【最新!决胜高考精品高中数学课件-教师版】人教版数学必修五--解三角形的实际应用

解三角形的实际应用

知识集结
知识元

解三角形的应用



知识讲解

1．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2． 已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的
角，然后利 用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B ，由A+B+C＝π求C，再
由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向 角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方
向线所成的角（一般 指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南
偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角 ，视线在水平线下方的角叫俯
角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．

7．关于三角形面积问题
1 13

①S
△
ABC
＝ah
a
＝bh
b
＝ch
c
（h< br>a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c上的高）；

②S
△
ABC
＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
< br>③S
△
ABC
＝2R
2
sinAsinBsinC．（R为外 接圆半径）

④S
△
ABC
＝；

⑤S
△
ABC
＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S
△
ABC
＝r? s，（ r为△ABC内切圆的半径）


在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式
内角和定理 A+B+C＝π
余弦定理
a
2
＝b
2
+c
2
﹣2bccosA

b
2
＝a
2
+c
2
﹣2accosB

c
2
＝a
2
+b
2
﹣2abcosC

正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
射影定理 acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S
△
＝ah
a
＝bh
b
＝c h
c

②S
△
＝absinC＝acsinB＝bcsinA

2 13

变形
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
cosA＝
cosB＝
cosC＝
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝
2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝

sinA＝
sinB＝

③S
△
＝
④S
△
＝

，（s＝

sinC＝
（a+b+c））；

⑤S
△
＝（a+b+c）r

（r为△ABC内切圆半径）

例题精讲

解三角形的应用

例1.
（2019秋?镜湖区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=6，
A=，若该三角形有两解，则a的取值范围是（ ）
A．（3，6）
C．（3，6）
【答案】A
【解析】
题干解析:
∵在△ABC中，b=6，A=，
B．（0，3）
D．（3，+∞）
∴由正弦定理得：sinB=
∵A=
∴0，
，
==，
3 13

要使三角形有两解，得到：
∴<<1，
解得：3故选：A。
例2.
（2019春 ?齐齐哈尔期末）如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在A点测
得公路北侧山顶D的 仰角为30°，汽车行驶300m后到达B点测得山顶D在北偏西30°方向
上，且仰角为45°，则山 的高度CD为（ ）

A．150m
B．150m
C．300m
D．300m
【答案】D
【解析】
题干解析:
由题意可得在直角三角形DCA中，∠DAC=30°，DC⊥AC，
设CD=h，可得AC=htan60°=h，
在直角三角形DCB中，∠DBC=45°，DC⊥BC，
可得CB=htan45°=h，
又∠CBA=120°，可得AC
2
=AB
2
+CB
2-2AB?CB?cos120°，
即为3h
2
=300
2
+h
2
+300h，
解得h=300（负的舍去）。
故选：D
．

例3.
（ 2019春?常州期中）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知b=，
4 13

c=，tan（A+）=2，则a=（ ）
A．15
【答案】C
【解析】
题干解析:
由tan（A+）=
B．
C．3
D．
=2，解得tanA=，∴cosA=，
由余弦定理可得a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA=45+72-36∴a=3。
故选：C
．

×=9，

当堂练习

填空题
练习1.
（2019秋?中原区校级月考）线段AB外有一点C ，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80kmh
的速度由A向B行驶，同时摩托车以50k mh的速度由B向C行驶，则运动开始__h后，两车
_
的距离最小．
【答案】

【解析】
题干解析:如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到 E，则
AD=80t，BE=50t。因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE 最小时t的
值．由余弦定理：DE
2
=BD
2
+BE
2-2BD?BEcos60°=（200-80t）
2
+2500t
2
- （200-80t）
5 13

?50t=12900t
2
-42000t+40000．当t=时DE最小．故答案为：
解答题
练习1.

（2019秋?镇海区校级月考）如图，在△ABC中，A=
AC=CD，A，C， E三点共线，DF⊥CE于点F，DF=
（1）若∠DCE=，求DE；
，在△CDE中，CE=4，BC⊥CD，
．
（2）求BC的最小值．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）由DF=，∠DCE=及 DF⊥CE，得CD=2DF=2，在△CDE
×4×
，
=4，中，由余弦定理得DE
2
=CD
2
+CE
2
-2?CD?CE?cos∠DCE= 12+16-2×2
∴DE=2。（2）设∠DCE=α，则AC=CD=
∠ACB=，∠AB C=
．在△ABC中，A=
=．由正弦定理，得，
∴BC====
6 13

=
即α=
练习2.
时取等号．∴BC的最小值为6（2-
≥
）．
=6（2-）．当2α-=< br>（2019春?唐山期末）如图，为了测量河对岸A，B两点的距离，观察者找到一个点C，从C
点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可
以观察到 点B，C
．
并测量得到以下数据，∠DCA=105°，∠ADC=30°，∠BCE=90° ，
∠ACB=∠CEB=60°，DC=200米，CE=100米．求A，B两点的距离．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:由题意可知，在△ACD中，∠ DAC=45°，由正弦定理得
=
BC=100×
，所以AC==200米，在Rt△ BCE中，
=300米，在△ABC中，由余弦定理得AB
2
=AC
2
+BC
2
-
米。 2AC×BC×cos60°=200
2
+30 0
2
-2×200×300×=70000，所以AB=100
练习3.
（ 2019春?达州期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
（1）求角B；
（2）若b=，求△ABC周长的取值范围．
sinB+cosB=1．
【答案】
7 13

