课件类北师大版数学教学课件

2.2圆的一般方程

教材分析：本节课是北大版高中教材必修2.第二章圆 的方程
中一节重要内容，教学分三课时，本节为第二课
时，其主要内容是通过圆的标准推出一般 方程，
并对二元二次方程进行了研究和讨论。通过例题
和练习，使学生加深对圆的一般方程的认 识和记
忆。并对数学中的分类讨论思想，有了更深的了
解和掌握。
教学目标：1、掌握圆的一般方程及其特点。
2、熟练地进行圆的标准方程与一般与一般方程
的互化。
3、能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般
方程。
教学重点：1、用配方法把一般方程化为标准方程。求出圆
心和半径。
2、用待定系数法求圆的方程。
教学难点：1、圆的一般方程特点的研究。
2、综合其他知识，对圆的方程的知识进行求解和
应用。
教学用具：多媒体。
教学方法：启发引导法，讨论法。

教学过程：新知导入。
回顾：1、我们把以点c(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程
(x-a)+(y-b) =r叫做圆的标准方程。要求圆的标准方
程必须确定圆心的坐标和圆的半径，也可先设出圆的
标 准方程，根据条件，利用待定系数法求出未知数，
就可以得出圆的标准方程。
迎新（问题导入）
我们学习了直线方程的各种表现形式和圆的标准方程，
直线方程有 一般方程，那么圆的方程有一般方程吗？如何求
圆的一般方程？
[推导过程]
把圆 的标准方程展开整理x
2
+y
2
-2ax-2by+a
2
+ b
2
-r
2
=0化为

x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0…………①

提问一
① 的方程的曲线是否一定是圆呢？
师生共同讨论：将①配方得：

22
D
2
E
2
D+E-4F
(x+
2
)+(y+
2
)=
4

(1)当D
2
+E
2
-4F＞0时,方程①表示以(-
D
-
E
)为圆心

2
2

1
22
D+E-4F为半径的圆.
2
D
(2)当D
2
+E
2
-4F=0时方程①表示的是一个点(- -
E
).
2
2
（3）当D
2
+E
2
-4F＜0时不表示任何图形.
总结 :把二元二次方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F＝0（D
2
+E
2
-4F＞0）叫
做圆的一般方程。
２２２

提问二
圆的一般方程有什么特点？与标准方程有什么
联系与区别？
（１） 圆的一般方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F＝0与二元二次方程的
一般形式进行比较，圆的一 般方程具有以下特点：
①x
2
、y
2
的系数相同，且不为零。
②不含xy这样的二次项。
③D
2
+E
2
-4F＞0
（２） 标准方程突出了圆心坐标和半径的大小，而一般方程
突出了方程形式上的特点。即①x
2
与y
2
的系数相同
且不为零；②不含xy这样的二次项，它们都有 三个
字母，（a、b、r或D、E、F）需要确定，因此需要
三个独立的条件，利用待定系数法 解三元二次方程从
而得a、b、r或D、E、F。
例题解析：
例一：下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出圆心
和半径。
（１） x
2
+y
2
-4x＝0
（２） x
2
+y
2
-4x-2y+5＝0
（３） 2x
2
+2y
2
-3x+4y+6＝0
（４） x
2
+y
2
+2ax＝0 （a≠0）
例二：求过三点o(o,o), m
1
(1,1) m
2
(4,2)的圆的方程，并指
出这个圆的半径和圆心坐标。
解：设所求圆的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F＝0
F＝0 D＝-8
∴ D+E+F+2＝0 ∴ E＝6
4D+2E+F+20＝0 F＝0

∴ x
2
+y
2
-8x+6y＝0
1
半径r＝
2
D
2
+E
2
-4F ＝5 圆心（4，-3）



想一想


是否可用标准方程求解？试试看。

师生共同总结

一、用待定系数法求圆的方程的一般步骤
（１） 根据题意选择方程的形式，标准方程或一般方
程。
（２） 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程
组。
（３） 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般
方程。
二、选择方程形式的一般原则是：
（1）由已知条件易求出圆心坐标和半径或需利用圆心
坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方 程再用
待定系数法求a、b、r。
（2）已知圆上三点坐标采用一般圆的一般方程再用待
定系数法求D、E、F。
例3 ：△ABC的顶点B、C的坐标分别是（-3，-1），（2，1），
顶点A在圆(x+2)
2
+(y-4)
2
=4上运动，求△ABC的重心G的
轨迹方程。
解 ：设△ABC的重心G的坐标为（x，y），顶点A（x
o
,y
o
）
则(x
0
+2)
2
+(y
0
-4)
2
=4 ①
x
0
-3+2

X＝

x
0
＝3x+1

3

又∵
y
0
-1+1
Y＝
3


y
0
＝3y
3x
2
+3y
2
+6x-8y+7＝0
代入①得
故所求重心G的轨迹方程为x
2
+y
2
+2x-
8
y +
3
=0
3

1、对于圆的方程(x-a)
2
+(y- b)
2
= r
2
和x
2
+y
2
+Dx+Ey+F＝0
针对圆的不同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下
表：

7

圆的位置
以原点为圆心的圆
过原点的圆
圆心在x轴上的圆
圆心在y轴上的圆
圆心在x轴上与y
轴相切的圆
圆心在y轴上与x
轴相切的圆

小结：1、本节课学习的主要内容是圆的一般方程。
2、一般方程与标准方程在运用上的联系与区别
3、用待定系数法求解一般方程。 教学反思：1、贯彻启发性教学原则，要以学生为主体的思
想。通过对圆的标准方程的观察，提出问 题，让
学生讨论交流，发表意见，说出一般方程的形式，
并适时启发引导，与学生讨论结合，将 问题的三
种情况分析清楚。
2、本节使用数学方法和数学思想有：配方法、
待定系数法、问题转化与分类讨论的思想。
板书设计：
2.2图的一般方程



1、定义 2、例一、例二、例三


3、练习巩固 4、作业布置


宜丰中学 聂爱根
x
+(y- b)
2
= b

２２
圆的标准方程
x+y=r
22
２２
圆的一般方程
x+y+F=0
２２２２２
22
x+y+Dx+Ey＝0
(x-a)+(y- b)= a+ b
(x+a)
2
+y=r
２２
x
2
+y
2
+Dx+F＝0
x
2
+y
2
+Ey+F＝0
x
2
+y
2
+Dx＝0
x
+(y- b)
2
=
r
(x-a)
2
+y=
a

２２
２２
x
2
+y
2
+Ey＝0