中职数学基础知识汇总课件

职教高考数学基础知识汇总
第一章 集合与简易逻辑：
一．集合
1、 集合的有关概念和运算
（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；
（2）元素
a
和集合A之间的关系：
a∈A，
或
a
?
A
；
2、子集定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：A
?
B，
注意：A
?
B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
3、真子集定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：
A?B
；
4、补集定义：
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
；
5、交集与并集 交集：
A?B?{x|x?A且x?B}
；并集：
A?B ?{x|x?A或x?B}

6、集合中元素的个数的计算： 若集合
A
中有
n
个元素，则集合
A
的所有不同的子集个数为
_________， 所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
二．简易逻辑：
1．复合命题： 三种形式：p或q、p且q、非p；
判断复合命题真假：
2.真值表：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反。
3.四种命题及其关系：
互
逆命题
原命题
原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；
若q则p
若p则q
否命题：若
?
p则
?
q； 逆否命题：若
?
q则
?
p；
否
互
互为逆否的两个命题是等价的。
互
为
逆
互
原命题与它的逆否命题是等价命题。
为
否
逆
否
4.充分条件与必要条件：
互
否
若
p?q
，则
p
叫
q
的充分条件；
逆否命
否命题
若
p?q
，则
p
叫
q
的必要条件；
题
若
?
p则
互
若
p?q
，则
p
叫< br>q
的充要条件；
第二章不等式
一、不等式的基本性质：
1．特殊值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
2．中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小
二．均值不等式：
1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若
a,b?0
，则
仅当
a?b
时取等号）
2.基本变形：①
a?b?
；②若
a,b?R
，则
a?b?2ab

3.基本应用：求函数最值：
注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数
y?4x?
②若正数
x,y
满足< br>x?2y?1
，则
22
a?b
?ab
（当且
2
91
(x?)
的最小值 。
2?4x2
11
?
的最小值 。
xy
- 1 -

三、绝对值不等式：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
，注意：上述等号 “＝”成立的条件；
五、不等式的解法：
1.一元二次不等式的图解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
判别式：△=
b
-4
ac

二次函数
y
2
??0


y
??0


??0

y

f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)

的图象


一元二次方程 有两相异实数根
x
1
O
x
2
x
O
x
1
=x
2
x
O
没有实数根

R
x
有两相等实数根
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
一元二次不等式
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
< br>x
1
?x
2
??
{x|x?x
1
,x?x< br>2
}

“＞”取两边
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解
集
一元二次不等式
b

2a
b
{x|x??}

2a
{x|x
1
?x?x
2
}

“＜”取中间
?

?

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解
集
3.绝对值不等式的解法：（“＞”取两边，“＜”取中间）
（1）当
a?0
时，
|x|?a
的解集是
{x|x??a,x?a}
，
|x|?a
的解集是
{x|?a?x?a}

（2）当
c?0
时，|ax?b|?c?ax?b??c,ax?b?c
，
|ax?b|?c??c?ax?b?c

4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴
f(x)f(x)
?0?
；
?0?
； （2）
g(x)g(x)
5.高次不等式组的解法：数轴标根法。

第三章 函数
一． 函数
1、映射：按照某种对应法则
f
，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，
记作
f
：A→B，若
a?A,b?B
，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。 < br>2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系
f
，对于集合 A中的任意一
个数
x
，集合B中都有唯一确定的数
f
（
x< br>）和它对应，就称
f
：A→B为集合A到集合B的一个函
数，记作
y= f
（
x
），
（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；
3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R；②分式：分母
?0
，0次幂：底数
? 0
；
③偶次根式：被开方式
?0
，例：
y?
4、求值域的一般方法：
- 2 -
1
25?x
2
；④对数：真数
?0
， 例：
y?log
a
(1?)

x

①图象观察法：
y?0.2
；②单调函数法：
y?log
2
(3x?1),x?[,3]

