人教A版高中数学必修一《2.2 基本不等式》优质课公开课课件、教案

2.2基本不等式

教材分析：

“基本不等式” 是必修1 的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性
质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研 究，同时也是为了以后学习选修
教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利 用基本不等
式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学
思想，有利于培养学生良好的思维品质.

教学目标

【知识与技能】

1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义， 并掌握定理中
的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2.掌握基本不等式
一些简单的实际问题

【过程与方法】

通过实例探究抽象基本不等式；

【情感、态度与价值观】

通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.

；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决
教学重难点

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式
【教学难点】

1.基本不等式等号成立条件；

2.利用基本不等式求最大值、最小值.

，并从不同角度探索不等式的证明过程；

教学过程

1.课题导入

前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：

一般地，，有

a
2
+
b
2
≥2
ab
，

当且仅当
a
=
b
时，等号成立

特别地，如果a
>0，
b
>0，我们用,分别代替上式中的
a
，
b< br>，可得

①

当且仅当
a
=
b
时，等号成立.

通常称不等式（1）为基本不等式（
basic

inequality）.其中，叫做正数
a
，
b
的算术平均数，叫做正数
a
，
b
的几何平均数.

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

思考:

上面通过考察
a
2
+
b
2
=2
ab
的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不
等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下 .



2.讲授新课

1）类比弦图几何图形的面积关系 认识基本不等式
特别的，如果
a
＞0,
b
＞0,我们用分别代替a
、
b
，可得
通常我们把上式写作：

，



2）从不等式的性质推导基本不等式


用分析法证明：
要

证
（1）

只要证
a
+
b
≥ （2）

要证（2），只要证
a
+
b
- ≥
0 （3）

要证（3），只要证 （ - ）
≥0 （4）

显然，（4）是成立的.当且仅当
a
=
b
时，（4）中的等号成立.

2

探究1： 在右图中，
AB
是圆的直 径，点
C
是
AB
上的一点，
AC
=
a
,< br>BC
=
b
.过点
C
作垂
直于
AB
的 弦
DE
，连接
AD
、
BD
.你能利用这个图形得出基本不等 式的几何解释吗？

易证
Ｒt
△
AＣ
D

∽
Ｒt
△
DＣ
B，那么
ＣD
＝
ＣA
·ＣB

2

即
ＣD
＝.

这个圆的半 径为，显然，它大于或等于
CD
，即，其中当且仅当
点
C
与圆心重合 ，即
a
＝
b
时，等号成立.

因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”

评述：1.如果把看作是正数a
、
b
的等差中项，看作是正数
a
、
b
的等< br>比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2. 在数学中，我们称为
a
、
b
的算术平均数，称为
a
、
b
的几何
平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.< br>
【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力
和 研究问题的逻辑分析能力.



例1 已知
x
>0，求< br>x
＋
分析：求
x
＋
的最小值.

），使x
>0，都有
x
＋≥
的最小值，就是要求一个
y
0（=
x
0
＋
y
.观察
x
+