高中数学专题——微积分基本定理与应用

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22、定积分
22．2 微积分基本定理与应用
一．知识结构
1、定积分
⑴定积分的定义：
?
b
af(x)dx?lim
?
n??
i?1
n
b?a
f(< br>?
i
)
（注意整体思想）
n
⑵定积分的性质：①
②
③
?
b
a
；
kf(x)dx?k
?
f(x)dx
（
k
常数）
a
b
?
b
a
b
[f
1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx
；
aa
bb
?
a
（分步累加）
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
（其中
a?c?b)
。
ac
cb
⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式） ：
?
b
a
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b )?F(a)

n?1
?
??
1
x
??
?
?
????
sinx??cosxcosx?sinx
（熟记
xn
?
?
（），，，，
??
?lnx
n??1
?
n?1
?
x
??
?
x
??
a
xx
?
?
??
）
e?e
，
a
x
?< br>?
?
lna
?
??
2定积分的应用：
①求曲边梯形的面积：
S?
；
?
(f(x)?g(x))dx< br>（两曲线所围面积）
a
b
注意：若是单曲线
y?f(x)
与x 轴所围面积，位于x轴下方的需在定积分式子前加“—”
②求变速直线运动的路程：
S?③求变力做功：
W?
?
v(t)dt
；
a
b
?
b
a
F(s)ds
。
二，典型例题
【典型例题】
[例1]（1）由抛物线
y?x
和直线x=1所围成的图形的面积等于 （ ）
A．1 B．
2
4

3
C．

2

3
D．

1

3
（ ） （2）如图，阴影部分的面积是
A．
23
B．
9?23

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C．
32

3
D．

35

3


（ ） （3）
|x
2
?4|dx
=
?
1
0


22
21
B．
3
3
25
23
C． D．
3
3
A．
2
x
cosdx
= ．
?
?
2
2
?
（4）
（5）按万有引力定律，两 质点间的吸引力
F?k
m
1
m
2
r
2
，k 为常数，
m
1
,m
2
为两质点的质量，r
为两点间距离，若 两质点起始距离为a，质点m
1
沿直线移动至离m
2
的距离为b处，试求所作之功（ｂ＞a） ．
[例2] 如图，求由两条曲线
y??x
，
4y??x
及直线y= -1所围成图形的面积．
y

o
-1
1 2
x
-
2


A
B
2

-1
C
D
y??x

4y??x
2



例2图

[例3]如图，抛物线C
1
：y= -x2
与抛物线C
2
：y=x
2
-2ax(a>0)交于O、A两点 ．若过原点的直线l
与抛物线C
2
所围成的图形面积为






A


例3图

< br>[例4]已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x
2
上的点．直线l
1
过点A，且与抛物线C相切．直线l
2
：
x=a(a≠-1)交抛物线C于点B，交 直线l
1
于点D．
（1）求直线l
1
的方程；
（2）设
?
ABD的面积为S
1
，求
BD
及S
1
的 值；
（3）设由抛物线C、直线l
1
、l
2
所围成的图形的面积为 S
2
，求证：S
1
∶S
2
的值为与a无关的常
数．
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22
9
3
a
，求直线l的方程．
2

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【课内练习】
1．

2．
?
5
0
(2x?4)dx
=
B。4

C。3

D。2
（ ）
A．5
2
1

?
1
x
lnxdx
=
1
A．
ln
2
2
B。
ln2
C。
ln
2
2
D。
ln2

2
a
1
3． 若
?
(2x?)dx?3?ln2
，且a＞1，则a的值为
1
x
A．6 B。4 C。3 D。2
4． 已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t
0
所走的路程为
222
gt
0
gt
0
gt
0
2
A． B．
gt
0
C． D．
326
2
（ ）
（ ）
（ ）
5． 曲线
y?x
与直线
y?x?2
所围成的图形（阴影部分）的面积等于 ．
6．
7．
?
x
0
a
F'
?
t
?
dt?
。
(xcosx?5sinx?2)dx
= 。
?
?a
8．

计算下列定积分的值
（1）
?< br>(4x?x)dx
；
（2）
?
2
(x?sinx)dx
；
（3）
?
2
?
cos
2
xdx
。
2
?1
0
?
2
3
?
?







9． 平地上有一条小沟，沟沿是两 条长100m的平行线段，
沟宽AB为2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物
线，抛物 线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，
沟中水深1m．
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（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体 积为底面积乘以高，沟中的水有
多少立方米？













10．设y?f(x)
是二次函数，方程
f(x)?0
有两个相等的实根，且
f< br>?
(x)?2x?2
．


（1）求
f(x)
的表达式．
（2）若直线
x??t(0?t?1 )
把
y?f(x)
的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，
求t的值．







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22、定积分
22．2 微积分基本定理与应用
A组
1． 下列有定义的定积分为
A．
?

4
（
2
）
1
dx

?1
x
1
B。
?

1
dx

?2
cosx
2
C。
?