③二次函数配方法：
y?x?4x,x?[1,5)
，
y?
④“一 次”分式反函数法：
y?
2
|x|
1
3
?x
2?2x?2

x
；⑥换元法：
y?x?1?2x

2x?1
5、求函数解析式
f
（
x
）的一般方法：
①待定系数法：一次函数
f
（
x
），且满足
3f(x?1)?2f (x?1)?2x?17
，求
f
（
x
）
②配凑法：
f(x?)?x?
6、函数的单调性：
（1）定义：区间D上任 意两个值
x
1
,x
2
，若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
，称
f (x)
为D上增函数；
若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
，称
f(x)
为D上减 函数。（一致为增，不同为减）
（2）区间D叫函数
f(x)
的单调区间，单调区间
?
定义域；
（3）复合函数
y?f[h(x)]
的单调性：即同增异减；
7.奇偶性：
定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) －f(-x)=0
?
f(x) =f(-x)
?
f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0
?
f(x) =－f(-x)
?
f(x)为奇函数。
8.周期性：
定义：若函数f(x)对定义域内的 任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
9．函数图像变换：
（1）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法则：加左减右，加上减下
（3）注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量
a
（ｍ，ｎ）平移 的意义。
10．反函数：
（1）定义：函数
y?f(x)
的反函数为y?f
?1
1
x
2
1
；③换元法：
f(x?1 )?x?2x
，求
f
（
x
）
,
求
f（
x
）
2
x
(x)
；函数
y?f(x)
和
y?f
?1
?1
(x)
互为反函数；
?1
（ 2）反函数的求法：①由
y?f(x)
，反解出
x?f
出
y?f?1
(y)
，②
x,y
互换，写成
y?f(x)
，③写
(x)
的定义域（即原函数的值域）；
?1
（3）反函数的性质：函数y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f
函数
y?f(x)< br>的图象和它的反函数
y?f
；
y?x
的对称点为（
b，a
）
第四章 指数函数与对数函数
?1
(x)
的值域、定义域；
(x)
的图象关于直线
y? x
对称；点（
a，b
）关于直线
1. 指数及其运算性质：当
n为奇数时，
n
a?a
；当
n
为偶数时，
a?|a|?< br>?
n
n
n
?
a(a?0)

?a(a?0)
?
- 3 -

2.分数指数幂：正分数指数幂：
a
3.对数及其运算性质：
（1）定义： 如果
a?N(a?0,a?1)
，以10为底叫常用对数，记为
lgN
，以e =2.7182828…为
底叫自然对数，记为
lnN
（2）性质：①负数和零没有 对数，②1的对数等于0：
log
a
1?0
，③底的对数等于1：
l og
a
a?1
，
④积的对数：
log
a
(MN)? log
a
M?log
a
N
， 商的对数：
log
a
b
m
n
?a
；负分数指数幂：
a
n
m< br>?
m
n
?
1
a
m
n

M
?log
a
M?log
a
N
，
N1
n
幂的对数：
log
a
M?nlog
a
M< br>， 方根的对数：
log
a
n
M?log
a
M
，
n
指数函数 对数函数
4.指数函数和对数函数的图象性质
函数
定义


图象

y?a
x
（
a?0且a?1
）
a>1






y
0y=a
x


y=a
x
y
y?log
a
x
（
a?0且a?1
）
a>1

y
y=log
a
x
0
y
x
1
O
x
1
O
x
O
1
x
O
1
y=log
a
x


性



质
定义域
值域
（-∞，+∞）
（-∞，+∞）
（0，+∞）
（0，+∞）
（0，+∞）
（-∞，+∞）
在（0，+∞）
上是增函数
在（0，+∞）
上是减函数
单调性 在（-∞，+∞） 在（-∞，+∞）
上是增函数 上是减函数
函数值
变化
?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0

?
?1,x?0
?
?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0

?
?1,x?0
?
?
? 0,x?1
?
log
a
x
?
?0,x?1log
a
?
?0,0?x?1
?

?
?0,x?1
?
x
?
?0,x?1

?
?0,0?x?1
?
图 定 点
?a
0
?1,?
过定点（0，1）

象
图象
?a
x
?0,?
图象在x轴上方
特征
图象
关系
?
log
a
1?0,?
过定点（1，0）
?x?0,?
图象在y轴右边
y?a
x
的图象与
y?lo g
a
x
的图象关于直线
y?x
对称
第五章 三角函数 < br>1、角：与
?
终边相同的角的集合为{
?
|
?
??
?k?360,k?Z
}
2、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
?
- 4 -

（2）度数与弧度数的换算：
180?
?
弧度，1弧度
?(
?
180
?
)

11
lr??|
?
|r
2

22
（3）弧长公式：
l?|
?
|r
（
?
是角的弧度数） 扇形面积：
S?
3、三角函数 定义：（如图）
sin
?
?
yyr
　　　tan
?
?　　　sec
?
?　　

rxx
xxr
cos
?
?　　 　cot
?
?　　　csc
?
?
ryy
4、同角三角函数基 本关系式
（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：
r?x
2
?y
2
?0
y
P（x，y）

r
0
?

x
sin
2
?
?cos
2
?
?1

ta
?
n?
si
?
n

tan
?
cot
?
?1

co
?
s
5、诱导公式（理解记忆方法：奇变偶不变，符号看象限）
公式一：
sin(
?
?k?360?)?sin
?　　
c os(
?
?k?360?)?cos
?　　
tan(
?
?k ?360?)?tan
?

