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高一数学必修1-子集、全集、补集-课件

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-18 15:57
tags:高中数学课件

高中数学复数高考题-高中数学家教老师经验

2020年9月18日发(作者:耿再成)


高一数学集合
子集、全集、补集
要点一 子集、真子集[重点]
在上一节中,我们用约定的字母标记了一些特殊的集合,在这些特殊的集合中,我们会发现这样
一个现 象:
正整数集中的所有元素都在自然数集中;
自然数集中的所有元素都在整数集中;
整数集中的所有元素都在有理数集中;
有利数集中的所有元素都在实数集中.
其实,上述各集合之间是一种集合见得包含关系;可以用子集的概念来表示这种关系.
1.子集
(1)定义:
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则 a∈B),那么集合A成为集合B的子集,
记作A?B或B?A,读作“集合A包含于集合B”或“集合 B包含于集合A” .
(2)举例:
例如,{4,5}?Z,{4,5}?Q,Z?Q,Q?R.A?B可以用图1-2-1来表示.
(3)理解子集的定义要注意以下四点:
①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元 素都是集合B中的元素,既由x∈A,能推出x
∈B,例如{-1,1}?{-1,0,1,2}.
②任何一个集合是它本身的子集,即对于任何一个集合A,它的任何一个元素都是属
于集合A本身,记作A?A.
③我们规定,空集是任何集合的子集,即对于任何一个集合A,有??A.
④在子集的定义中 ,不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A=?,则A中
不含任何元素;若A= B,则A中含有B中的所有元素,但此时都说集合A是集合B的子集.
以上②③点告诉我们,在邱某一个集合时,不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.
(4)例题:
例1 设集合A={1,3,
a
},B={1,
a
-
a
+1},且A?B,求
a
的值.
解:∵A?B,∴
a
-
a
+1=3或
a
-
a
+1=
a


a
-
a
+1=3,得
a
=2或
a
=-1;由
a
-
a
+1=
a
,得
a
=1.
经检验,当
a
=1时 ,集合A、B中元素有重复,与集合元素的互异性矛盾,所以符合题意的
a

值为-1 ,2.
2.真子集
(1)定义:
如果A?B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集,记作A?B或B?A,读作
“A真包含于B”或“B真包含A”.

2 2
2 2
2


(2)举例:
{1,2}?{1,2,3}.
(3)理解子集的定义要注意以下四点:
①空集是任何非空集合的真子集.
②对于集合A、B、C,如果A?B,B?C,那么A?C.
?
A=B?A?B且B?A
③若A?B,则
?
.
?A≠B?A?B
④元素与集合的关系是属于于不属于的关系,分别用符号“∈”和“?”表示;集合
与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系,分别用符号“?”“?”
“?”和“=”.
(4)例题:
例2 写出集合{
a
,
b
,
c
}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空真子集.
解 :{
a
,
b
,
c
}的所有子集是:?,{
a
},{
b
},{
c
},{
a

b
},{
a

c
},{
b

c
},{
a< br>,
b

c
}.
其中除了{
a

b

c
}外,其余7个集合都是它的真子集.除了?,{
a

b

c
}外,其余6个都是它的
非空真子集.
练习:
1.判断下列命题的正误:
(1){2,4,6}?{2,3,4,5,6}; (2){菱形}?{矩形};
(3){
x
|
x
+1=0}?{0}; (4){(0,1)}?{0,1}.
解题提示: 根据子集的定义,判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个
集合的元素.
解:根据子集的定义,(1)显然正确;(2)中只有正方形才既是菱形,也是矩形,其他
的菱形不是矩形;(3)中集合{
x
|
x
+1= 0 }是?,而?是任何集合的子集;(4)中{(0,1)}
是点集,而{0,1}是数集,元素不同,因此正确的是(1)(3),错误的是(2)(4).



判断两集合之间的子集关系时,主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合中.
2. 写出集合
A
={
p

q

r

s
}的所有子集.
解题提示: 根据集合A的子集中所含有元素的个数进行分类,分别写出,不要漏掉.
解:集合A的子集分为5类,即
(1)?;
(2)含有一个元素的子集:{
p
},{
q
},{
r
},{
s
};
( 3)含有两个元素的子集:{
p

q
},{
q

r
},{
r

s
},{
s

p
}, {
p

r
},{
q

s
};
( 4)含有三个元素的子集有:{
p

q

r
},{
p

q

s
},{
q

r
s
},{
p

r

s
};
(5)含 有四个元素的子集有:{
p

q

r

s
}.
综上所述:集合A的子集有?,{
p
},{
q
},{
r
},{
s
},{
p

q
},{
q

r
},{
r

s
},{
s

p
},{
p

2
2
r
},{
q

s
},{
p

q

r
},{
p

q

s
},{
q

r

s
},{
p

r

s
},{
p

q

r

s
},共16个.




