高中数学解三角形课件

亲爱的同学，太阳每天都是新的，你是否每天



都在努力。
解三角形






（数学5必修）第一章：解三角形

[基础训练A组]
一、选择题
1．在△ABC中，若
C?90
0
,a?6,B?30
0
，则
c?b
等于（ ）
A．
1
B．
?1
C．
23
D．
?23

2．若
A
为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A．
sinA
B．
cosA
C．
tanA
D．
1
tanA

3．在△ABC中 ，角
A,B
均为锐角，且
cosA?sinB,
则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是
3
，这条高与底边的夹角为
60
0
， 则底边长为（
A．
2
B．
3
2
C．
3
D．
23

5．在△
ABC
中，若< br>b?2asinB
，则
A
等于（ ）
A．
30
0
或60
0
B．
45
0
或60
0
C．
120
0
或60
0
D．
30
0
或150
0

6．边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A．
90
0
B．
120
0
C．
135
0
D．
150
0

二、填空题
1．在
Rt
△ABC中，
C?90
0
，则
sinA sinB
的最大值是_______________。
2．在△ABC中，若
a< br>2
?b
2
?bc?c
2
,则A?
_________ 。
3．在△ABC中，若
b?2,B?30
0
,C?135
0,则a?
_________。
4．在△ABC中，若
sinA
∶sinB
∶
sinC?
7
∶
8
∶
13
，则
C?
_____________。
5．在△ABC中，
AB?6?2,
C?30
0
，则
AC?BC
的最大值是________。
三、解答题
1． 在△ABC中，若
acosA?bcosB?ccosC,
则△ABC的形状是什么



2．在△ABC中，求证：
a
b
?
b
a
?c(
cosBcosA
b
?
a
)





3．在锐角△ABC中，求证：
sinA?sinB?sin C?cosA?cosB?cosC
。




）

4．在△ABC中，设
a?c?2b,A?C?


?
3
,
求
sinB
的值。

（数学5必修）第一章：解三角形
[综合训练B组]
一、选择题
1．在△ABC中，
A:B:C?1:2:3
，则
a:b:c
等于（ ）
A．
1:2:3
B．
3:2:1
C．
1:3:2
D．
2:3:1

2．在△ABC中，若角
B
为钝角，则
sinB?sinA
的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
3．在△ABC中，若
A?2B
，则
a
等于（ ）
A．
2bsinA
B．
2bcosA
C．
2bsinB
D．
2bcosB

4．在△ABC中， 若
lgsinA?lgcosB?lgsinC?lg2
，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
5．在△ ABC中，若
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,
则
A?
( )
A．
90
0
B．
60
0
C．
135
0
D．
150
0

13
，则最大角的余弦是（ ）
14
1111
A．
?
B．
?
C．
?
D．
?

58
67
A?Ba?b< br>7．在△ABC中，若
tan
，则△ABC的形状是（ ）
?
2a?b
6．在△ABC中，若
a?7,b?8,cosC?
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题
a?b?c
=_______。
sinA?sinB?sinC
2．若A,B
是锐角三角形的两内角，则
tanAtanB
_____
1
（填>或<）。
3．在△ABC中，若
sinA?2cosBcosC,则tanB?ta nC?
_________。
4．在△ABC中，若
a?9,b?10,c?12,
则△ABC的形状是_________。
1．若在△ABC中，
?A?60,b? 1,S
?ABC
?3,
则
0
6?2
则A?
____ _____。
2
6．在锐角△ABC中，若
a?2,b?3
，则边长
c
的取值范围是_________。
5．在△ABC中，若
a?3,b?2,c?
三、解答题
1． 在△ABC 中，
A?120,c?b,a?21,S
V
ABC
?3
，求
b,c
。

2． 在锐角△ABC中，求证：
tanA?tanB?tanC?1
。




3． 在△ABC中，求证：
sinA?sinB?sinC?4cos


0
ABC
coscos
。
222

4． 在△ABC中，若
A?B?120
0
，则求证：
ab
??1
。
b?ca?c


5．在△ABC中，若
aco s
2
CA3b
，则求证：
a?c?2b

?ccos
2
?
222


（数学5必修）第一章：解三角形
[提高训练C组]
一、选择题
1．
A
为△ABC的内角，则
sinA?cosA
的取值范围是（ ）
A．
(2,2)
B．
(?2,2)
C．
(?1,2]
D．
[?2,2]

a?b
等于（ ）
c
A?BA?BA?BA?B
A．
2cos
B．
2cos
C．
2sin
D．
2sin
2
222
3．在△ABC中，若
a?7,b?3,c?8
，则其面积等于 （ ）
21
A．
12
B． C．
28
D．
63

