高一数学上册第一章知识点

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第一章知识点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：
（一）集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
4. 集合运算：交、并、补.
交：A
?
B?{x|x?A,且x?B}< br>并：A
?
B?{x|x?A或x?B}

补：C
U
A?{x?U,且x?A}
5. 主要性质和运算律
（1） 包含关系：
A?A,??A,A?U,
C
U
A?U,
A?B,B?C?A?C;A?B?A,A?B?B;A?B?A,A?B?B.

（2） 等价关系：
A?B?A?B?A?A?B?B?
C
U
A?B?U

（3） 集合的运算律：
交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律:
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)

分配律:.
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A? C)

0-1律：
??A??,??A?A,U?A?A,U?A?U

等幂律：
A?A?A,A?A?A.

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求补律：A∩?
U
A=φ A∪?
U
A=U ?
U
U=φ ?
U
φ=U ?
U
U(?
U
A)=A
反演律：?
U
(A∩B)= (?
U
A)∪(?
U
B) ?
U
(A∪B)= (?
U
A)∩(?
U
B)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ)
=0.
基本公式：
(1)card(A
?
B)?card(A) ?card(B)?card(A
?
B)
(2)card(A
?
B< br>?
C)?card(A)?card(B)?card(C)

?card(A
?
B)?card(B
?
C)?card(C
?
A)
?card(A
?
B
?
C)
(3) card(?
U
A)= card(U)- card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a
0
(x-x
1
) (x-x
2
)?(x-x
m
)>0(<0)形式，并将各因式x的系数
化“+”；(为了统一方便)
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后 ）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；
若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
x
1
x
2
x
3
x
m-3
-
x
m-2
x
m-1
+
-
x
m
+
x

（自右向左正负相间）
则不等式
a
0
x< br>n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
?
?
?a
n
?0(?0)(a
0
?0)
的 解可以根据各区间的
符号确定.
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax
2
+box>0(a>0)解的讨论.


??0

??0

二次函数

??0

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

一元二次方程
有两相异实根

2

有两相等实根
b
x
1
?x
2
??

2a


无实根
ax?bx?c?0
?
a?0
?的根
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

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ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
?
xx??
?

2a
??

?


R


?


?
xx
1
?x?x
2
?


2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为
的形式，
（2）转
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)g(x)g(x)g(x)g(x)
化为整式不等式（组）
f(x)f(x)
f( x)g(x)?0

?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
?
g( x)?0
?
g(x)g(x)
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法：< br>ax?b?c
,与
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法.
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是
简单命题；由简单 命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是
复合命题。
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；
非p(记作“┑q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
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一个命题的真假与其他三 个命题的真假有如下三条关系：(原命题
?
逆否命
题)
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知p
?
q那么我们说，p是q的充分条件，q
是p的必要条件。
原命题
若p则q
互
否
互
逆
互
为
为
否
逆命题
若q则p
互
否
逆
逆
否
若 p
?
q且q
?
p,则称p是q的充要条件，记为p?q.
否命题
互

若┐p则┐q
互
逆
7、反证法：从命题 结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理?)
矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法。


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逆否命题
若┐q则┐p