给定一个含有具体元素的集合,写其子集时,应根据子集所含元素 的个数进行分类.以下结论可以
帮助检验所写子集数的正确性:若一个集合含有
m
个元 素,则其子集有2个,真子集有(2-1)个,非
空真子集有(2-2)个.
3.给出下列命题:
①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若?
?A,则A≠?.其中正确的序号有____④______.
解题提示: 从子集、真子集的概念以及空集的特点入手,逐一进行判断.
解析:①错误,空集是任何集合的子集, ???;②错误,如空集的子集只有1个;③错误,?不
是?的真子集;④正确,∵?是任何非空集合的 真子集.
m
mm



求解与子集、真子集概念有关的题目时,应记住以下结论:(1)空集是任何集合的子
集,即对于任意一个集合A,有??A.
(2)任何一个集合是它本身的子集,即对任何一个集合A,有A?A.
4.满足集合{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是 __2____ .
解题提示: 根据所给关系式,利用{1,2,3}是M的真子集,且M真包含于{1,2,3,4, 5}的
关系判断集合M中的元素个数.
解析:依题意,集合M中除含有1,2,3外至少含有 4,5中的一个元素,又M?{1,2,3,4,5},
∴M={1,2,3,4}或{1,2,3,5 }.



(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合 M中含有元素的可能情况,然后根据集合
M中含有元素的多少进行分类讨论,防止遗漏.
(2)若{
a

1

a

2
,?,
a
m
} ? A ? {
a

1

a

2
,?,
a
m

a
m+
1
,?,
a
n
} ,则A的个数为2
若{
a

1

a

2
,?,
a
m
}?A?{
a

1

a

2
,?,
a
m

a
m+
1
,?,
a
n
},则A的个数为2
要点二 补集、全集[重点]
1.补集
设A?S,由S中不属于A的所有
元素组成的集合称为S的子集A的补集,
记作?
S
A(读作“A在S中的补集”),即
?
S
A={
x
|
x
∈S,且
x
?A}.C
S
A可用图1-2-2中的阴影部分来表示.
2.全集.
(1)定义:
如果集合S包含我们所要研究的各个集合,这时S可以看做一个全集,全集通常记作U.
(2)举例:
例如,在实数范围内讨论集合时,R便可看做一个全集U,在自然数范围内讨论 集合时,N便可看
做一个全集U.
3.理解补集、全集要注意以下两点:

n

m
n

m
.
-1.
-2. 若{
a

1

a

2
,?,
a
m
}?A?{
a

1

a

2
,?,
a
m

a
m+
1
,?,
a
n
},则A的个数为2
n

m


(1)对全集概念的理 解:全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念,它含有与所研究的问题
有关的各个集合的全部元素 ,因此,全集因研究问题而异.例如在研究数集时,常常把实数集R看做全
集;在立体几何中,三维空间 是全集,这是平面是全集的一个子集;而在平面几何中,整个平面可以
看做一个全集.
(2) 求子集A在全集U中的补集的方法:从全集U中去掉所有属于A的元素,剩下的元素组成的集
合即为A在 U中的补集.如已知U=?
a

b

c

d
e

f
? ,A=?
b

f
? ,求C
U
A.该题中显然A?U,
从U中除去子集A的元素
b

f
,乘下的
a

c

d

e
组成的集合即为?? . 另外,原题若是无限集,在实数范围内求补集,我们
U
A=?
a

c

d

e

则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R,A=?
x
?
x
> 3 ? ,求?
U
A.用数轴表示如图1-2-3,
可知?
U< br>A=?
x
?
x
> 3 ?.
4.例题
?
2
x
-1>0,
例2 不等式组
?
的解集为A,U=R.试求A及C
U
A,并把它们分别表示在数轴上.
?
3
x
-6≤0
解:A=?
x
? 2
x
-1 > 0且3
x
–6 ≤ 0 ?=
?
x
?
1
?
?
,在数轴上表示如图1-2-4(1). ?
2
?
1
2
??
C
U
A=
?
xx?
1
,或x?2
?
,在数轴上表示如图1-2-4(2).
?
2
?
练习
5.已知全集U=R,集合A={
x
|1<
x
≤6},求C
U
A.
2
1
2
2
解题提示: 在数轴上标出集合A,结合补集的定义求解.
解:根据补集的定义,在实数集R中,由所有不属于A的 实数组成的集合,就是C
U
A,如图1-2-5,
结合数轴可知,C
U
A={
x
|1<
x
≤6}.



0
1
6
x
涉足与数集有关的补集,求解时一般要利用数轴只管求解, 求解时要注意端点值的取舍.
6.已知全集U={不大于5的自然数},A={0,1},B={x
|
x
∈A,且
x
<1},C={
x
|
x
-1?A,且
x
∈U}.
(1)判断A、B的关系;
(2)求C
U
B、C
U
C,并判断其关系.
解题提示: 根据题意,先写出全集U,按所给集合B、C的含义,写出B、C,并求其补集后求解
第(2)题.
解:由题意知U={0,1,2,3,4,5},B={0},又集合C中的元素必须满足以下两
个条件:
x
∈U,
x
-1?A.

x
=0,此时0-1=-1?A,∴0是C中的元素;

x
=1,此时1-1=0∈A,∴1不是C中的元素;

x
=2,此时2-1=1∈A,∴2不是C中的元素;
同理可知3,4,5是集合C中的元素,∴C={0,3,4,5}.