2
2．在△ABC中，若
C?90,
则三边的比
0
4．在
△ABC
中，
?C?90
0
，
0
0
?A?45
0
，则下列各式中正确的是（ ）
A．
sinA?cosA

B．
sinB?cosA

C．
sinA?cosB

D．
sinB?cosB
< br>5．在△ABC中，若
(a?c)(a?c)?b(b?c)
，则
?A?
（ ）
A．
90
0
B．
60
0
C．
120
0
D．
150
0

tanAa
2
?
6．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
tanB
b
2
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
二、填空题
1．在△ABC中，若
sinA?sinB,则
A
一定大于
B
，对吗填_________（对或错）
2． 在△ABC中，若
cosA?cosB?cosC?1,
则△ABC的形状是________ ______。
3．在△ABC中，∠C是钝角，设
x?sinC,y?sinA?sinB ,z?cosA?cosB,

则
x,y,z
的大小关系是________ ___________________。
4．在△ABC中，若
a?c?2b
， 则
cosA?cosC?cosAcosC?
222
1
sinAsinC?< br>______。
3
5．在△ABC中，若
2lgtanB?lgtanA?l gtanC,
则B的取值范围是_______________。
2
6．在△AB C中，若
b?ac
，则
cos(A?C)?cosB?cos2B
的值是__ _______。

三、解答题
1．在△ABC中，若
(a?b)sin( A?B)?(a?b)sin(A?B)
，请判断三角形的形状。


2222

22
2． 如果△ABC内接于半径为
R
的圆，且
2R(sinA?sinC)?(2a?b)sinB,

求△ABC的面积的最大值。




3． 已知△ABC的三边
a?b?c
且
a?c?2b,A?C?



?
2
，求
a:b:c

4． 在△ABC中，若
(a?b?c)(a?b?c)?3ac
，且
tanA?tanC?3?3
，
AB
边上的高为
43
，求角
A,B,C
的大
小与边
a,b,c
的长

（数学5必修）第一章 [基础训练A组]
一、选择题
b

?tan30
0,b?atan30
0
?23,c?2b?44,c?b?23

a

0?A?
?
,sinA?0

??
???

cosA?sin(?A)?sinB,?A,B
都 是锐角，则
?A?B,A?B?,C?

22222
作出图形

b?2asinB,sinB?2sinAsinB,sinA?
1
,A?30
0
或
150
0

2
5
2
?8
2
?7
2
1
?,
?
?60
0
,1800
?60
0
?120
0
为所求 设中间角为
?，则
cos
?
?
2?5?82
二、填空题
111
1.
sinAsinB?sinAcosA?sin2A?

2
22
b
2
?c
2
?a
2
10
??,A?120
0
2.
120

cosA?
2bc2
abbsinA6?2
0
?,a??4sinA?4sin150
?4?
3.
6?2

A?15,

sinAsinBsinB4
4.
120
0

a∶
b
∶
c?
sinA
∶
sinB
∶
s inC?
7
∶
8
∶
13
，
a
2
?b
2
?c
2
1
??,C?120
0
令
a?7k,b?8k,c?13k

cosC?
2ab2
ACBCABAC?BCAB
5.
4

??,?,
AC?BC

sinBsinAsinCsinB?sinAsinC
A?BA?B

?2 (6?2)(sinA?sinB)?4(6?2)sincos
22
A?B
?4co s?4,(AC?BC)
max
?4

2
三、解答题
1. 解：
acosA?bcosB?ccosC,sinAcosA?sinBcosB?s inCcosC

sin2A?sin2B?sin2C,2sin(A?B)cos(A?B )?2sinCcosC

cos(A?B)??cos(A?B),2cosAcosB?0

cosA?0< br>或
cosB?0
，得
A?
所以△ABC是直角三角形。
?
2
或
B?
?
2

a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
2. 证明：将
cosB?
，
cosA?
代入右边
2a c2bc
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
2a
2
?2b
2
?)? 得右边
?c(

2abc2abc2ab
a
2
?b
2
ab
????
左边，
abba
abcosBcosA
∴
??c(?)

baba

3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴
A?B?
∴
sinA?sin(
?
2
,
即
?
2
?A ?
?
2
?B?0

?B)
，即
sinA?cosB
；同理
sinB?cosC
；
sinC?cosA

2
∴
sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC
A?CA?CBB
4.解：∵
a?c?2b,
∴
sinA?sinC?2 sinB
，即
2sincos?4sincos
，
2222
B1A ?C3B13
B
?
?
∴
sin?cos
，而
0?? ,
∴
cos?
，
222424
22
BB31339
??
∴
sinB?2sincos?2?