详见解析
【解析】
题干解析: （1）∵
（0，π），∴B=
ac≥
长C=a+b+c∈
练习4.
（2019?普陀区模拟）如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现
要修 一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O
与AB的距离 为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）。
（1）按下列要求建立关系式：
（i）设∠OAB=α，将y表示成α的函数；
（i）设OA=m，OB=m用m，n表示y．
（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．
s inB+cosB=1，∴，∴，∵B∈
；（2）由余弦定理，有b
2
=a
2
+c
2
-2accosB=（a+c）
2-
，∵b=，∴（a+c）
2
≤4，∴a+c≤2，又a+c>b=
。
，∴周

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）（i）过O作OH⊥AB 于H由题意得，
且
即AH=10cotα…（2分）
分）
∴=
即…（ 4
=
…（8分）（ii）由等面积原理得，
8 13

即

…（10分）（2）选择方案一：当时，…（12
分）此时，而所以
，由余 弦定理得
∴
时取等号）…（14分）
．…
（14分）选择方案二：因为
=
分）即
练习5.
（当 且仅当
…（12
（2019?西湖区校级模拟）在△ABC中，三角A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知△ABC
的周长为，且。
（Ⅰ）求边c的长；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求角C的大小．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（I）由题意及正弦定理，得，（2分），（4分）
，得
，（12
两式相减，得c=1．（6分）（II）由△ABC的面积
，（9分）由余弦定理， 得
分）所以C=60°．（14分）
练习6.
=
（2016秋?涵江区校 级期末）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形
ABCD的形状，它的下底AB是⊙ O的直径，上底CD的端点在圆周上．设∠BAD=α
（Ⅰ）用α表示AD和CD的长；
（Ⅱ）写出梯形周长l关于角α的函数解析式，并求这个梯形周长的最大值．

9 13

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析 :（本题满分12分）（I）过D、C分别作DE⊥AB、CF⊥AB，垂足分别
为E、F，…（1分） 因为′AB为半圆的直径，AD⊥BD，又∠BAD=α所以在
Rt△ABD中，AD=AB?cosα =4cosα，…（3分）又在Rt△ADE中，
AE=AD?cosα=4cos
2
α，…（4分）由等腰梯形ABCD同理可得，
BC=4cosαBF=4cos
2
α ，…（5分）∴CD=EF=4-8cos
2
α；…（6分）（II）∵梯形
ABCD 的周长l=AB+BC+CD+AD，当点D接近于点A时，
近重合时，，∴l=-8cos
2
α+8cosα+8，（
，…（10分）∴当，即
，当点C、D接
），…（8 分）
时，梯形ABCD的周
长l取最大值为10．…（12分）
练习7.

（2017春?泰州期末）如图1，在路边安装路灯，路宽为OD，灯柱OB长为h米，灯杆AB长为1米，且灯杆与灯柱成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为2θ，灯罩轴线
AC 与灯杆AB垂直。

（1）设灯罩轴线与路面的交点为C，若OC=5米，求灯柱OB长；
（2）设h=10米，若灯罩轴截面的两条母线所在直线一条恰好经过点O，另一条与地面的交点
为E（如图2）；
（i）求cosθ的值；
（ii）求该路灯照在路面上的宽度OE的长．
【答案】
10 13

详见解析
【解析】
题干解析:（1）过A作AE⊥OD ，垂足为E，过B作BF⊥AE，垂足为F，则
∠ABF=120°-90°=30°，∴AF=AB= ，BF=
∴CE=OC-OE=
AB=，∴OE=BF=，
。在四边形ABOC中，∵ ∠BOC=∠BAC=90°，
=，∠ABO=120°，∴∠ACO=60°，在Rt△ACE中，t an∠ACE=
∴AE=CE=，∴OB=EF=AE-AF=13．即灯柱OB高13米．
在 △ABO中，由余弦定理得OA==
（2）（i）
，由正弦定理
得=，∴sin∠BA O=
．（ii）sinθ=
-
=
=
=
=
．
．
，sin2θ=2sinθcosθ=，∴cosθ=sin∠BAO=
∴sin∠AEO =sin（60°-θ）=
得
练习8.
=，解得OE=
．在△AOE中，由 正弦定理
（2017春?荔湾区期末）某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制， 不能
直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一
平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考 虑到
电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的
准备多长的电线？
倍，问施工单位应该
11 13

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:在△ACD中，∵∠ADC=30°，∠ACD=7 5°+45°=120°，
∴∠CAD=30°，∴AC=CD=，在△BCD中，∵∠BDC=30° +45°=75°，
∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，由正弦定理得：
∴BC===< br>，
。在△ABC中，由余弦定理得：
）
2
-2??=5，AB
2
=AC
2
+BC
2
-2AC?BC?cos∠ACB=3+（∴AB=
练习9.
．故施工单位应该准备电线长为=5km．
（2017春? 连云港期末）如图，半圆O的半径为1，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆
上任意一点，以A B为一边做等边三角形ABC，设∠AOB=θ．
（1）当时，求四边形OACB的面积；
（2）求线段OC长度的最大值，并指出此时θ的值．

【答案】
详见解析
【解析】
12 13

题干解析 :（1）在△OAB中，由余弦定理得AB
2
=1+4-2×1×2×cos
∴AB= ，∴S
△
ABC
==，S
△
AOB
==
=3，，∴四边
形OACB的面积为+=。（2）由余弦定理得AB
2
=1+4-
2×1×2×cosθ=5-4cosθ，∴AB=，∴AC=，由正弦定理得
，即sin∠OAB=
∴cos∠OAB=
=，
）=
×（
-
-
，∴cos ∠OAC=cos（∠OAB+
，由余弦定理得：OC
2
=4+5-4cosθ-2× 2×
）=5+2sinθ-2cosθ=5+4sin（θ-
时，OC最大，OC的最大值为3 ．

）．∵θ∈（0，π），∴当θ=
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