(1)∵A={0,1},B={0},∴B?A;
(2)C
UB={1,2,3,4,5},C
U
C={1,2},∴C
U
C ?C
U
B.



若给定具体的数的集合,判断其两个子集的补集之间的关系时,应先求集合的补集.
7.设全 集U={1,2,
x
-2},A={1,
x
},求C
U
A.
解题提示: 要求C
U
A,必须先确定集合A,实际上就是确定
x
的值,从而需要分类讨论.
解:由条件知A?U,∴
x
∈U={1,2,
x
-2},又
x
≠1,∴
x
=2或
x
=
x
-2.

x
=2,则
x
-2=2,此时U={1,2, 2},这是与互异性矛盾,舍去.

x
=
x
-2得
x-
x
-2=0,解得
x
=-1或
x
=2(舍去).
此时U={-1,1,2},A={1,-1},∴C
U
A={2}.
22
2
22
2



求解此题首先确 定参数
x
的值,然后确定出U和A的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集
合元 素的特征,并且特别注意互异性,以免产生增根.
8.已知A={
x
|
x< br><5},B={
x
|
x
<
a
},分别求满足下列条件 的
a
的取值范围:(1)B?A;(2)A?B.
解题提示: 紧扣子集、全集、补集的定义,利用数轴,数形结合求出
a
范围.
解:(1)因为B?A,B是A的子集,如图1-2-6(1),故
a
≤5.

B

A
a
A
B
(1)
5
x
5
(2)
a
x
(2)因为A?B,B是A的子集,如图1-2- 6(2),故
a
≥5.
9.已知M={
x
|
x
=
a
+1,
a
∈N },P={
y
|
y
=
b
- 6
b
+10,
b
∈N},判断集合M与P之间的关系.
解法一:集 合P中,
y
=
b
-6
b
+10=(
b
-3 )+1

b
=4,5,6,?时,与集合M中
a
=1,2,3,? 时的值相同,而当
b
=3时,
y
=1∈P,1?M,∴M?P.
解 法二:对任意的
x
0
∈M,有
x
0
=
a

2
0
+1=(
a
0
+3)-6(
a
0< br>+3)+10∈P(∵
a
0
∈N ,∴
a
0
+3∈
N),∴M?P,又
b
=3时,
y
=1,∴1∈P.
而1<1+
a

2
0
+1=(
a
0
∈N ),∴1?M,从而M?P.
10 .已知全集U,集合A={1,3,5,7,9},C
U
A={2,4,6,8},C
U
B={1,4,6,8,9},求集合
B.
解题提示: 求集合B,需根据题意 先求全集U,由于集合A及C
U
A已知,因此可用Venn图来表
示所给集合,将A及 C
U
A填入即可得U
解:借助Veen图,如图1-2-7.
由题意知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
∵C
U
B={1,4,6,8,9}
∴B={2,3,5,7}.


4
*
2*
22
2*2
U
2
A
1, 3,
8
5, 7, 9
6


求本题中的全集,用Veen较直观,本题的求解实际上应用了补集的性质C
U
(C
U
B)=B.



方法
一 数形结合思想

例7 已知A={
x
|
x
<-1或
x
> 5 },B={
x
∈R |
a
<
x
<
a
+ 4 },若A ? B ,求实数
a

取值范围.
解题提示: 注意到B≠?,将A在数轴上保释出来,再将B在数轴上表示出来,使得A ? B ,
即可得
a
的取值范围.
解:如图-2-6,∵A ? B ,∴
a
+ 4 ≤-1或
a
≥5,∴
a
≤-5或
a
≥5.



B
AA
A< br>A
B
a?4
a
a?4
?1
5
?1
5
a



本题利用数轴处理一些实数集之间的关系,以形助数直 观、形象,体现了数形结合的思想,这在
以后的学习中会经常用到,但一定要检验端点值是否能取到,此 题的易错点是各端点的取值情况,

方法
二 分类讨论思想
例8 设
A=xx?8x?15?0,B=xax?1?0,
若B?A,求实数
a
的值 .
解题提示: 集合B是方程
ax
-1=0的解集,该方程不一定是一次方程,当
a
=0时,B=?,此时符
合B?A.
解:集合A={3,5},当
a
=0时,B=?,满足B?A.∴
a
=0符合题意.

a
≠0时,B≠?,
x?
1
a
.

∵B?A,∴
11
综上,
a
的值为0或或 .
35
?
2
?
??



当B?A时,B中含有参数,而A是一个确定的非空集合,要特别注意B=?的情况,
不要遗漏,否则会丢解.




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