公式二： 公式三： 公式四： 公式五：
sin(180??
?
)?sin< br>?
sin(?
?
)??sin
?
cos(180??
?
)??cos
?

cos(180??
?
)??cos
?

cos(360??
?
)?cos
?　　

cos(?
?
)?cos
?

tan(?
?< br>)??tan
?
tan(180??
?
)??tan
?
tan(180??
?
)?tan
?
tan(360??
?
)??tan
?
sin(180??
?
)??sin
?
s in(360??
?
)??sin
?　　
?
公式六： 公式七： 公式八： 公式九：
3
?
3
?
sin(?
?
)??cos
?
sin(?
?
)?cos
?
sin(?
?
)??cos
?sin(?
?
)?cos
?
2
2
2
2
3
?
?
3
?
?
cos(?
?
)?sin< br>?

cos(?
?
)??sin
?

cos(?
?
)??sin
?

cos(?
?
)?sin
?

2
2
22
3
?
?
3
?
?
tan(?
?
)??cot
?
tan(?
?
)?cot
?
tan(?< br>?
)?cot
?
tan(?
?
)??cot
?
2
2
2
2
?

6、两角和与差的正弦、余弦、正切 S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
s in
?

S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?

C
(
?
?< br>?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?< br>?
?
)?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?

1?tan
?tan
?
1?tan
?
tan
?
7、辅助角公式：asinx?bcosx?a
2
?b
2
(sinx?cos
?< br>?cosx?sin
?
)?a
2
?b
2
?sin(x ?
?
)

（其中
?
称为辅助角，
?
的终边 过点
(a,b)
，
tan
?
?
b
）
a
8、二倍角公式：（1）、
S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
（2）、降次公式：
- 5 -

C
2
?
：
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

sin
?
cos
?
?

?1?2sin
2
1
sin2
?

2
?
?2cos
2
?
?1
< br>sin
2
?
?
1?cos2
?
11
??co s2
?
?

222
2ta
?
n1?cos2
?
11
2
T
2
?
：
ta2

n
?
?
cos
?
??cos2
?
?
222
1?ta
2
n
?
9、三角函数的图象性质
（1）函数的周期性：
①定义：对于函数
f
（
x
），若存 在一个非零常数T，当
x
取定义域内的每一个值时，都有：
f
（
x< br>+T）
= f
（
x
），那么函数
f
（
x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；
②如果函数
f
（
x< br>）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫
f
（
x
）的最 小正周期。
（2）函数的奇偶性：
①定义：对于函数
f
（
x）的定义域内的任意一个
x
，都有：
f
（
-x
）
= - f
（
x
），则称
f
（
x
）是奇
函数，
f
（
-x
）
= f
（
x
），则称
f
（
x
）是偶函数
②奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
（3）正弦、余弦、正切函数的性质（
k?Z
）
函数 定义域 值域
[
-
1，1]
周期
性
奇偶
性
奇函
数
偶函
数
奇函
数
递增区间 递减区间
y?sinx

x?R

T?2
?

?< br>3
?
?
?
?
?
?
?
??2k
?
,?2k
?
?
?
?2k
?
,?2k
?
?

?
2
?
2
?
2
?
?
2

y?cosx

x?R

{x|x?
[
-
1，1]
T?2
?

?
(2k?1)
?
,2k
?
?

?
2k
?
,(2k?1)
?
?

?
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?
2
?
2
?
y?tanx

（
-
∞,+∞）
T?
?
?
?k
?
}
2




?
3
?
，1），（
?
，0），（，< br>-
1），（
2
?
，0）；
2
2
?
3
?
，0），（
2
?
，1）；
y?cosx
图象 的五个关键点：（0，1），（，0），（
?
，
-
1），（
2
2
y?sinx
图象的五个关键点：（0，0），（














y
1
0
-1
y
?
?

?

?
2
y?sinx
?
2

?

3
?
2

2
?

x
?
?

?

?
2
1
0
-1
y?cosx

?
2

- 6 -
?

3
?
2

2
?

x

y
?
?

?
3
?

2
?
?

2
?

o
?

2
3
?

2
x
y?tanx

(4)、函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
??0)
的相关概念：
函数 定义域 值域 振幅
A
周期 频率

初相
?
x?
?

?

相位 图象
五点法
y?Asin(
?
x?
?
)

x?R

[
-
A，A]
T?
2
?
?
f?
1
?