22448
?
参考答案（数学5必修）第一章 [综合训练B组]
一、选择题
???
132
:?1:3:2

A?,B?,C?,a:b:c?sinA:sinB:sinC?:
632222

A?B?
?
,A?
?
?B
，且
A,
??B
都是锐角，
sinA?sin(
?
?B)?sinB


sinA?sin2B?2sinBcosB,a?2bcosB

sinAsinA

lg?lg2,?2,sinA?2cosBsinC

cosBsinCcosBs inC
sin(B?C)?2cosBsinC,sinBcosC?cosBsinC?0,

sin(B?C)?0,B?C
，等腰三角形
22

(a?b?c)(b?c?a)?3bc,(b?c)?a?3bc,

b
2
?c
2
?a
2
1
?,A?60
0

b?c?a?3bc,cosA?
2bc2
222

c?a?b? 2abcosC?9,c?3
，
B
为最大角，
cosB??
222< br>1

7
A?BA?B
sin
A?Ba?bsinA?sinB
22
，
tan???
2a?bsinA?sinB
2sin
A?B
cos
A?B
22
A?B
tan
A?B2
,tan
A?B
?0
，或
tan
A?B
?1

tan?
A?B
2
22
tan
2
?所以
A?B
或
A?B?

2
2cos
二、填空题
239
113
?3,c?4,a
2
?13,a?13

S
?ABC
?bcsinA?c?
3
222
a?b?ca1 3239

???
sinA?sinB?sinCsinA 3
3
2
1.

sin(?B)
?
??
2
2.
?

A?B?,A??B
，即
tanA?tan(?B)?

?
22
2
cos(?B)
2
cosB11
，
tanA???, tanAtanB?1

sinBtanBtanB
sinBsinC
3.
2

tanB?tanC?

?
cosBcosCsinBcosC?cosB?sinCsin(B?C)2sinA

?

??
1
cosBcosCsinA
sinA
2
4. 锐角三角形
C
为最大角，
cosC?0,C
为锐角
8?43
?3
b?c?a3?11
0
4
5.
60

cosA????

2bc
6?22?2?(3? 1)
2
22?
2
?
a
2
?b
2
? c
2
?
13?c
2
?
222
?
22
6．
(5,13)

?
a?c?b,
?
4?c?9,5?c?13,5?c?13
?
c
2
?b
2
?a
2
?
c
2
?9?4
??
222
?
2?
三、解答题
1
bcsinA?3,bc?4,

2
222

a?b?c?2bccosA,b?c?5
，而
c?b

所以
b?1,c?4

1.解：
S
?ABC
?
2. 证明：∵△ABC是锐角三角形，∴
A?B?
∴
sinA?sin(
?
2
,
即
?
2
?A?
?
2
?B?0

?
2
?B)
，即
sinA?cosB
；同理
sinB?cosC
；
sinC?cosA

sinAsinBsinC
?1

cosAcosBcosC
∴sinAsinBsinC?cosAcosBcosC,
∴
tanA?tanB?tan C?1

A?BA?B
cos?sin(A?B)

22
A?BA?BA?BA?B

?2sin

cos?2sincos
2222
A?BA?BA?B

?2sin(cos?cos)

222
CAB

?2cos?2coscos

222
ABC

?4coscoscos

222
ABC
∴
sinA?si nB?sinC?4coscoscos

222
a
2
?ac?b< br>2
?bc
ab
?1
， 4．证明：要证
??1
，只要 证
2
ab?bc?ac?c
b?ca?c
3. 证明：∵
sinA? sinB?sinC?2sin

即
a
2
?b
2
?c
2
?ab

而∵
A?B?120,
∴
C?60
0

0
a
2
?b
2
?c
2
2
cosC?,a?b
2
?c
2
?2abcos60
0
?ab

2ab
∴原式成立。
CA3b

?ccos
2
?
222
1?cosC1?cosA3sinB
∴
sinA?

?sinC??
222

即
sinA?sinAcosC?sinC?sinCcosA?3sinB


∴
sinA?sinC?sin(A?C)?3sinB

即
sinA?sinC?2sinB
，∴
a?c?2b


5．证明：∵
acos
2

参考答案（数学5必修）第一章 [提高训练C组]
一、选择题

sinA?cosA?2sin(A?),

4
??
5
?< br>2
?
???sin(A?)?1
而
0?A?
?
,? A??
44424
a?bsinA?sinB

??sinA?sinB

csinC
A?BA?BA?B

?2sin

cos?2cos
222
11

cosA?,A?60
0
,S
V
ABC
?bcsinA?63

22
00

A?B?90
0
则
sinA? cosB,sinB?cosA
，
0?A?45,


sinA?cosA
，
45?B?90,sinB?cosB


a
2
?c
2
?b
2
?bc,b
2
?c
2
?a
2
??bc,cosA??,A?120
0
< br>00
?
1
2
sinAcosBsin
2
AcosBs inA
??,?,sinAcosA?sinBcosB

cosAsinBsin
2
BcosAsinB

sin2A?sin2B,2A?2B或2A?2B?
?

