
n
=，当n为奇数时S
n
=
点评：本题由新定义考查数列的求和，在求和时一定注意对n分奇数和偶数讨论