?
T2
?
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与y?sinx
的关系：
当A
?1
时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
①振幅变换：
y?sinx

当
0?
A
?1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍
y?Asinx


当
?
?1
时，图象上各点的纵 坐标缩短到原来的
②周期变换：
y?sinx

y?sin
?
x

1
当
0?
当
?
图象上各点的纵坐标伸长到原来的
?
?1
时，
1
?
倍
倍

?0
时，图象上的各点向左平移
?
个单位倍
?
③相位变换：
y?sinx

y?sin(x?
?
)

当
?
?0
时， 图象上的各点向右平移
|
?
|
个单位倍
10．反三角函数：
11、解三角形：
（1）三角形的面积公式：
S
?
?
（2）正，余弦定理
①正弦定理：
111
absinC?acsinB?bcsinA

222
abc
???2R,或a?2RsinA,　b?2RsinB，　c?2Rsin
sinAsinBsinC
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
222
②余弦定理：
b?a?c?2ac?cosB< br>
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?( a?b)
2
?2ab(1?cocC)
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2< br>?b
2
?c
2
　　　　
cosB?
　　　　
cosC?
求角：
cosA?

2bc2ac2ab


第六章 数列
a
n
?
?
一．数列：（1）前n项和：（2） 前n项和与通项的关 系：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
? ??a
n
；
?
a
1
?S
1
(n?1)
?
S
n
?S
n?1
(n?2)

- 7 -

二．等差数列 ：
1.定义：
a
n?1
?a
n
? d
。2.通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
（关于n的一次函数），
3.前n项和：（1）．
S
n
?
4.等差中项：
A?n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
2
d
（即S
n
= An+Bn） （2）.
S
n
?na
1
?
2
2
a?b
或
2A?a?b

2
5.等差数列的主要性质：
（1）等差数列
?
a
n?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q
。
a
1
?a
n
???????????
a,a
2
,a
3
,
?
,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
，如图所示 ：
1
?????????
a
2
?a
n?1
*
（2）若数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
，则
S
k
，
S
2k?S
k
，
S
3k
?S
2k
成等
也就是 ：
a
1
?a
n
S
3k
????????????? ????????????
a
1
?a
2
?a
3
?< br>?
?a
k
?a
k?1
?
?
?a
2k
?a
2k?1
?
?
?a
3k
差数列。如下图所示 ：
???????????????????????
S
k
S
2k< br>?S
k
S
3k
?S
2k
三．等比数列：
a
n?1
1.定义：
n?1
?q(q?0)
；2.通项公式：
a
n
?a
1
q
（其中：首项是
a
1
，公比 是
q
）
a
n
na
1
,(q?1)
??
n
3.前n项和]：
S
n
?
?
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q)
（推导方法：乘公比，错 位相减）
?,(q?1)
?
1?q
?
1?q
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
(q?1)
；
○
说明：①
S
n
?
2
S
n
?1
3当
q
(q?1)
；
○
1?q
1?q?1
时为常数列，
S
n
?na
1
。
4.等比 中项：
Gb
2
?
，即
G
aG
?ab
（或< br>G??ab
，等比中项有两个）
5.等比数列的主要性质：
（1）等比数列
?
a
n
?
，若
n?m?u?v
，则
an
?a
m
?a
u
?a
v

a
1
?a
n
???????????
a,a
2
,a
3
,
?
,a
n?2
,a
n?1
,a
n

?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
。如图所示：
1
?????????
a
2
? a
n?1
也就是：
a
1
?a
n
（2）若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是前n项的和，k?N
*
，则
S
k
，
S
2k
?Sk
，
S
3k
?S
2k
成等比数列。
S
3k
?????????????????????????
a
1
?a2
?a
3
?
?
?a
k
?a
k?1?
?
?a
2k
?a
2k?1
?
?
?a
3k
如下图所示：
???????????????????????
S< br>k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k< br>四．求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法
n
1.公式法：等差等比数列 ；2.分部求和法：如a
n
=2n+3
3.裂项相消法：如a
n
=
1
n
；4.错位相减法：“差比之积”的数列：如a
n
=(2n-1 )2
n(n?1)
第七章 平面向量


1．向量的有关概 念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向
量。
- 8 -

2．向量的运算：（1）、向量的加减法：

向量的减法
向量的加法

三角形法则
平行四边形法则
a


b
b

ba


a
b


a?ba?b
b

a

b
a?b


a
a

首位连结
指向被减向量
（2）实数与 向量的积：①定义：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作：
?a
；
②它的长度：
|
?
a|?|
?
|?|a|
； < br>?
a
与
a
的方向相同；
?
a
与
a< br>的方向相反；
?
a
=
0
；③：它的方向：当
?
?0
，当
?
?0
，当
?
?0
时，
3． 平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线的向 量，那么对平面内的任一向量
a
，
有且只有一对实数
?
1
,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
；
4．平面向量的坐标运算：
（１）坐标运 算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

