“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用

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“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中
的应用

作者：陈祖灵

来源：《理科考试研究·高中》2013年第07期

“算两次”是 一种重要的数学方法，又称为富比尼（G。Fubini）原理。它的基本思想是：
将同一个量从两个不 同角度计算两次，从而建立等量关系。如立体几何中求距离常用的等体积
法，就是利用三棱锥可换底的特 点，两次计算体积建立等式求高（即距离）。又如在解析几何
中求某些动点轨迹，常根据动点满足的两个 条件列出等式。“算两次”常用于解各类数学竞赛
题。而在高中数学解题教学中“算两次”的方法虽有应 用但不受重视，没有从思想的高度予以认
识。甚至解题教学中很少提到“算两次”的概念。
“算两次”的解题形式，单墫教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，
“一方面… …，另一方面……，综合起来可得……”。如果两个方面都是精确的结果，综合起来
得到一个等式；如果 至少有一个方面采用了估计，那么综合起来得到一个不等式。“算两次”不
仅体现了从两个方面去计算的 解题方法，还蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。向学生介绍
“算两次”的解题应用，能有效地培养学 生思维的发散性，使学生体会到数学知识的内在联系及
统一性。它应当成为学生进行再发现、再创造活动 的探索方式。本文介绍算两次原理在高中数
学解题中的应用情况，以期引起大家的重视。
一、算两次与解析几何
例1 椭圆以正方形ABCD的对角顶点A、C为焦点，且经过各边的中点，求椭圆的离心
率。
评注 如何建立关于a、c的关系式从而求出e呢？在这里线段AM具有双重身份，可有两
种表达形式， 正是表达的多样性使得“算两次”有了用武之地。在很多与图形有关的题目中只要
细心寻找诸如AM这样 的量，“算两次”就有了一展身手的机会。
二、算两次与向量
评注 本题解决的关键是从两个角度来考虑向量AP。一个角度顺其自然（题目已知），一
个角度曲径通 幽（隐藏的结论）。教学过程中教师有必要总结提炼出这里的数学方法——算两
次，使学生对问题的解决 能力得到进一步提升。
三、算两次与导数