0
dx

(x?2)
2
D。
?
lnxdx

0
2．

?
(e
0
1
x
?e
?x
)dx
=
D．
e?

D．3
（ ）
2
1
B．2e C．
e
e
3
3． 曲线
y?cosx,x?[0,
?
]
与坐标轴围成的面积
2
5
A．4 B．2 C．
2
A．
e?
4． 若
?
(3x
2
?4x? 5)dx
=a
3
-2（a＞1），则a= 。
0
a
1

e
（ ）
5．
?
9
4
x(1?x)dx
= 。
2
2
1
3
2
6． 求定积分：
?
x(9?x)dx
。
0






7． 求曲线
y??x
3
?x
2< br>?2x
与
x
轴所围成的图形的面积．








8． 如图，抛物线
y?4?x
2
与直线y＝3x的二交点为A
、
B.点P在抛物线的弧上从A向B运动。
（1）求使
?PAB
的面积为最大时P点的坐标
(a,b)
；
（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分.
y
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4
2
P
?4?2
A< br>0
2
4
?2
x

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22、定积分
22．2 微积分基本定理与应用
B组
?
1．

2．
?
3
0
(2cos
2
3

2
2
x
?1)dx
=
2

C。

C。23
x
（ ）
A．
?
1
B。
?

2

B。22
1

2
D。

3

2
（ ）
?
|3x
0
3
?12|dx
=
A．21
3． 下列命题：





D。24
①若f(x)是定义在R上的奇函数，则
?
f(t)dt
为R上的偶函数；
0
②若f(x)是周期为T（＞0）的周期函数，则
?
f(x)dx?
?
0
aa?T
T
f(x)dx
；
③
(
?
f
?
(t)dt)
?
?f
?
(x)
。
0
x
其中正确命题的个数为
A．0 B。1

C。2

D。3
（ ）
4． 由曲线
y?2?x
2
与直线
y??x
所围成的平面图形的面积为 。
5． 已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 ．
6． 求由曲线
y?x
2
?2x
与x轴所围的封闭区域的面积。




7． 设某物体一天的温度T是时间t的函数，T (t) = at
3
+bt
2
+ct+d (a≠0)，其中温度的单位是
C
，
?
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时间的单位是小时，t=0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后．若测得 该物体在8∶00的
温度为8
C
，12∶00的温度为60
C
，13 ∶00的温度为58
C
，且已知该物体的温度在8∶00
和16∶00有相同的变化率 ．
（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在10∶00到14 ∶00这段时间中（包括10∶00和14∶00），何时温度最高？
并求出最高温度；
（3 ）如果规定一个函数
f(x)
在
[x
1
,x
2
]( x
1
?x
2
)
上函数值的平均为
???
1
x
2
?x
1
?
x
2
x
1
f(x )dx
，求该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度．



8． 一物体按规律x＝bt
3
作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻 力正比于速度
的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．
8． 物体的速度
V?
为比例常数，k>0．
dx
?(bt
3
)
?
?3bt
2
．媒质阻力
F
zu
?kv
2
?k(3bt
2
)
2
?9kb
2
t
4，其中k
dt
1
a
当x=0时，t=0；当x=a时，
t?t< br>1
?()
3
，又ds=vdt，故阻力所作的功为
b
t1
t
1
t
1
27
3
7
27
3
7223
W
zu
?
?
F
zu
ds?
?
kv?vdt?k
?
vdt?k
?
(3bt
2
)
3
dt?kbt
1
?kab
。
000
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参考答案
22．2 微积分基本定理与应用
【典型例题】
[例1]（1）B．
（2）C．
（3）C．
?1
?
。
42
11
（5）
km
1
m
2
(?)
。
ab
（4）
[例2]由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积 的2倍．


?
y??x
2
由
?
得C（ 1，-1）．同理得D（2，-1）．
y??1
?
∴ 所求图形的面积
2
x
2
x
2
2
S=
2{
?
[?? (?x)]dx?
?
[??(?1)]dx}

01
44
1
2
2
x
2
3x
2
?2(
?
dx?
?
dx?
?
dx)

0
4
1
4
1
1
y
-
2
-1
o
-1
1 2
x
A

y??x
2

B
C
D
4y??x
2

x
3

?2(
4x
3
2
4
12
??x)?
．
011
123
例2图
?
y?kx
[例3]设过原点的直 线方程为y=kx，解方程组
?
，得x
1
=0，x
2
=k+ 2a．
2
y?x?2ax
?
当k+2a≥0时，
S?
?< br>k?2a
0
(kx?x?2ax)dx?
?
2
k?2a
0
[(k?2a)x?x
2
]dx