设A、B两点的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则
AB?
?
x
2
?x
1,y
2
?y
1
?
.
（2）实数与向量的积的运算律: 设
a?
?
x,y
?
，则λ
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
，
（3）平面向量的数量积：
??
?
????
00
?
①定义：
a?b?a?bcos
?
?
a?0,b?0,0?
??180
?
，
0?a?0
.
??
????
????
?
?
?
①平面向量的数量积的几何意义：向量
a
的长度|
a
|与
b
在
a
的方向上的投影|
b
|
cos
?
的乘积；
③、坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
；
向量
a
的模|
a
|：
|a|
2
?a?a
?x?y
；模|
a
|
?
??
22
????
x
2
?y
2

x1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
④、设
?
是向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
的夹角，则
cos
?
?
5、重要结论：
（1）两个向量平行的充要条件：
x
2
?y
2
22
。
设
a?
?< br>x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?a?
?
b?

x< br>1
y
2
?x
2
y
1
?0

(
?
?R)

（2）两个非零向量垂直的充要条件：
- 9 -
??
????

设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b ?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?a?b ?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

（3）两点
A
?
x
1
,y
1
?
, B
?
x
2
,y
2
?
的距离：
|AB|?< br>?
??
????
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

?
（4） P（x，y）分线段P
1
P
2
的定比满足
P
1
P?
?
PP
2
，且P
1
（x
1
，y
1
） ，P
2
（x
2
，y
2
）
?
x?
?
?
则定比分点坐标公式
?
?
y?
?
?
x
1
?
?
x
2
x
1
?x2
?
x?
?
1?
?
， 中点坐标公式
?
2

?
y
1
?
?
y
2
?
y?
y
1
?y
2
?
1?
?
2
?
?
'
?
?
x?x?h,（5）平移公式：如果点 P（x，y）按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′（x′，y′），则
?

'
?
?
y?y?k.
第八章 直线和圆的方程
一、直线
1．直线的倾斜角和斜率
(1)直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)直线的斜率，即
k?tan
?
(
?
?90
0
)

(3) 斜率公式：经过两点P
1
(x
1
，y
1
)、P
2< br>(x
2
，y
2
)的直线的斜率为
k?
2．直线的方程
(1)点斜式 ：y－y
0
=k(x－x
0
) (2)斜截式：y=kx＋b
(3)两点式：
y
2
?y
1
(x
2
?x
1
?0)

x
2
?x
1
y?y
1
x?x
1
xy
?
(4)截距式：
??1

y
2
?y
1
x
2
?x
1
ab
(5)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)．
3．两条直线的位置关系
(1)平行：当直线
l
1
和
l
2
有斜截式方程时，k
1
=k
2
且 b
1
≠b
2
；
(2)重合：当
l
1
和< br>l
2
有斜截式方程时，k
1
=k
2
且b
1< br>=b
2
；
(3)相交：当
l
1
，
l2
是斜截式方程时，k
1
≠k
2
（4）垂直：设两条直线l
1
和
l
2
的斜率分别为
k
1
和k
2
，则有
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

一般式方程时，
l
1
? l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2?0
（优点：对斜率是否存在不讨论）
（5）到角：直线
l
1
到
l
2
的角，是指直线
l
1
绕交点依逆时针方向旋转到与< br>l
2
重合时所转动的角
?
，
k?k
它的范围是
(0,
?
)
，当
?
?90
?
时
tan< br>?
?
21
.
1?k
1
k
2
（6） 夹角：两条相交直线
l
1
与
l
2
的夹角，是指由
l
1
与
l
2
相交所成的四个角中最小的正角
?
，又称
k
2
?k
1
?
?
?
?
0,tan
?
?
为
l
1
和
l
2
所成的角，它 的取值范围是
?
，当，则有.
?
?90
?
2
?< br>1?kk
?
?
12
（7）交点：求两直线交点，即解方程组
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0