二、填空题
1. 对
sinA?sinB,
则
2. 直角三角形
ab
??a?b?A?B

2R2R
1
(1?cos2A? 1?cos2B)?cos
2
(A?B)?1,

2
1
(c os2A?cos2B)?cos
2
(A?B)?0,

2
cos(A?B)cos(A?B)?cos
2
(A?B)?0

cosAcosBcosC?0

3.
x?y?z

A?B?
?
22

c?a?b,sinC?sinA?sinB,x?y,x?y?z

,A?
?
?B,sinA?cosB,sinB?cosA,y?z

A?CA?CA?CA?C

cos?4sincos
222 2
A?CA?CACAC
cos?2cos,coscos?3sinsin

222222
1AC
则
sinAsinC?4sin
2
sin2

322
1
cosA?cosC?cosAcosC?sinAsinC
3
AC
??(1?cosA)(1?cosC)?1?4sin
2
sin
2

22
ACAC
??2sin
2
?2sin2
?4sin
2
sin
2
?1?1

2222
??
tanA?tanC
5.
[,)

tan
2
B?tanAtanC,tanB??tan(A?C)?

32
tanAtanC?1
tanA?tanC

tanB??tan(A?C)?

tan
2
B?1
tan
3
B?tanB?tanA?tanC?2tanAtanC?2tanB

4．
1

sinA?sinC?2sinB,2sin
tan3
B?3tanB,tanB?0?tanB?3?B?
?
3



22
6．
1

b?ac,sinB?sinAsinC,
cos(A?C)?cosB?cos2B

?cosAcosC?sinAsinC?cosB?1?2sin
2
B

?cosAcosC?sinAsinC?cosB?1?2sinAsinC

?cosAcosC?sinAsinC?cosB?1

?cos(A?C)?cosB?1?1

三、解答题
a
2
?b
2
sin(A?B)a
2
sinAcosBsin
2
A
?,??
1. 解：
2

a?b
2
sin(A? B)b
2
cosAsinBsin
2
B
cosBsinA

?,sin2A?sin2B,2A?2B或2A?2B?
?

cosAsinB
∴等腰或直角三角形
2. 解：
2RsinA?sinA?2RsinC?sinC?(2a?b)sinB,

asinA?csinC?(2a?b)sinB,a
2
?c
2
?2ab?b
2
,

a
2
?b
2
?c
2
2
a?b?c?2ab,cosC??,C?45
0
2ab2
c
? 2R,c?2RsinC?2R,a
2
?b
2
?2R
2
?2 ab,

sinC
2R
2
222
2R?2ab?a?b?2 ab,ab?

2?2
222

2?1
2
1222R
2
R

S?absinC ?ab??,
S
max
?
2
244
2?2
122< br>ab??2RsinA?2RsinB
另法：
S?absinC?
244

2
?2RsinA?2RsinB?2R
2
sinAsinB
4
1
?2R
2
??[cos(A?B)?cos(A?B)]

2
12
?2R
2
??[cos(A?B)?]
2 2
?
2R2
?(1?)
22
2?1
2
?S
max
?R
此时
A?B
取得等号
2
A?CA?CA?CA?C
3. 解：
sinA?sinC?2sinB,2sin

cos?4sincos
2222
B1A?C2B14BB7
sin?cos?,cos?,sinB?2sincos ?

222424224
?
3
?
B
?
B< br>A?C?,A?C?
?
?B,A??,C??

24242
3
?
3
?
3
?
7?1
sinA?sin(?B)?s incosB?cossinB?

4444
???
7?1
sinC ?sin(?B)?sincosB?cossinB?

4444
a:b:c?si nA:sinB:sinC?
(7?7):7:(7?7)

1
4. 解：< br>(a?b?c)(a?b?c)?3ac,a
2
?c
2
?b
2
?ac,cosB?,B?60
0

2
tanA?tanC3?3
,?3?,

tan(A?C)?
1?tanAtanC1?tanAtanC

tanAtanC?2?3
，联合
tanA?tanC?3?3

?
A?75
0
?
?
A?45
0
?
tanA? 2?3
?
?
tanA?1
??
得
?
，即
?

或
?
或
?
00??
??
?
tanC?1
?
tanC?2?3
?
C?45
?
C?75
43
00
?4(32?6),c?8(3?1 ),a?8
当
A?75,C?45
时，
b?
sinA
43
00
?46,c?4(3?1),a?8
当
A?45,C?75
时，
b?
sinA
000
∴当
A?75,B?60,C?45时，
a?8,b?4(32?6),c?8(3?1),

?
当
A?45,B?60,C?75
时，
a?8,b?46,c?4(3?1)
。

000
2