k?2a
2
1
3k?2a
(k?2a)
3
?(x?x)
0
?
．
236
于是 (k+2a)
3
=27a
3
，解得k=a．
所以，直线l的方程为y=ax．
(k?2a)
3
当k+2a<0时，S?
?
[(k?2a)x?x]dx
??
．
k?2a
6
0
2
于是 - (k+2a)
3
=27a
3
，解得k= -5a．
所以，直线l的方程为y= -5ax．
综上所述，所求直线l的方程为y=ax或y= -5ax．
[例4]（1）由y=2x
2
，得
y
?
?4x
．当x= -1时，
y
?
??4
．
∴l
1
的方程为y-2= -4(x+1)，即4x+y+2=0．
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（2）由y=2x
2
及x=a，解得点B的坐标为（a,2a
2
）．
由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a,-4a-2）．
又可求得点A到直线 BD的距离为
a?1
，
BD
=2a
2
+4a+2=2(a+ 1)
2
．
∴S
1
=
a?1
．
3
2
32
(2x?4x?2)dx?(x?2x
2
?2x)
a
?1

?
?1
3
222
?a
3
?2a< br>2
?2a??2?2?(a?1)
3
，
333
?1
2
当a<-1时，
S
2
?
?
(2x
2
?4 x?2)dx
??(a?1)
3
，
a
3
（3）由题意，当 a>-1时，
S
2
?
a
∴S
1
∶S
2=3∶2．即S
1
∶S
2
的值为与a无关的常数．
【课内练习】
1． A。
2． A。
3． D。
4． C。
5．
9
。
2
6． F(x)-F(0)。
7． 4a。
20
?
?
2
8． （1）；（2）（3）。
?1
；
8
32
9． （Ⅰ）如图建立直角坐标系xoy，设抛物线方程为
y?ax,(a?0)
．
则由抛 物线过点
B(1,)
，可得
a?
于是抛物线方程为
y?
2< br>3
2
3
．
2
3
2
x
．
2
当y=1时，
x??
26
6
，由此知水面宽为（m）．
3
3
（Ⅱ）柱体的底面积
S?2
?
6
3
0
6
3
3
2
(1?x)dx
?2(
?
3< br>dx
?
?
3
x
2
dx)

0
2
2
0
6
?2(x
6
3
0
31462
??x
3
0
3
)?(m)
．
239
464006
3
4006
3
?(m)
，即水沟中有水
m< br>．
99
9
6
∴柱体体积为
100?
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10．（1）
f(x)?x?2x?1
；（2）
t?1?

2
1
3
2
．
22．2 微积分基本定理与应用
A组
1． B。
2． D。
3． D。
4． 2。
271
。
6
52
6． 。
9
7． 首先求出函 数
y??x
3
?x
2
?2x
的零点：
x
1
??1
，
x
2
?0
，
y
C
A图形在
x
轴下方，在
(0 , 2)
内，
x
3
?2
.又易判断出在
(?1 , 0)
内，
G
在
x
轴上方，所以所求面积为
x
0 2
37
F
O
。
A??(?x
3
?x
2
?2x)dx?(?x
3
?x
2
?2x)dx
?
D
?1 0
12
E
B
37125
8． （1）
P(?,)
；（2）面积均为。
图
2412

5．
图形
??
B组
1． D。
2． 23。
3． D。
4．
9
。
2
5． 如图所示，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F与
弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F = kx．在上式中k为比例
系数．
根据题意，当x = 0. 02时，F = 9. 8，故由F = kx得k =490．这样
得到的变力函数为F = 490x．于是所求的功为


W?
6．
F
0
x
x
?
0.1
0
x
2
490xdx?490()< br>2
0.1
0
?2.45
（J）．
4

3
7． （1）根据条件可得T（0）=60，T（-4）=8，T（1）=58，
T
?
(?4)?T
?
(4)
，则d=60，b=0，
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a=1，c= -3，因此，温度函数T(t)= t
3
-3t+60．
（2）
T
?
(t)?3t?3?3( t?1)(t?1)
，当
t?(?2,?1)?(1,2)
时，
T
?
(t)?0
；当
t?(?1,1)
时，
T
?
(t) ?0
．因此，函数T(t)在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，
2）上递增，即t= -1是极大值点．
由于T（-1）=T（2）=62，所以10∶00到14 ∶00这段时间中，该物体在11∶00和14∶00
的温度最高，最高温度为62
C
．

4
11
4
3
（3）根据定义，平均温度为
T (t)dt?
?
(t?3t?60)dt?60
，即该物体
4?(?4)?
?4
8
?4
2
?
在8∶00到16∶00这段时间内 的平均温度60
C
．
8． 物体的速度
V?
为比例常数，k>0．
?
dx
?(bt
3
)
?
?3bt
2
．媒质阻力
F
zu
?kv
2
?k(3bt
2
)< br>2
?9kb
2
t
4
，其中k
dt
1
a
当x=0时，t=0；当x=a时，
t?t
1
?()
3
， 又ds=vdt，故阻力所作的功为
b
t
1
t
1
t
1
27
3
7
27
3
72
W
zu
?
?
F
zu
ds?
?
kv
2
?vdt?k
?
v
3
dt?k
?
(3bt
2
)
3
dt?kbt
1
?kab
。
000
77


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