?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
- 10 -

4．点到直线的距离：设点
P(x
0
,y
0
)
，直 线
l:Ax?By?C?0,P
到
l
的距离为
d?
Ax0
?By
0
?C
A?B
22
.
5.两条平行 线间的距离公式：设两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0(C
1
?C
2
)
，它们之
间的距离为
d
，则有
d?
C
1
?C
2
A?B
22
.
6. 关于点对称和关于某直线对称：利用直线垂直，平行等解决
7．简单的线性规划---- 线性规划的三种类型：
1．截距型：形如z=ax+by, 把z看作是y轴上的截距，目标函数的最值就转化为y轴上的截距的
最值。
2．斜率型：形如
z?
y?a
时,把z看作是动点
P(x,y)
与定点
Q(b ,a)
连线的斜率，目标函数的最
x?b
22
值就转化为PQ连线斜率的最值 。
3．距离型：形如
z?(x?a)?(y?b)
时,可把z看作是动点
P (x,y)
与定点
Q(a,b)
距离的平方，
这样目标函数的最值就转化为P Q距离平方的最值。
二、曲线和方程：求曲线方程的步骤：①建系，设点；②列式；③代入④化简；⑤证明．
三、圆
1．．圆的方程:
222
(1)标准方程(x－a)＋(y－b)=r．(a，b)为圆心，r为半径．
(2) 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F＞0
.）
（3）圆的参数方程：
?
?
x ?a?rcos
?
（
?
为参数）.
y?b?rsin
?< br>?
22
2．点和圆的位置关系：给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r< br>2
.
①
M
在圆
C
内
?d?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
＜r
2
；②
M
在圆
C
上
?d?（x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2

222
③
M
在圆
C
外
?d?(x
0
?a)?(y
0
?b)＞r

3．直线和圆的位置关系：
设圆圆
C
：
(x?a)?(y?b)?r(r＞0)
； 直线
l
：
Ax?By?C?0(A
2
?B
2
?0)
；
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
Aa? Bb?C
A?B
22
222
.
①几何法：
d?r
时，
l
与
C
相切；
d＜r
时，
l
与
C
相交；
d＞r
时，
l
与
C
相离.
?
?
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
② 代数法：方程组
?
用代入法，得关于
x
（或
y
）的一元 二次方程，其判别式
?
Ax?Bx?C?0
?
为
?
，则：< br>??0?l
与
C
相切；
?＞0?l
与
C
相交 ；
?＜0?l
与
C
相离.
注意：几何法优于代数法
4．求圆的切线方法
- 11 -

①若已知切点(x
0
，y
0
)在圆上，则切线只有一条。利用相切条 件求k值即可。
②若已知切线过圆外一点(x
0
，y
0
)，则设切 线方程为y－y
0
=k(x－x
0
)，再利用相切条件求k，这
时必 有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
5．圆与圆的位置关系：已知两圆圆心分别为O
1
、O
2
，半径分别为r
1
、r
2
，则
(1)两圆外切?|O
1
O
2
|=r
1
＋r
2；
(2)两圆内切?|O
1
O
2
|=|r
1
－ r
2
|；
(3)两圆相交?|r
1
－r
2
|＜|O
1
O
2
|＜r
1
＋r
2
．


第九章 圆锥曲线
一．椭圆的定义标准方程及其几何性质
平面内与两 个定点
F
1
、
F
2
的距离的和等于常数（大于
|F
1
F
2
|
）的点的轨
第一
定义 定义
第二
定义
迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦
距．若
M
为椭圆上任意一点，则有
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
．
a
2
c
平面内与定点
F(c,0)< br>的距离和它到定直线
l
：
x?
的距离比是常数
c
a< br>（
a?c?0
）的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的一个焦点，定直线
l
是 椭
圆的一条准线，常数
e
椭圆的离心率
y
2
x
2
?
2
?1(a?b?0)

2
ab
方程



图像
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)

2
ab


a,b,c
关系
焦点
范围
对称
性
顶点
长短
轴
离心
率

准线
c
2
?a
2
?b
2

(?c,0)

|x|?a,|y|?b

(0,?c)

|x|?b,|y|?a

坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心.
(?a,0),(0,?b)

A
1
A
2
?2a, B
1
B
2
?2b

(?b,0),(0,?a)

e?
a
2
x??

c
c
(0a
a
2
y??

c
二．双曲线的定义标准方程及其几何性质
- 12 -

定义 第一
平面内与两个定点
F
1
、
F
2
的距离的差的绝对值等于常数（小于
|F
1
F
2
|
）的点的 轨
定义
迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距．
第二
定义
a
2
c
平面内与定点
F(c,0)的距离和它到定直线
l
：
x?
的距离比是常数
c
a（
a?c?0
）的轨迹叫双曲线．定点F是双曲线的一个焦点，定直线
l
是双曲线
的一条准线，常数
e
双曲线的离心率
方程
图像
y
B
2
a
A
1
O
B
1
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)

2
ab
y
2
x
2
??1(a?0,b?0)

a
2
b
2
b
A
2



x


y

B
1
a
A
2
b
B
2
x
O
A
1
a,b,c
关系
焦点
范围
对成性
顶点
实轴 虚轴
离心率
准线
c
2
?a
2
?b
2

(?c,0)

|x|?a

(0,?c)

||y|?a

坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心.
(?a,0)

实轴：A
1
A
2
?2a,虚轴：B
1
B
2
?2b

(0,?a)

e?
a
2
x??

c
c
(e>1)
a
a
2
y??

c
渐近线
x
2
y
2
b
b
y??x
（
2
?
2?0?
y??x
）
a
ab
a
y??
a
x

b
三．抛物线定义标准方程及其简单几何性质
定义
标准方
程
图形
平面内与一定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物< br>线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线．
x
2
??2py

y
2
??2px

x
2
?2py

y
2
?2px

▲
y
▲
y
▲y
▲
y
x
O
x
O
x
O
xO


- 13 -

焦点
准线
范围
对称轴
顶点
离心率
F(
p
,0)

2
p

2
x
轴
F(?
x?
p
,0)

2
p

2
F(0,
y??
p
)

2
p

2
F(0,?
y?
p
)

2
x??
p

2
x?0,y?R

x?0,y?R

x?R,y?0

x?R,y?0

y
轴
（0，0）
e?1

三．直线和圆锥曲线的位置关系
1. 直线和椭圆的位置关系的判断方法
（1）代数法：直线
l
：
Ax
+
By
+
C
=0和圆锥曲线
C
：
f
(
x
，
y
)=0的位置关系可分为：相交、相切、相
离．
设直线< br>l
:
Ax
+
By
+
C
=0,圆锥曲线
C
：
f
(
x
,
y
)=0 由
?
?
Ax?By?C?0
消去
y
（或
x
）得：
?
F(x,y)?0
ax< br>2
+
bx
+
c
=0 (
a
≠0) ;令Δ=
b
2
-4
ac
, 则Δ>0?相交；Δ=0?相切；Δ<0?相离.
(2)几何法：求大致位置和满足条件的直线时可用，精确计算时不可用。
2.弦长的计算：弦长公式
AB?1?k|x
1
?x
2
|?1?k
22
(x< br>1
?x
2
)
2
?4x
1
?x
2.
第十章 立体几何
1.平面的基本性质：三个公理及推论。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面；
3.直线与平面
位置关系 （1）直线在平面内——有无数个公共点 。（2）直线和平面相交——有且只有一个公
共点（3）直线和平面平行——没有公共点
直线和平判 定 定 理
面平行
性 质 定 理
a
β
b

a
b
α
直线与平判 定 定 理
面垂直
l
α
性 质 定 理
b
a

0
α
直线与平
面所成的
角
n
m
α


（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角
（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角
0
（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是0的角
三垂线定在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂
理 直。
- 14 -

三垂线逆在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂
定 理 直。
4.平面与平面位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）
空
间
两
个
平
面
两个
平面
平行
判 定 性 质
（1）如果一个平面内有两条相交直线平（1）两个平面平行，其 中一个平面内的直
行于另一个平面，那么这两个平面平行 线必平行于另一个平面
（2）垂直于同一直线的两个平面平行
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面
相交，那么它们的交线平行
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一
个平面，它也垂直于另一个平面
相交
的两
平面
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角，这条直线叫二面
角的线，这两个半平面叫二面角的面
二面角的平面角：以二面角的棱上 任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条
射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是 直角的二面角叫做直二面
角。
两平
面垂
直
判 定
如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面互相垂直
性 质
（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂
直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个
平面内一点垂直于第二个平面的直线，在
第一个平 面内
5. 常用证明方法：
(1)判断线线平行的常用方法：
①a∥b,b∥c,
③a⊥α,b⊥α
a∥c;②a∥α,a β,α∩β＝b a∥b
a∥b a∥b;④α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b
(2)判定线线垂直的常用方法.
①a⊥α，b α a⊥b； ②b∥c,a⊥c a⊥b
③a⊥α，b∥α a⊥b； ④三垂线定理及逆定理
(3)判定线面平行的常用方法：
①定义 ②a α,bα且a∥b a∥α.③α∥β,a β a∥β;
(4)判定线面垂直的常用方法
①c⊥a,c⊥b且a
③α∥β且a⊥α
α,b α,a，b无公共点 c⊥α；②a∥b且a⊥α b⊥α
a⊥β
(5)判定面面平行的常用方法：
①a、b β,a∩b＝A，若a∥α,b∥α
α∥β
- 15 -
α∥β
②a⊥α,α⊥β

③α∥β，β∥r α∥γ
(6)判定面面垂直的常用方法.
①a⊥α,a β α⊥β ②α∥β，b⊥r
α⊥β
β⊥r
③a⊥β,a∥α
6．棱柱
（1）棱柱的定义、分类，直棱柱、正棱柱的性质；（2）长方体的性质。
（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，
以及它 们的特有性质。
（4）S
侧
＝各侧面的面积和；（5）V=Sh。
7．棱锥
１．棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）
２．相关计算：S
侧
＝各侧面的面积和 ，V=
8．球的相关概念：（1）S
球
=4πR V
球
＝
2
1
Sh
3
4
3
πR （2）球面距离的概念
3
9.计算问题：计算步骤：一作、二证、三算
（1）异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②向量法.
（2）直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.
（ 3）二面角方法：①定义法；②射影面积法：
S
′=
S
cosθ三垂线法；③ 向量法.
其中二面角的平面角的作法
①定义法：由二面角平面角的定义做出平面角；
②三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
（4）两点之间的距离.(5)点到直线的距离.
(6)点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2) 等体积法. (3) 向量
法
(7)两条平行线间的距离.
(8)两异面直线间的距离(1)定义法，即求公垂线段的长. (2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量
法
(9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离. (11)球面距离
第十一章 排列组合与二项式定理概率
一．排列组合
1.计数原理
①分 类原理：N=n
1
+n
2
+n
3
+…+n
M
(分类) ②分步原理：N=n
1
·n
2
·n
3
· …n
M
(分步)
2.排列（有序）与组合（无序）
A
n=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=
m
m
n!
n< br> A
n
=n!
(n?m)!
C
n
=
n(n?1)(n?2)?(n?m?1)n!
mn－mmm＋1m+1
C
n
= C
n
C
n
＋C
n
= C
n+1
k?k!=(k+1)!－k!
?
m!(n?m)!m!
二.排列、组合问题几大解法：总原则：先选后排，先分再排
1、多排问题直排法：把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的
方法来处理．
2、特殊元素优先法：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其 他元素的安
排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
- 16 -

3、相邻问题捆绑法：对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一
个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
4、不相邻问题插空法：对于某几个 元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相
邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间 插入即可（有时候两端的空隙的插法是不符合
题意的）
5、正难则反排除法（或淘汰法）：对 于含有否定词语“至多”，“至少”类的问题，从正面解
决不容易，可以考虑从其反面来解决。即总体中 把不符合要求的除去，应注意既不能多减也不
能少减。
6、元素重复问题住店法（或映射法） ：解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类
元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重 复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再
利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”。
三、二项式定理：
n0x1n－112n－223n－33rn－rr n－1n－1nn
1.(a+b)=C
n
a+C
n
ab+ C
n
ab+ C
n
ab+…+ C
n
ab+…+ C
n
ab+ C
n
b
n122rrnn
特别地：(1 +x)=1+C
n
x+C
n
x+…+C
n
x+…+C
n
x
rn－rr
2.通项为第r+1项： T
r+1
= C
n
ab 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
mn－m
3.主要性质和主要结论：对称性C
n
=C
n

最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）
０1234rnn
所有二项式系数的和：C
n
+C
n
+C
n
+ C
n
+ C
n
+…+C
n
+…+C
n
=2
奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和
０２４６８１３５７９n -1
C
n
+C
n
+C
n
+ C
n
+ C
n
+…＝C
n
+C
n
+C
n
+ C
n
+ C
n
+…=2

四．概率１．必然事件： P(A)=1；不可能事件： P(A)=0；随机事件的定义： 02.等可能事 件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相
等，那么，每一个基 本事件的概率都是
率
P(A)?
m
.
n
1
，如果 某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概
n
3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫 互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即
A、B中有一个发生)的概率，等于事件A 、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)；
推广：
P(A
1< br>?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A
n
)
.
4.对立事件：两个事件必有一个发生的 互斥事件叫对立事件.（A、B互斥，即事件A、B不可能同
．．．．．．．．．．．．．．．
时发生）（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。P（A）+ P(B)
＝１
5.相互独立独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率 没有影响.这样的两个事件
叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 发生的概率的积，即
P(A·B)=P(A)·P(B).
推广：若事件
A
1
,A
2
,?,A
n
相互独立，则
P(A
1
?
A
2
?
A
n
)
?
P(A
1< br>)
?
P(A
2
)
?
P(A
n
).
6.独立重复事件：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果， 则
称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这< br>kn?k
个事件恰好发生k次的概率：
P
n
(k)?C
k。特殊：令k=0 得：在n次独立重复试验中，
n
P(1?P)
事件A没有发生 的概率为
．．．．．．．．
P
n
=C
n
p(1－p) =( 1－p)令k=n得：在n次独立重复试验中，事件A
(n)nn0n
全部发生的概率为
．．．．．．．．
P
n
=C
n
p(1－p) =p
- 17 -
(０)00nn